Chương 6 (tiếp): Xác suất

1. Không gian mẫu và Biến cố

1.1 Phép thử ngẫu nhiên

Định nghĩa: Phép thử ngẫu nhiên là phép thử mà ta không đoán trước được kết quả, mặc dù biết tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra.

Ví dụ phép thử ngẫu nhiên:

• Tung một đồng xu
• Gieo một con xúc xắc
• Rút một lá bài từ bộ bài

1.2 Không gian mẫu

Định nghĩa: Không gian mẫu (ký hiệu $\Omega$) là tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra của một phép thử ngẫu nhiên.

Ví dụ 1: Tung một đồng xu 2 lần. Xác định không gian mẫu.

Lời giải: $\Omega = \{SS, SN, NS, NN\}$

trong đó S = Sấp, N = Ngửa.

→ Số phần tử: $n(\Omega) = 4$

Ví dụ 2: Gieo một con xúc xắc. Xác định không gian mẫu.

Lời giải: $\Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$

→ Số phần tử: $n(\Omega) = 6$

1.3 Biến cố

Định nghĩa: Biến cố là một tập hợp con của không gian mẫu $\Omega$.

Các loại biến cố đặc biệt:

• Biến cố chắc chắn: $\Omega$ (luôn xảy ra)
• Biến cố không thể: $\emptyset$ (không bao giờ xảy ra)
• Biến cố sơ cấp: biến cố chỉ chứa một phần tử

Ví dụ 3: Gieo xúc xắc. Xét các biến cố:

• A: “Xuất hiện mặt chẵn”
• B: “Xuất hiện mặt chia hết cho 3”
• C: “Xuất hiện mặt lớn hơn 6”

Lời giải:

• $A = \{2, 4, 6\}$ → $n(A) = 3$
• $B = \{3, 6\}$ → $n(B) = 2$
• $C = \emptyset$ (biến cố không thể)

1.4 Các phép toán trên biến cố

Biến cố xung khắc: $A \cap B = \emptyset$ (không thể cùng xảy ra)

2. Xác suất của biến cố

2.1 Định nghĩa cổ điển

Xác suất cổ điển: Nếu không gian mẫu $\Omega$ có $n$ kết quả đồng khả năng (khả năng xảy ra như nhau) và biến cố A gồm $k$ kết quả: $P(A) = \frac{n(A)}{n(\Omega)} = \frac{k}{n}$

Tính chất cơ bản:

1. $0 \leq P(A) \leq 1$
2. $P(\Omega) = 1$ (biến cố chắc chắn)
3. $P(\emptyset) = 0$ (biến cố không thể)

2.2 Ví dụ tính xác suất

Ví dụ 4: Gieo một con xúc xắc. Tính xác suất xuất hiện mặt chẵn.

Lời giải:

Bước 1: Xác định không gian mẫu $\Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}, \quad n(\Omega) = 6$

Bước 2: Xác định biến cố A: “Mặt chẵn” $A = \{2, 4, 6\}, \quad n(A) = 3$

Bước 3: Tính xác suất $P(A) = \frac{n(A)}{n(\Omega)} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$

Ví dụ 5: Một hộp có 4 bi xanh và 6 bi đỏ. Lấy ngẫu nhiên 1 bi. Tính xác suất lấy được bi xanh.

Lời giải:

Bước 1: Tổng số bi = $4 + 6 = 10$ → $n(\Omega) = 10$

Bước 2: Biến cố A: “Lấy được bi xanh” → $n(A) = 4$

Bước 3: Xác suất $P(A) = \frac{4}{10} = \frac{2}{5} = 0.4$

2.3 Tính chất của xác suất

Xác suất biến cố đối: $P(\overline{A}) = 1 - P(A)$

Công thức cộng xác suất: $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$

Nếu A và B xung khắc ($A \cap B = \emptyset$): $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$

Hình minh họa Venn Diagram:

Giải thích: Sơ đồ Venn thể hiện không gian mẫu Ω (hình chữ nhật), biến cố A (vòng tròn xanh), biến cố B (vòng tròn đỏ). Phần giao A∩B là vùng chồng lấn (tím). Công thức cộng: P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B) vì phần giao được tính 2 lần.

Ví dụ 6: Trong một hộp có 10 quả bóng: 4 xanh, 3 đỏ, 3 vàng. Lấy ngẫu nhiên 1 bóng. Tính xác suất lấy được bóng không phải màu xanh.

Lời giải:

Phân tích: Dùng biến cố đối cho nhanh!

