Chương 6: Một số yếu tố Xác suất

Mục tiêu học tập

Sau khi hoàn thành chương này, bạn sẽ:

• Hiểu khái niệm xác suất có điều kiện
• Áp dụng công thức nhân xác suất
• Sử dụng công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes

Phần 1: Xác suất có điều kiện

1.1. Định nghĩa

Cho hai biến cố $A$ và $B$ với $P(B) > 0$. Xác suất có điều kiện của $A$ khi biết $B$ đã xảy ra:

$P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$

Ý nghĩa: $P(A|B)$ là xác suất để $A$ xảy ra, trong điều kiện đã biết $B$ xảy ra.

1.2. Tính chất

• $0 \leq P(A|B) \leq 1$
• $P(B|B) = 1$
• $P(\bar{A}|B) = 1 - P(A|B)$
• Nếu $A \cap B = \emptyset$ thì $P(A|B) = 0$

Phần 2: Công thức nhân xác suất

2.1. Công thức tổng quát

$P(A \cap B) = P(B) \cdot P(A|B) = P(A) \cdot P(B|A)$

2.2. Hai biến cố độc lập

Hai biến cố $A$ và $B$ độc lập nếu:

$P(A|B) = P(A)$

hoặc tương đương:

$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$

Phần 3: Công thức xác suất toàn phần

3.1. Hệ đầy đủ các biến cố

$B_1, B_2, ..., B_n$ là hệ đầy đủ nếu:

• Đôi một xung khắc: $B_i \cap B_j = \emptyset$ với $i \neq j$
• Phủ kín không gian mẫu: $B_1 \cup B_2 \cup ... \cup B_n = \Omega$
• $P(B_i) > 0$ với mọi $i$

3.2. Công thức

$P(A) = \sum_{i=1}^{n} P(B_i) \cdot P(A|B_i)$

Trường hợp đặc biệt (n = 2):

$P(A) = P(B) \cdot P(A|B) + P(\bar{B}) \cdot P(A|\bar{B})$

Hình minh họa xác suất toàn phần:

Giải thích: Biến cố A có thể xảy ra thông qua nhiều “con đường” B₁, B₂,… Xác suất toàn phần là tổng xác suất của tất cả con đường.

Phần 4: Công thức Bayes

4.1. Phát biểu

Cho $B_1, B_2, ..., B_n$ là hệ đầy đủ và $P(A) > 0$:

$P(B_k|A) = \frac{P(B_k) \cdot P(A|B_k)}{\sum_{i=1}^{n} P(B_i) \cdot P(A|B_i)}$

Hình minh họa sơ đồ cây xác suất Bayes:

Giải thích: Sơ đồ cây giúp hình dung “các con đường” dẫn đến biến cố A. Bayes cho phép tính xác suất “ngược” — biết A đã xảy ra, tìm xác suất đến từ nhánh $B_k$.

4.2. Ý nghĩa

• $P(B_k)$: Xác suất tiên nghiệm (prior probability)
• $P(B_k|A)$: Xác suất hậu nghiệm (posterior probability)
• Công thức Bayes cập nhật niềm tin khi có thông tin mới

Bài tập mẫu có lời giải

Bài 1: Xác suất có điều kiện

Đề bài: Gieo hai con súc sắc. Tính xác suất tổng bằng 8, biết rằng cả hai đều chẵn.

Lời giải:

Nhắc lại: $P(A|B) = \frac{|A \cap B|}{|B|}$ khi các kết quả đồng khả năng.

Bước 1: Xác định biến cố B $B$: “Cả hai đều chẵn” → Các kết quả: (2,2), (2,4), (2,6), (4,2), (4,4), (4,6), (6,2), (6,4), (6,6) → $|B| = 9$

Bước 2: Xác định biến cố A giao B $A$: “Tổng bằng 8” → Trong $B$: (2,6), (4,4), (6,2) → $|A \cap B| = 3$

Lý do: Ta chỉ đếm các cặp trong B có tổng bằng 8, không phải toàn bộ không gian mẫu.

Bước 3: Tính xác suất $P(A|B) = \frac{|A \cap B|}{|B|} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$

Kiểm tra: $\frac{1}{3} \approx 33.3\%$, hợp lý vì trong 9 cặp chẵn-chẵn có 3 cặp tổng 8 ✓

Bài 2: Công thức nhân

Đề bài: Hộp có 5 bi đỏ và 3 bi xanh. Lấy ngẫu nhiên 2 bi liên tiếp không hoàn lại. Tính xác suất cả 2 bi đều đỏ.

Lời giải:

Phương pháp: Dùng công thức nhân xác suất cho sự kiện liên tiếp.

