Chương 4: Hệ thức lượng trong tam giác

Mục tiêu học tập

Sau khi hoàn thành chương này, bạn sẽ:

• Nắm vững định lý sin và định lý cosin
• Áp dụng công thức tính diện tích tam giác
• Giải tam giác khi biết một số yếu tố

Phần 1: Giá trị lượng giác của góc bất kỳ

1.1. Góc từ 0° đến 180°

Với góc $\alpha$ bất kỳ trong khoảng $(0°, 180°)$:

1.2. Công thức góc bù

$\sin(180° - \alpha) = \sin\alpha$ $\cos(180° - \alpha) = -\cos\alpha$

Phần 2: Định lý cosin

2.1. Phát biểu

Trong tam giác $ABC$, với các cạnh $a = BC$, $b = CA$, $c = AB$:

$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cdot \cos A$ $b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cdot \cos B$ $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos C$

2.2. Ý nghĩa và trực giác

2.3. Chứng minh (Phương pháp tọa độ)

Đặt $A$ tại gốc tọa độ, $B$ trên tia $Ox$ dương:

• $A = (0, 0)$
• $B = (c, 0)$
• $C = (b\cos A, b\sin A)$

Áp dụng công thức khoảng cách: $a^2 = BC^2 = (c - b\cos A)^2 + (0 - b\sin A)^2$ $= c^2 - 2bc\cos A + b^2\cos^2 A + b^2\sin^2 A$ $= c^2 - 2bc\cos A + b^2(\cos^2 A + \sin^2 A)$ $= b^2 + c^2 - 2bc\cos A$

2.4. Hệ quả - Tính góc

$\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$ $\cos B = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac}$ $\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$

Hình minh họa định lý cosin:

Giải thích: Định lý cosin cho phép tính cạnh thứ ba khi biết hai cạnh và góc xen giữa, hoặc tính góc khi biết ba cạnh. Đây là mở rộng của định lý Pythagoras cho tam giác bất kỳ.

Phần 3: Định lý sin

3.1. Phát biểu

Trong tam giác $ABC$:

$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$

Trong đó $R$ là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác.

3.2. Ý nghĩa và trực giác

3.3. Chứng minh (Sử dụng góc nội tiếp)

Gọi $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$, bán kính $R$.

Xét cạnh $a = BC$. Vẽ đường kính $BD$ qua $B$.

• Góc $\widehat{BCD}$ là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn, nên $\widehat{BCD} = 90°$
• Góc $\widehat{BDC}$ và góc $\widehat{BAC}$ cùng chắn cung $BC$, nên $\widehat{BDC} = A$

Trong tam giác vuông $BCD$: $\sin A = \sin(\widehat{BDC}) = \frac{BC}{BD} = \frac{a}{2R}$

Suy ra: $\frac{a}{\sin A} = 2R$

Tương tự cho các cạnh $b$, $c$.

3.4. Các dạng sử dụng

Tính cạnh: $a = 2R \sin A$

Tính tỉ số: $\frac{a}{b} = \frac{\sin A}{\sin B}$

Tính bán kính: $R = \frac{a}{2\sin A}$

Hình minh họa định lý sin:

Giải thích: Định lý sin liên hệ giữa tỉ số cạnh/sin góc đối diện với bán kính đường tròn ngoại tiếp. Mỗi tam giác có duy nhất một đường tròn ngoại tiếp.

Phần 4: Công thức tính diện tích tam giác

4.1. Các công thức cơ bản

Công thức đáy - chiều cao: $S = \frac{1}{2} a \cdot h_a = \frac{1}{2} b \cdot h_b = \frac{1}{2} c \cdot h_c$

Công thức hai cạnh và góc xen giữa: $S = \frac{1}{2} bc \sin A = \frac{1}{2} ac \sin B = \frac{1}{2} ab \sin C$

4.2. Công thức Heron

$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$

Trong đó $p = \frac{a + b + c}{2}$ là nửa chu vi.

4.3. Công thức theo bán kính

Bán kính ngoại tiếp R: $S = \frac{abc}{4R}$

Bán kính nội tiếp r: $S = pr$

Phần 5: Giải tam giác

5.1. Các trường hợp giải tam giác

5.2. Lưu ý trường hợp c.c.g

Khi biết $a$, $b$ và góc $A$:

• Nếu $a \geq b$: duy nhất 1 tam giác
• Nếu $a < b$: có thể có 0, 1, hoặc 2 tam giác

Bài tập mẫu có lời giải

Bài 1: Định lý cosin - Tính cạnh

Đề bài: Cho tam giác $ABC$ với $b = 5$, $c = 7$, $\widehat{A} = 60°$. Tính cạnh $a$.

Lời giải:

Nhắc lại: Định lý cosin: $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A$

Dùng khi biết 2 cạnh và góc xen giữa để tính cạnh còn lại.

