Bổ sung: Hàm số mũ và Hàm số Logarit

Mục tiêu học tập

Sau khi hoàn thành chương này, bạn sẽ:

• Hiểu định nghĩa và tính chất hàm mũ, hàm logarit
• Giải được phương trình và bất phương trình mũ, logarit
• Áp dụng vào bài toán thực tế

Phần 1: Lũy thừa với số mũ thực

1.1. Lũy thừa với số mũ nguyên

Với $a > 0$, $n \in \mathbb{Z}$:

$a^n = \underbrace{a \cdot a \cdot ... \cdot a}_{n \text{ thừa số}} \quad (n > 0)$

$a^0 = 1$

$a^{-n} = \frac{1}{a^n}$

1.2. Lũy thừa với số mũ hữu tỉ

$a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m} = (\sqrt[n]{a})^m \quad (a > 0, n \in \mathbb{N}^*, m \in \mathbb{Z})$

1.3. Tính chất của lũy thừa

Với $a > 0$, $b > 0$, $\alpha, \beta \in \mathbb{R}$:

Phần 2: Hàm số mũ

2.1. Định nghĩa

Hàm số mũ cơ số $a$ ($a > 0$, $a \neq 1$):

$y = a^x$

Tập xác định: $D = \mathbb{R}$

Tập giá trị: $(0, +\infty)$

2.2. Tính chất

Đặc điểm:

• Luôn đi qua điểm $(0, 1)$
• Tiệm cận ngang: $y = 0$
• $a^x > 0$ với mọi $x$

Đồ thị tương tác hàm mũ $y = a^x$ (kéo slider để thay đổi a):

Hình minh họa đồ thị hàm mũ và hàm logarit:

Giải thích: Hàm mũ y = eˣ và hàm logarit y = ln x là hai hàm nghịch đảo của nhau, đồ thị đối xứng qua đường y = x. Hàm mũ có tiệm cận ngang y = 0, hàm logarit có tiệm cận đứng x = 0.

2.3. Hàm số $y = e^x$

Số $e$ (số Euler): $e \approx 2.718281828...$

$e = \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n$

Hàm $y = e^x$ là hàm mũ cơ sở trong giải tích.

Phần 3: Logarit

3.1. Định nghĩa

Cho $a > 0$, $a \neq 1$, $b > 0$.

Logarit cơ số $a$ của $b$, ký hiệu $\log_a b$, là số mũ mà phải nâng $a$ lên để được $b$:

$\log_a b = c \Leftrightarrow a^c = b$

3.2. Các logarit đặc biệt

Logarit thập phân: $\log_{10} b = \lg b$ hoặc $\log b$

Logarit tự nhiên: $\log_e b = \ln b$

3.3. Các công thức logarit

Với $a > 0$, $a \neq 1$, $b, c > 0$:

Phần 4: Hàm số logarit

4.1. Định nghĩa

$y = \log_a x \quad (a > 0, a \neq 1)$

Tập xác định: $D = (0, +\infty)$

Tập giá trị: $\mathbb{R}$

4.2. Tính chất

Đặc điểm:

• Luôn đi qua điểm $(1, 0)$
• Tiệm cận đứng: $x = 0$

Đồ thị tương tác hàm logarit $y = \log_a x$:

4.3. Quan hệ giữa $y = a^x$ và $y = \log_a x$

Hai hàm số này là hàm ngược của nhau.

Đồ thị của chúng đối xứng nhau qua đường thẳng $y = x$.

Phần 5: Phương trình mũ và logarit

5.1. Phương trình mũ cơ bản

$a^{f(x)} = b \Leftrightarrow f(x) = \log_a b$

$a^{f(x)} = a^{g(x)} \Leftrightarrow f(x) = g(x) \quad (a > 0, a \neq 1)$

5.2. Phương trình logarit cơ bản

$\log_a f(x) = b \Leftrightarrow f(x) = a^b \quad (\text{ĐK: } f(x) > 0)$

$\log_a f(x) = \log_a g(x) \Leftrightarrow f(x) = g(x) \quad (\text{ĐK: } f(x), g(x) > 0)$

5.3. Các dạng đặc biệt

Dạng 1: Đặt ẩn phụ $t = a^x$ (với $t > 0$)

Dạng 2: Đặt ẩn phụ $t = \log_a x$

Dạng 3: Đưa về cùng cơ số

Phần 6: Bất phương trình mũ và logarit

6.1. Bất phương trình mũ

Với $a > 1$: $a^{f(x)} > a^{g(x)} \Leftrightarrow f(x) > g(x)$

Với $0 < a < 1$: $a^{f(x)} > a^{g(x)} \Leftrightarrow f(x) < g(x)$ (đổi chiều)

6.2. Bất phương trình logarit

Với $a > 1$: $\log_a f(x) > \log_a g(x) \Leftrightarrow f(x) > g(x) > 0$

Với $0 < a < 1$: $\log_a f(x) > \log_a g(x) \Leftrightarrow 0 < f(x) < g(x)$ (đổi chiều)

Bài tập mẫu có lời giải

Bài 1: Rút gọn biểu thức

Đề bài: Rút gọn $A = \log_2 32 - \log_3 27 + \log_5 125$

Lời giải:

Nhắc lại: $\log_a a^n = n$ (logarit của lũy thừa cùng cơ số)

Bước 1: Biến đổi các số thành lũy thừa cùng cơ số với logarit

• $32 = 2^5$, $27 = 3^3$, $125 = 5^3$

Bước 2: Áp dụng công thức $\log_a a^n = n$

$\log_2 32 = \log_2 2^5 = 5$

$\log_3 27 = \log_3 3^3 = 3$

$\log_5 125 = \log_5 5^3 = 3$

Lý do: Khi cơ số của logarit trùng với cơ số của lũy thừa, kết quả là số mũ.

