Bổ sung: Mặt tròn xoay

Mục tiêu học tập

Sau khi hoàn thành chương này, bạn sẽ:

• Hiểu khái niệm các mặt tròn xoay: trụ, nón, cầu
• Tính diện tích và thể tích các khối tròn xoay
• Áp dụng vào bài toán thực tế

Phần 1: Khối trụ

1.1. Định nghĩa

Khối trụ được sinh ra khi quay một hình chữ nhật quanh một cạnh.

Các yếu tố:

• Bán kính đáy: $r$
• Chiều cao: $h$
• Đường sinh: $l = h$ (với trụ tròn xoay)

1.2. Diện tích và thể tích

Diện tích xung quanh: $S_{xq} = 2\pi r h$

Diện tích toàn phần: $S_{tp} = 2\pi r h + 2\pi r^2 = 2\pi r(h + r)$

Thể tích: $V = \pi r^2 h$

Minh họa tương tác khối trụ, khối nón, khối cầu:

Hình minh họa các khối tròn xoay:

Giải thích: Ba khối tròn xoay cơ bản: Hình trụ (V = πr²h), Hình nón (V = ⅓πr²h), Hình cầu (V = ⁴⁄₃πR³). Lưu ý hình nón có thể tích bằng 1/3 hình trụ cùng bán kính và chiều cao.

Phần 2: Khối nón

2.1. Định nghĩa

Khối nón được sinh ra khi quay một tam giác vuông quanh một cạnh góc vuông.

Các yếu tố:

• Bán kính đáy: $r$
• Chiều cao: $h$
• Đường sinh: $l = \sqrt{r^2 + h^2}$

2.2. Diện tích và thể tích

Diện tích xung quanh: $S_{xq} = \pi r l = \pi r \sqrt{r^2 + h^2}$

Diện tích toàn phần: $S_{tp} = \pi r l + \pi r^2 = \pi r(l + r)$

Thể tích: $V = \frac{1}{3}\pi r^2 h$

2.3. Khối nón cụt

Khối nón cụt có hai mặt đáy là hai đường tròn song song với bán kính $R$ (đáy lớn) và $r$ (đáy nhỏ).

Thể tích: $V = \frac{1}{3}\pi h(R^2 + Rr + r^2)$

Diện tích xung quanh: $S_{xq} = \pi(R + r)l$

với $l = \sqrt{h^2 + (R - r)^2}$ là đường sinh.

Phần 3: Khối cầu

3.1. Định nghĩa

Mặt cầu là tập hợp các điểm trong không gian cách đều một điểm cố định (tâm) một khoảng không đổi (bán kính $R$).

Khối cầu là phần không gian giới hạn bởi mặt cầu.

3.2. Diện tích và thể tích

Diện tích mặt cầu: $S = 4\pi R^2$

Thể tích khối cầu: $V = \frac{4}{3}\pi R^3$

3.3. Các công thức liên quan

Mặt cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật (kích thước $a$, $b$, $c$):

$R = \frac{1}{2}\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$

Mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương cạnh $a$:

$R = \frac{a\sqrt{3}}{2}$

Mặt cầu ngoại tiếp tứ diện đều cạnh $a$:

$R = \frac{a\sqrt{6}}{4}$

3.4. Chỏm cầu

Chỏm cầu là phần mặt cầu bị cắt bởi một mặt phẳng.

Gọi $h$ là chiều cao chỏm cầu, $R$ là bán kính mặt cầu:

Diện tích chỏm cầu: $S = 2\pi R h$

Thể tích phần khối cầu bị cắt: $V = \frac{\pi h^2(3R - h)}{3}$

Bài tập mẫu có lời giải

Bài 1: Khối trụ

Đề bài: Một hình trụ có bán kính đáy $r = 5$cm và chiều cao $h = 10$cm. Tính diện tích xung quanh và thể tích.

Lời giải:

Nhắc lại: $S_{xq} = 2\pi rh$, $V = \pi r^2 h$

Bước 1: Tính diện tích xung quanh $S_{xq} = 2\pi r h = 2\pi \cdot 5 \cdot 10 = 100\pi$ cm²

Lý do: Mặt xung quanh hình trụ khi trải phẳng là hình chữ nhật có chiều dài $2\pi r$ (chu vi đáy) và chiều rộng $h$.