Bước 1: Xác định các đại lượng đã biết

• Cạnh $b = 5$, cạnh $c = 7$
• Góc xen giữa $A = 60°$ → $\cos 60° = \frac{1}{2}$

Bước 2: Áp dụng định lý cosin $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A$ $a^2 = 5^2 + 7^2 - 2 \times 5 \times 7 \times \frac{1}{2}$ $a^2 = 25 + 49 - 35 = 39$

Bước 3: Tính cạnh a $a = \sqrt{39} \approx 6.24 \text{ (cm)}$

Kiểm tra: Vì $A = 60° < 90°$ (góc nhọn), nên $a^2 < b^2 + c^2$. Thật vậy: $39 < 25 + 49 = 74$ ✓

Bài 2: Định lý cosin - Tính góc

Đề bài: Cho tam giác $ABC$ với $a = 7$, $b = 5$, $c = 8$. Tính góc $A$.

Lời giải:

Nhắc lại: Từ định lý cosin: $\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$

Dùng khi biết 3 cạnh để tính góc.

Bước 1: Xác định các cạnh

• Cạnh đối diện góc A: $a = 7$
• Hai cạnh còn lại: $b = 5$, $c = 8$

Bước 2: Áp dụng công thức tính cos góc $\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$ $\cos A = \frac{5^2 + 8^2 - 7^2}{2 \times 5 \times 8}$ $\cos A = \frac{25 + 64 - 49}{80} = \frac{40}{80} = \frac{1}{2}$

Bước 3: Suy ra góc A $\cos A = \frac{1}{2} \Rightarrow A = 60°$

Kiểm tra:

• $\cos A = 0.5 > 0$ → Góc A nhọn ✓
• Cạnh $a = 7$ không phải cạnh lớn nhất (cạnh lớn nhất là $c = 8$), phù hợp với A không phải góc lớn nhất ✓

Bài 3: Định lý sin

Đề bài: Cho tam giác $ABC$ với $a = 6$, $\widehat{A} = 45°$, $\widehat{B} = 75°$. Tính $b$ và bán kính R.

Lời giải:

Nhắc lại: Định lý sin: $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$

Dùng khi biết 2 góc + 1 cạnh để tính các cạnh còn lại.

Bước 1: Tính góc C còn thiếu $C = 180° - A - B = 180° - 45° - 75° = 60°$

Bước 2: Áp dụng định lý sin để tính b $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}$ $b = \frac{a \times \sin B}{\sin A} = \frac{6 \times \sin 75°}{\sin 45°}$ $b = \frac{6 \times 0.966}{0.707} \approx 8.2$

Bước 3: Tính bán kính ngoại tiếp R $2R = \frac{a}{\sin A} = \frac{6}{\sin 45°} = \frac{6}{0.707} \approx 8.49$ $R \approx 4.24$

Mẹo: Nên tính $2R$ trước (là tỉ số chung), sau đó dùng nó để tính các cạnh khác.

Bài 4: Diện tích tam giác

Đề bài: Tính diện tích tam giác $ABC$ với $a = 5$, $b = 6$, $c = 7$.

Lời giải:

Nhắc lại: Khi biết 3 cạnh, dùng công thức Heron: $S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$ với $p = \frac{a+b+c}{2}$ là nửa chu vi.

Bước 1: Tính nửa chu vi p $p = \frac{a + b + c}{2} = \frac{5 + 6 + 7}{2} = 9$

Bước 2: Áp dụng công thức Heron $S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$ $S = \sqrt{9 \times (9-5) \times (9-6) \times (9-7)}$ $S = \sqrt{9 \times 4 \times 3 \times 2} = \sqrt{216}$

Bước 3: Rút gọn kết quả $S = \sqrt{36 \times 6} = 6\sqrt{6} \approx 14.7 \text{ (đơn vị diện tích)}$

Kiểm tra bằng cách khác: Ta có $\cos C = \frac{25 + 36 - 49}{60} = 0.2$ → $\sin C = \sqrt{1 - 0.04} = \sqrt{0.96} \approx 0.98$ → $S = \frac{1}{2}ab\sin C = \frac{1}{2} \times 5 \times 6 \times 0.98 = 14.7$ ✓

Bài tập tự luyện

Bài 1

Cho tam giác $ABC$ với $b = 4$, $c = 6$, $\widehat{A} = 120°$. Tính $a$, $S$, $R$.

Bài 2

Cho tam giác $ABC$ với $a = 3$, $b = 5$, $c = 7$. Tính các góc của tam giác.

Bài 3

Một tam giác có $\widehat{A} = 45°$, $\widehat{B} = 60°$ và cạnh $c = 10$. Tính $a$, $b$ và diện tích.

Bài 4

Chứng minh trong tam giác $ABC$: $a = b\cos C + c\cos B$.

Tóm tắt

Công thức quan trọng

Key Points

• Định lý Sin: Dùng khi biết cạnh và góc đối diện
• Định lý Cosin: Dùng khi biết 2 cạnh và góc xen giữa
• Heron: Dùng khi biết 3 cạnh ($p = \frac{a+b+c}{2}$)
• Lưu ý: R = bán kính đường tròn ngoại tiếp