Chương 5 (tiếp): Phương trình mặt cầu

Mục tiêu học tập

Sau khi hoàn thành bài này, bạn sẽ:

• Viết được phương trình mặt cầu ở dạng chuẩn và khai triển
• Xác định tâm và bán kính từ phương trình
• Xét vị trí tương đối của mặt cầu với mặt phẳng/đường thẳng

§1. Phương trình mặt cầu

1.1. Định nghĩa

Mặt cầu tâm $I(a, b, c)$ bán kính $R$ là tập hợp các điểm $M$ sao cho $IM = R$.

1.2. Phương trình dạng chuẩn

$\boxed{(x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = R^2}$

1.3. Phương trình dạng khai triển

$x^2 + y^2 + z^2 - 2ax - 2by - 2cz + d = 0$

với $d = a^2 + b^2 + c^2 - R^2$

Hình minh họa mặt cầu trong không gian:

Giải thích: Mặt cầu là tập hợp các điểm cách đều tâm I một khoảng bằng bán kính R. Từ phương trình, ta đọc được tâm và bán kính.

§2. Các trường hợp đặc biệt

2.1. Mặt cầu đường kính AB

Cho $A(x_1, y_1, z_1)$ và $B(x_2, y_2, z_2)$ là 2 đầu đường kính:

$\boxed{(x-x_1)(x-x_2) + (y-y_1)(y-y_2) + (z-z_1)(z-z_2) = 0}$

2.2. Mặt cầu qua 4 điểm

Giải hệ 4 phương trình từ PT khai triển với 4 điểm đã cho.

§3. Vị trí tương đối

3.1. Mặt cầu và mặt phẳng

Cho mặt cầu $(S)$ tâm $I$, bán kính $R$ và mặt phẳng $(\alpha)$.

Đặt $d = d(I, (\alpha))$ (khoảng cách từ tâm đến mặt phẳng)

Khi cắt nhau: Giao tuyến là đường tròn có:

• Tâm: Hình chiếu của I lên $(\alpha)$
• Bán kính: $r = \sqrt{R^2 - d^2}$

3.2. Mặt cầu và đường thẳng

Tương tự: Tính khoảng cách từ tâm đến đường thẳng và so sánh với R.

§4. Mặt cầu ngoại tiếp, nội tiếp

4.1. Mặt cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật

Hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$ có mặt cầu ngoại tiếp với:

• Tâm: Tâm hình hộp (giao 4 đường chéo)
• Bán kính: $R = \frac{1}{2}$ đường chéo chính

4.2. Mặt cầu ngoại tiếp tứ diện

Tâm mặt cầu ngoại tiếp là điểm cách đều 4 đỉnh của tứ diện.

Bài tập mẫu có lời giải

Bài 1: Viết phương trình mặt cầu

Đề bài: Viết PT mặt cầu tâm $I(1, -2, 3)$, bán kính $R = 4$.

Lời giải:

Nhắc lại: PT mặt cầu tâm $I(a, b, c)$, bán kính $R$: $(x-a)^2 + (y-b)^2 + (z-c)^2 = R^2$ Lý do: Mặt cầu là tập hợp các điểm cách tâm một khoảng = R.

Bước 1: Thay tâm và bán kính vào công thức

• $a = 1$, $b = -2$, $c = 3$, $R = 4$

$(x - 1)^2 + (y - (-2))^2 + (z - 3)^2 = 4^2$ $(x - 1)^2 + (y + 2)^2 + (z - 3)^2 = 16$

Bước 2: Khai triển ra dạng tổng quát (nếu cần) $x^2 - 2x + 1 + y^2 + 4y + 4 + z^2 - 6z + 9 = 16$ $x^2 + y^2 + z^2 - 2x + 4y - 6z - 2 = 0$

Kiểm tra: Thay tâm $I(1, -2, 3)$ vào VT: $(1-1)^2 + (-2+2)^2 + (3-3)^2 = 0 \neq 16$, tâm không nằm trên mặt cầu ✓

Bài 2: Tìm tâm và bán kính

Đề bài: Cho mặt cầu $(S): x^2 + y^2 + z^2 - 4x + 2y - 6z - 11 = 0$. Tìm tâm và bán kính.

Lời giải:

Nhắc lại: Từ $x^2 + y^2 + z^2 - 2ax - 2by - 2cz + d = 0$:

• Tâm $I(a, b, c)$ với $a = -\frac{\text{hệ số x}}{2}$
• $R = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2 - d}$

Bước 1: Xác định các hệ số

Lý do: Hệ số của $x$ là $-2a$, nên $a = -\frac{-4}{2} = 2$.

Bước 2: Tính tâm và bán kính

• Tâm $I(2, -1, 3)$
• $R = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2 - d} = \sqrt{4 + 1 + 9 - (-11)} = \sqrt{25} = 5$

Kiểm tra: Điểm $M(7, -1, 3)$ có $IM = 5 = R$. Thay vào PT: $49+1+9-28-2-18-11 = 0$ ✓

Bài 3: Mặt cầu tiếp xúc mặt phẳng

Đề bài: Viết PT mặt cầu tâm $I(1, 2, 3)$ tiếp xúc với mặt phẳng $(\alpha): 2x - 2y + z + 3 = 0$.