Cách 1: Trực tiếp

• Biến cố B: “Không phải xanh” = (đỏ, vàng)
• $n(B) = 3 + 3 = 6$
• $P(B) = \frac{6}{10} = 0.6$

Cách 2: Dùng biến cố đối

• Biến cố A: “Lấy được xanh” → $P(A) = \frac{4}{10} = 0.4$
• $P(\overline{A}) = 1 - 0.4 = 0.6$ ✓

3. Xác suất có điều kiện

3.1 Định nghĩa

Xác suất có điều kiện: Xác suất của biến cố A khi biết biến cố B đã xảy ra: $P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}, \quad \text{với } P(B) > 0$

Ý nghĩa: Không gian mẫu thu hẹp từ $\Omega$ xuống $B$.

3.2 Công thức nhân xác suất

Quy tắc nhân: $P(A \cap B) = P(B) \cdot P(A|B)$ Hoặc: $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B|A)$

Ví dụ 7: Một hộp có 5 bi xanh và 3 bi đỏ. Lấy lần lượt 2 bi (không hoàn lại). Tính xác suất cả hai bi đều đỏ.

Lời giải:

Gọi:

• A: “Bi đầu tiên đỏ”
• B: “Bi thứ hai đỏ”

Bước 1: Tính $P(A)$ $P(A) = \frac{3}{8}$

Bước 2: Tính $P(B|A)$ (bi thứ 2 đỏ khi bi 1 đã đỏ)

• Sau khi lấy 1 bi đỏ, còn 2 bi đỏ và 5 bi xanh $P(B|A) = \frac{2}{7}$

Bước 3: Áp dụng quy tắc nhân $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B|A) = \frac{3}{8} \times \frac{2}{7} = \frac{6}{56} = \frac{3}{28}$

4. Biến cố độc lập

4.1 Định nghĩa

Biến cố độc lập: A và B độc lập khi việc xảy ra của biến cố này không ảnh hưởng đến xác suất của biến cố kia: $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$

4.2 Ví dụ

Ví dụ 8: Tung một đồng xu 2 lần. Gọi A là biến cố “Lần 1 sấp”, B là “Lần 2 sấp”. A và B có độc lập không?

Lời giải:

• $P(A) = \frac{1}{2}$
• $P(B) = \frac{1}{2}$
• $P(A \cap B) = P(\text{Cả 2 lần sấp}) = \frac{1}{4}$

Kiểm tra: $P(A) \cdot P(B) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4} = P(A \cap B)$

→ A và B độc lập ✓

Bài tập mẫu

Bài 1: Xác định không gian mẫu

Gieo 2 con xúc xắc. Xác định không gian mẫu và tính số phần tử.

Lời giải:

Nhắc lại: Mỗi xúc xắc có 6 mặt → Quy tắc nhân

Bước 1: Xác định không gian mẫu

Mỗi kết quả có dạng $(a, b)$ với $a, b \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$

$\Omega = \{(1,1), (1,2), ..., (6,6)\}$

Bước 2: Đếm số phần tử

$n(\Omega) = 6 \times 6 = 36$

Bài 2: Tính xác suất

Gieo 2 con xúc xắc. Tính xác suất tổng 2 mặt bằng 7.

Lời giải:

Bước 1: Xác định $n(\Omega) = 36$

Bước 2: Liệt kê biến cố A: “Tổng bằng 7”

$A = \{(1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1)\}$

$n(A) = 6$

Bước 3: Tính xác suất

$P(A) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$

Bài 3: Xác suất với Tổ hợp

Từ một hộp có 4 bi trắng và 6 bi đen, lấy ngẫu nhiên 3 bi. Tính xác suất lấy được 2 bi trắng và 1 bi đen.

Lời giải:

Nhắc lại: Khi lấy nhiều vật cùng lúc → Dùng Tổ hợp

Bước 1: Tính số cách lấy 3 bi từ 10 bi (không gian mẫu)

$n(\Omega) = C_{10}^3 = \frac{10 \times 9 \times 8}{3!} = 120$

Bước 2: Tính số cách lấy 2 trắng và 1 đen (biến cố A)

$n(A) = C_4^2 \times C_6^1 = 6 \times 6 = 36$

Bước 3: Tính xác suất

$P(A) = \frac{36}{120} = \frac{3}{10} = 0.3$

Bài 4: Xác suất biến cố đối

Một lớp có 40 học sinh, trong đó 10 học sinh giỏi Toán. Chọn ngẫu nhiên 5 học sinh. Tính xác suất có ít nhất 1 học sinh giỏi Toán.

Lời giải:

Phân tích: “Ít nhất 1” → Dùng biến cố đối cho nhanh!