Bước 2: Tính thể tích $V = \pi r^2 h = \pi \cdot 25 \cdot 10 = 250\pi$ cm³

Bài 2: Khối nón

Đề bài: Một hình nón có bán kính đáy $r = 3$cm và chiều cao $h = 4$cm. Tính đường sinh, diện tích xung quanh và thể tích.

Lời giải:

Nhắc lại: Đường sinh $l = \sqrt{r^2 + h^2}$

Bước 1: Tính đường sinh $l = \sqrt{r^2 + h^2} = \sqrt{9 + 16} = 5$ cm

Lý do: Đường sinh, bán kính đáy và chiều cao tạo thành tam giác vuông.

Bước 2: Tính diện tích xung quanh $S_{xq} = \pi r l = \pi \cdot 3 \cdot 5 = 15\pi$ cm²

Bước 3: Tính thể tích $V = \frac{1}{3}\pi r^2 h = \frac{1}{3}\pi \cdot 9 \cdot 4 = 12\pi$ cm³

Kiểm tra: Thể tích nón = $\frac{1}{3}$ thể tích trụ cùng đáy, cùng cao ✓

Bài 3: Khối cầu

Đề bài: Một quả bóng có đường kính 20cm. Tính diện tích mặt cầu và thể tích.

Lời giải:

Nhắc lại: $S = 4\pi R^2$, $V = \frac{4}{3}\pi R^3$

Bước 1: Tính bán kính từ đường kính $R = \frac{d}{2} = \frac{20}{2} = 10$ cm

Bước 2: Tính diện tích mặt cầu $S = 4\pi R^2 = 4\pi \cdot 100 = 400\pi$ cm² $\approx 1257$ cm²

Lý do: Diện tích mặt cầu bằng 4 lần diện tích hình tròn lớn nhất.

Bước 3: Tính thể tích $V = \frac{4}{3}\pi R^3 = \frac{4}{3}\pi \cdot 1000 = \frac{4000\pi}{3}$ cm³ $\approx 4189$ cm³

Bài 4: Mặt cầu ngoại tiếp

Đề bài: Tìm bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương cạnh $a = 6$cm.

Lời giải:

Nhắc lại: Đường chéo không gian hình lập phương $d = a\sqrt{3}$

Bước 1: Tính đường chéo không gian $d = a\sqrt{3} = 6\sqrt{3}$ cm

Bước 2: Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp

Lý do: Mặt cầu ngoại tiếp đi qua 8 đỉnh, có đường kính bằng đường chéo không gian.

$R = \frac{d}{2} = \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{6\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}$ cm $\approx 5.2$ cm

Bài 5: Bài toán thực tế

Đề bài: Một cốc hình trụ có đường kính 8cm, chiều cao 12cm. Tính thể tích nước tối đa cốc chứa được (tính theo lít).

Lời giải:

Bước 1: Xác định các thông số $r = \frac{8}{2} = 4$ cm, $h = 12$ cm

Bước 2: Tính thể tích theo cm³ $V = \pi r^2 h = \pi \cdot 16 \cdot 12 = 192\pi$ cm³

Bước 3: Đổi sang lít

Lý do: 1 lít = 1000 cm³

$V \approx 192 \times 3.14 = 603.2$ cm³ $= 0.6032$ lít $\approx 0.6$ lít

Bài tập tự luyện

Bài 1

Một hình trụ có bán kính đáy 4cm và chiều cao bằng đường kính đáy. Tính:

a) Diện tích toàn phần

b) Thể tích

Bài 2

Một hình nón có đường sinh 10cm và bán kính đáy 6cm. Tính:

a) Chiều cao

b) Thể tích

Bài 3

Một quả cầu có thể tích $\frac{500\pi}{3}$ cm³. Tính:

a) Bán kính

b) Diện tích mặt cầu

Bài 4

Một khối trụ nội tiếp hình cầu bán kính $R$. Biết chiều cao trụ bằng đường kính đáy. Tính thể tích khối trụ.

Bài 5

Một nón xoay được cắt bởi mặt phẳng song song với đáy, cách đáy một khoảng bằng $\frac{1}{3}$ chiều cao. Tính tỉ số thể tích phần trên và phần dưới mặt cắt.

Tóm tắt

Công thức quan trọng

Key Points

• Đường sinh nón: $l = \sqrt{r^2 + h^2}$
• Nón cụt: $V = \frac{1}{3}\pi h(r_1^2 + r_1 r_2 + r_2^2)$
• Lưu ý: Diện tích toàn phần = xung quanh + đáy(s)