Lời giải:

Nhắc lại: Mặt cầu tiếp xúc mp ⇔ $R = d(I, (\alpha))$

Lý do: Tiếp xúc = chạm đúng 1 điểm, nên khoảng cách từ tâm đến mp đúng bằng R.

Bước 1: Tính khoảng cách từ tâm đến mặt phẳng

$d(I, (\alpha)) = \frac{|Ax_I + By_I + Cz_I + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$

$R = d(I, (\alpha)) = \frac{|2(1) - 2(2) + 1(3) + 3|}{\sqrt{4 + 4 + 1}} = \frac{|2 - 4 + 3 + 3|}{3} = \frac{4}{3}$

Lý do từng phần: Tử = $|2 - 4 + 3 + 3| = |4| = 4$. Mẫu = $\sqrt{9} = 3$.

Bước 2: Viết PT mặt cầu $(x - 1)^2 + (y - 2)^2 + (z - 3)^2 = \left(\frac{4}{3}\right)^2 = \frac{16}{9}$

Kiểm tra: Tiếp điểm nằm trên đường thẳng qua tâm, vuông góc với mp. Tọa độ tiếp điểm có thể tính từ vector pháp tuyến.

Bài tập tự luyện

Bài 1

Viết PT mặt cầu có đường kính AB với $A(1, 2, -1)$, $B(3, 0, 1)$.

Bài 2

Cho mặt cầu $(S): x^2 + y^2 + z^2 - 2x + 4y - 6z + 5 = 0$ và mặt phẳng $(\alpha): x - 2y + 2z - 1 = 0$. a) Xét vị trí tương đối b) Nếu cắt nhau, tìm bán kính đường tròn giao tuyến

Bài 3

Viết PT mặt cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật $ABCD.A'B'C'D'$ với: $A(0, 0, 0)$, $B(2, 0, 0)$, $D(0, 3, 0)$, $A'(0, 0, 4)$

Bài 4: Mặt cầu ngoại tiếp tứ diện

Đề bài: Viết PT mặt cầu ngoại tiếp tứ diện $ABCD$ với $A(1,0,0)$, $B(0,1,0)$, $C(0,0,1)$, $D(0,0,0)$.

Lời giải:

Nhắc lại: Tâm mặt cầu ngoại tiếp cách đều 4 đỉnh: $IA = IB = IC = ID = R$.

Bước 1: Gọi $I(x, y, z)$, lập hệ từ $IA^2 = IB^2 = IC^2 = ID^2$

$IA^2 = ID^2$: $(x-1)^2 + y^2 + z^2 = x^2 + y^2 + z^2$ $x^2 - 2x + 1 = x^2 \Rightarrow x = \frac{1}{2}$

$IB^2 = ID^2$: $x^2 + (y-1)^2 + z^2 = x^2 + y^2 + z^2$ $y^2 - 2y + 1 = y^2 \Rightarrow y = \frac{1}{2}$

$IC^2 = ID^2$: $x^2 + y^2 + (z-1)^2 = x^2 + y^2 + z^2$ $z^2 - 2z + 1 = z^2 \Rightarrow z = \frac{1}{2}$

Lý do: Trừ từng đôi triệt tiêu hạng bậc 2, cho hệ tuyến tính dễ giải.

Bước 2: Tâm $I\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right)$

Bước 3: Tính bán kính $R = ID = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Bước 4: Viết PT mặt cầu $\left(x - \frac{1}{2}\right)^2 + \left(y - \frac{1}{2}\right)^2 + \left(z - \frac{1}{2}\right)^2 = \frac{3}{4}$

Kiểm tra: Thay $A(1,0,0)$: $\frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$ ✓ Thay $D(0,0,0)$: $\frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$ ✓

Bài tập tự luyện

Bài 1

Viết PT mặt cầu có đường kính AB với $A(1, 2, -1)$, $B(3, 0, 1)$.

Bài 2

Cho mặt cầu $(S): x^2 + y^2 + z^2 - 2x + 4y - 6z + 5 = 0$ và mặt phẳng $(\alpha): x - 2y + 2z - 1 = 0$. a) Xét vị trí tương đối b) Nếu cắt nhau, tìm bán kính đường tròn giao tuyến

Bài 3

Viết PT mặt cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật $ABCD.A'B'C'D'$ với: $A(0, 0, 0)$, $B(2, 0, 0)$, $D(0, 3, 0)$, $A'(0, 0, 4)$

Bài 4

Viết PT mặt cầu ngoại tiếp tứ diện $ABCD$ với $A(2,0,0)$, $B(0,4,0)$, $C(0,0,6)$, $D(0,0,0)$.

Tóm tắt công thức