$A$: “Bi 1 đỏ”, $B$: “Bi 2 đỏ”

Bước 1: Xác suất lần 1 $P(A) = \frac{5}{8}$

Bước 2: Xác suất lần 2 (sau khi biết lần 1 đỏ) $P(B|A) = \frac{4}{7}$ (sau khi lấy 1 bi đỏ, còn 4 đỏ/7 bi)

Lý do: Đây là xác suất có điều kiện vì lần lấy 2 phụ thuộc vào kết quả lần 1.

Bước 3: Áp dụng công thức nhân $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B|A) = \frac{5}{8} \cdot \frac{4}{7} = \frac{20}{56} = \frac{5}{14}$

Kiểm tra bằng tổ hợp: $P = \frac{C_5^2}{C_8^2} = \frac{10}{28} = \frac{5}{14}$ ✓

Bài 3: Xác suất toàn phần

Đề bài: Nhà máy có 3 dây chuyền sản xuất với tỉ lệ 25%, 35%, 40%. Tỉ lệ sản phẩm lỗi tương ứng là 2%, 3%, 4%. Lấy ngẫu nhiên 1 sản phẩm. Tính xác suất sản phẩm bị lỗi.

Lời giải:

Nhắc lại: Công thức xác suất toàn phần: $P(A) = \sum_{i} P(B_i) \cdot P(A|B_i)$

$B_1, B_2, B_3$: “Từ dây chuyền 1, 2, 3” với $P(B_1) = 0.25$, $P(B_2) = 0.35$, $P(B_3) = 0.40$

$A$: “Sản phẩm lỗi” với $P(A|B_1) = 0.02$, $P(A|B_2) = 0.03$, $P(A|B_3) = 0.04$

Bước 1: Áp dụng công thức xác suất toàn phần $P(A) = P(B_1)P(A|B_1) + P(B_2)P(A|B_2) + P(B_3)P(A|B_3)$

Bước 2: Thay số và tính $P(A) = 0.25 \times 0.02 + 0.35 \times 0.03 + 0.40 \times 0.04$ $= 0.005 + 0.0105 + 0.016 = 0.0315 = 3.15\%$

Kiểm tra: Tổng các thành phần = 0.005 + 0.0105 + 0.016 = 0.0315 ✓. Dây chuyền 3 đóng góp nhiều nhất vào tỷ lệ lỗi (40% sản lượng, 4% lỗi).

Bài 4: Công thức Bayes

Đề bài: Với bài 3, biết sản phẩm lấy được bị lỗi. Tính xác suất nó từ dây chuyền 3.

Lời giải:

Nhắc lại: Công thức Bayes: $P(B_k|A) = \frac{P(B_k) \cdot P(A|B_k)}{P(A)}$

Lý do: Đã biết sản phẩm lỗi (A xảy ra), cần tìm xác suất ngược lại $P(B_3|A)$.

Bước 1: Xác định các giá trị

• Tử số: $P(B_3) \cdot P(A|B_3) = 0.40 \times 0.04 = 0.016$
• Mẫu số: $P(A) = 0.0315$ (từ Bài 3)

Bước 2: Tính xác suất hậu nghiệm $P(B_3|A) = \frac{P(B_3) \cdot P(A|B_3)}{P(A)} = \frac{0.016}{0.0315} \approx 0.508$

Xác suất khoảng 50.8%.

Kiểm tra: $P(B_1|A) + P(B_2|A) + P(B_3|A) = \frac{0.005 + 0.0105 + 0.016}{0.0315} = 1$ ✓ Dây chuyền 3 chiếm 40% sản lượng nhưng 50.8% sản phẩm lỗi!

Bài tập tự luyện

Bài 1

Tung đồng xu 3 lần. Biết rằng có ít nhất 1 mặt sấp. Tính xác suất cả 3 lần đều sấp.

Bài 2

Một bệnh có tỉ lệ mắc 0.1% trong dân số. Xét nghiệm có độ nhạy 99% (dương tính đúng khi có bệnh) và độ đặc hiệu 95% (âm tính đúng khi không bệnh). Một người xét nghiệm dương tính. Tính xác suất người đó thực sự có bệnh.

Bài 3

Hộp I có 3 bi trắng, 2 bi đen. Hộp II có 4 bi trắng, 1 bi đen. Gieo súc sắc, nếu ra số chẵn lấy bi từ hộp I, ngược lại từ hộp II. Tính xác suất lấy được bi trắng.

Tóm tắt

Công thức quan trọng

Key Points

• Xác suất có điều kiện: Xác suất A xảy ra khi biết B đã xảy ra
• Xác suất toàn phần: Tổng hợp từ tất cả các nguyên nhân có thể
• Bayes: Cập nhật xác suất khi có thông tin mới
• Lưu ý: Kiểm tra $\sum P(B_k\mid A) = 1$