Bước 3: Tính kết quả $A = 5 - 3 + 3 = 5$

Bài 2: Giải phương trình mũ

Đề bài: Giải phương trình $4^x - 3 \cdot 2^x - 4 = 0$

Lời giải:

Nhắc lại: Đặt ẩn phụ $t = a^x$ ($t > 0$) để đưa về PT đại số.

Bước 1: Đặt ẩn phụ Đặt $t = 2^x$ với điều kiện $t > 0$.

Bước 2: Biến đổi về PT ẩn t $4^x = (2^2)^x = 2^{2x} = (2^x)^2 = t^2$

Lý do: $4 = 2^2$ nên $4^x = (2^2)^x = 2^{2x} = (2^x)^2$.

Phương trình trở thành: $t^2 - 3t - 4 = 0$

Bước 3: Giải PT bậc 2 $(t - 4)(t + 1) = 0 \Rightarrow t = 4$ hoặc $t = -1$

Vì $t > 0$ nên chỉ nhận $t = 4$

Bước 4: Tìm x $2^x = 4 = 2^2 \Rightarrow x = 2$

Kiểm tra: $4^2 - 3 \cdot 2^2 - 4 = 16 - 12 - 4 = 0$ ✓

Bài 3: Giải phương trình logarit

Đề bài: Giải phương trình $\log_2 (x + 1) + \log_2 (x - 1) = 3$

Lời giải:

Nhắc lại: $\log_a M + \log_a N = \log_a (M \cdot N)$

Bước 1: Xác định điều kiện $x + 1 > 0$ và $x - 1 > 0 \Rightarrow x > 1$

Lý do: Biểu thức trong logarit phải dương.

Bước 2: Gộp logarit $\log_2 [(x + 1)(x - 1)] = 3$

$\log_2 (x^2 - 1) = 3$

Bước 3: Chuyển về dạng mũ $x^2 - 1 = 2^3 = 8$

$x^2 = 9 \Rightarrow x = 3$ hoặc $x = -3$

Bước 4: Đối chiếu điều kiện

• $x = 3 > 1$: thỏa mãn ✓
• $x = -3 < 1$: không thỏa mãn ✗

Nghiệm: $x = 3$

Kiểm tra: $\log_2 4 + \log_2 2 = 2 + 1 = 3$ ✓

Bài 4: Giải bất phương trình

Đề bài: Giải BPT $\log_{\frac{1}{2}} (x - 2) > -3$

Lời giải:

Nhắc lại: Với $0 < a < 1$: $\log_a f(x) > b \Leftrightarrow 0 < f(x) < a^b$

Bước 1: Xác định điều kiện $x - 2 > 0 \Rightarrow x > 2$

Bước 2: Biến đổi vế phải $-3 = \log_{\frac{1}{2}} \left(\frac{1}{2}\right)^{-3} = \log_{\frac{1}{2}} 8$

Bước 3: Áp dụng tính chất logarit với cơ số < 1 $\log_{\frac{1}{2}} (x - 2) > \log_{\frac{1}{2}} 8$

Lý do: Với cơ số $0 < a < 1$, hàm logarit nghịch biến nên bất đẳng thức đổi chiều.

$\Rightarrow x - 2 < 8$ (đổi chiều)

$x < 10$

Bước 4: Kết hợp điều kiện $x > 2$ và $x < 10 \Rightarrow 2 < x < 10$

Nghiệm: $x \in (2, 10)$

Bài tập tự luyện

Bài 1

Tính:

a) $\log_4 16 + \log_9 81 - \log_{25} 5$

b) $\log_2 3 \cdot \log_3 4 \cdot \log_4 8$

Bài 2

Giải phương trình:

a) $9^x - 4 \cdot 3^x + 3 = 0$

b) $\log_3 x + \log_9 x = 6$

c) $2^{x+1} + 2^{x-1} = 5$

Bài 3

Giải bất phương trình:

a) $2^{x^2 - 3x} \leq 4$

b) $\log_2 (x^2 - 5x + 6) < 1$

Bài 4

Một khoản tiền gửi tiết kiệm với lãi suất $r\%$/năm theo hình thức lãi kép. Sau bao nhiêu năm số tiền tăng gấp đôi?

Tóm tắt

Công thức quan trọng

Key Points

• Đổi cơ số: $\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}$
• PT mũ: Đặt $t = a^x > 0$
• PT logarit: Kiểm tra điều kiện biểu thức trong log > 0
• Lưu ý: $\ln x = \log_e x$, $\log x = \log_{10} x$