Bước 1: Gọi A: “Có ít nhất 1 HS giỏi Toán”

Thì $\overline{A}$: “Không có HS nào giỏi Toán” (tức chọn cả 5 từ 30 HS còn lại)

Bước 2: Tính $P(\overline{A})$

$P(\overline{A}) = \frac{C_{30}^5}{C_{40}^5}$

$C_{30}^5 = 142,506$ $C_{40}^5 = 658,008$

$P(\overline{A}) = \frac{142,506}{658,008} \approx 0.2166$

Bước 3: Tính $P(A)$

$P(A) = 1 - P(\overline{A}) = 1 - 0.2166 \approx 0.7834$

→ Xác suất có ít nhất 1 HS giỏi Toán ≈ 78.34%

Bài 5: Xác suất có điều kiện

Một túi có 3 bi đỏ và 2 bi xanh. Lấy lần lượt 2 bi không hoàn lại. Tính xác suất: a) Bi thứ nhất đỏ b) Bi thứ hai đỏ, biết bi thứ nhất đỏ c) Cả hai bi đều đỏ

Lời giải:

a) Bi thứ nhất đỏ

$P(A) = \frac{3}{5}$

b) Bi thứ hai đỏ, biết bi thứ nhất đỏ ($P(B|A)$)

Sau khi lấy 1 bi đỏ, còn lại 2 bi đỏ và 2 bi xanh

$P(B|A) = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

c) Cả hai bi đều đỏ

Dùng công thức nhân xác suất

$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B|A) = \frac{3}{5} \times \frac{1}{2} = \frac{3}{10}$

Bài 6: Biến cố độc lập

Một máy A hoạt động tốt với xác suất 0.9. Một máy B hoạt động tốt với xác suất 0.8. Hai máy hoạt động độc lập. Tính xác suất: a) Cả hai máy đều tốt b) Ít nhất một máy tốt

Lời giải:

Gọi:

• A: “Máy A tốt” → $P(A) = 0.9$
• B: “Máy B tốt” → $P(B) = 0.8$

a) Cả hai máy đều tốt

Vì A, B độc lập: $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$

$P(A \cap B) = 0.9 \times 0.8 = 0.72$

b) Ít nhất một máy tốt

Dùng biến cố đối: $P(\text{ít nhất 1 tốt}) = 1 - P(\text{cả 2 hỏng})$

$P(\overline{A}) = 1 - 0.9 = 0.1$ $P(\overline{B}) = 1 - 0.8 = 0.2$

$P(\overline{A} \cap \overline{B}) = 0.1 \times 0.2 = 0.02$

$P(\text{ít nhất 1 tốt}) = 1 - 0.02 = 0.98$

Bài 7: Bài toán tổng hợp

Một đề thi có 10 câu hỏi trắc nghiệm, mỗi câu 4 đáp án. Một học sinh không học bài và chọn ngẫu nhiên. Tính xác suất: a) Trả lời đúng 1 câu cụ thể b) Trả lời đúng cả 10 câu c) Trả lời sai hết

Lời giải:

a) Đúng 1 câu cụ thể

$P = \frac{1}{4} = 0.25$

b) Đúng cả 10 câu (các câu độc lập)

$P = \left(\frac{1}{4}\right)^{10} = \frac{1}{1,048,576} \approx 0.00000095$

→ Gần như không thể!

c) Sai hết 10 câu

$P = \left(\frac{3}{4}\right)^{10} = \frac{59,049}{1,048,576} \approx 0.0563$

→ Khoảng 5.63%

Bài 8: Bài toán thực tế

Một nhà máy sản xuất linh kiện với tỉ lệ phế phẩm 2%. Kiểm tra ngẫu nhiên 3 sản phẩm. Tính xác suất có đúng 1 phế phẩm.

Lời giải:

Gọi: p = 0.02 (xác suất phế phẩm), q = 0.98 (xác suất tốt)

Phân tích: Có 3 vị trí có thể để phế phẩm xuất hiện:

• Vị trí 1: Phế - Tốt - Tốt
• Vị trí 2: Tốt - Phế - Tốt
• Vị trí 3: Tốt - Tốt - Phế

Tính xác suất mỗi trường hợp (các sản phẩm độc lập):

Mỗi trường hợp: $0.02 \times 0.98 \times 0.98 = 0.019208$

Tổng xác suất:

$P = C_3^1 \times (0.02)^1 \times (0.98)^2 = 3 \times 0.02 \times 0.9604 = 0.0576$

→ Xác suất có đúng 1 phế phẩm ≈ 5.76%

Bài tập tự luyện

Bài 1

Gieo 2 xúc xắc. Tính xác suất tổng 2 mặt chia hết cho 5.

Bài 2

Một hộp có 5 bi trắng và 7 bi đen. Lấy ngẫu nhiên 3 bi. Tính xác suất lấy được ít nhất 1 bi trắng.

Bài 3

Hai xạ thủ bắn độc lập. Xạ thủ A trúng với xác suất 0.7, xạ thủ B trúng với xác suất 0.6. Tính xác suất ít nhất 1 người trúng.

Tóm tắt

Công thức quan trọng

Key Points

• Xác suất luôn nằm trong [0, 1]
• Biến cố xung khắc: $A \cap B = \emptyset$ → $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$
• Biến cố độc lập: $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$
• Lưu ý: Lưu ý: $P(A \cup B) \neq P(A) + P(B)$ (trừ khi xung khắc)