Chương 5: Một số yếu tố Thống kê và Xác suất

Mục tiêu học tập

Sau khi hoàn thành chương này, bạn sẽ:

• Lập được bảng phân bố tần số ghép nhóm
• Tính các số đặc trưng cho mẫu số liệu ghép nhóm
• Áp dụng trong thực tế khi xử lý số liệu lớn

Phần 1: Bảng phân bố tần số ghép nhóm

1.1. Khi nào cần ghép nhóm?

• Mẫu số liệu có nhiều giá trị khác nhau (> 20-30 giá trị)
• Dữ liệu liên tục (chiều cao, cân nặng, điểm số)
• Cần tóm tắt dữ liệu để dễ phân tích

1.2. Cách lập bảng

Bước 1: Xác định biên độ mẫu $R = x_{max} - x_{min}$

Bước 2: Chọn số nhóm $k$ (thường 5-15 nhóm)

Bước 3: Tính độ rộng mỗi nhóm: $h = \frac{R}{k}$

Bước 4: Xác định các nhóm: $[a_1, a_2), [a_2, a_3), ..., [a_k, a_{k+1}]$

Bước 5: Đếm tần số mỗi nhóm

1.3. Ví dụ

Biểu đồ histogram dữ liệu ghép nhóm:

Giải thích biểu đồ: Histogram cho thấy phân bố tần số theo nhóm. Cột cao nhất ở nhóm [160, 170) cho thấy đây là nhóm có tần số cao nhất (nhóm mốt).

Phần 2: Số trung bình của mẫu ghép nhóm

2.1. Công thức

$\bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{k} n_i \cdot c_i}{n}$

Trong đó:

• $c_i$: giá trị đại diện của nhóm thứ $i$ (trung điểm của khoảng)
• $n_i$: tần số của nhóm thứ $i$
• $n$: tổng số phần tử

2.2. Ví dụ tính toán

Từ bảng ở phần 1.3:

$\bar{x} = \frac{5 \times 145 + 15 \times 155 + 20 \times 165 + 10 \times 175}{50}$

$= \frac{725 + 2325 + 3300 + 1750}{50} = \frac{8100}{50} = 162$

Phần 3: Phương sai và độ lệch chuẩn ghép nhóm

3.1. Phương sai

$s^2 = \frac{\sum_{i=1}^{k} n_i (c_i - \bar{x})^2}{n}$

hoặc công thức tính nhanh:

$s^2 = \frac{\sum_{i=1}^{k} n_i c_i^2}{n} - \bar{x}^2$

3.2. Độ lệch chuẩn

$s = \sqrt{s^2}$

3.3. Ví dụ tính toán

$s^2 = \frac{5(145-162)^2 + 15(155-162)^2 + 20(165-162)^2 + 10(175-162)^2}{50}$

$= \frac{5(289) + 15(49) + 20(9) + 10(169)}{50} = \frac{1445 + 735 + 180 + 1690}{50} = 81$

$s = \sqrt{81} = 9$

Hình minh họa phân phối chuẩn và độ lệch chuẩn:

Giải thích: Đường cong chuông (phân phối chuẩn) cho thấy ý nghĩa của độ lệch chuẩn: ~68% dữ liệu nằm trong $\bar{x} \pm s$, ~95% trong $\bar{x} \pm 2s$. Độ lệch chuẩn nhỏ → dữ liệu tập trung.

Phần 4: Mốt và trung vị ghép nhóm

4.1. Mốt (Mode)

Nhóm mốt là nhóm có tần số lớn nhất.

$Mo = L + \frac{d_1}{d_1 + d_2} \times h$

Trong đó:

• $L$: biên dưới của nhóm mốt
• $d_1 = n_{Mo} - n_{Mo-1}$ (hiệu với nhóm trước)
• $d_2 = n_{Mo} - n_{Mo+1}$ (hiệu với nhóm sau)
• $h$: độ rộng nhóm

4.2. Trung vị (Median)

$Me = L + \frac{\frac{n}{2} - F}{f_{Me}} \times h$

Trong đó:

• $L$: biên dưới của nhóm chứa trung vị
• $F$: tần số tích lũy đến nhóm trước
• $f_{Me}$: tần số của nhóm chứa trung vị

Bài tập mẫu có lời giải

Bài 1: Lập bảng và tính trung bình

Đề bài: Điểm kiểm tra của 40 học sinh: 2 điểm 4, 5 điểm 5, 12 điểm 6, 10 điểm 7, 8 điểm 8, 3 điểm 9. Ghép thành 3 nhóm [4,6), [6,8), [8,10] và tính điểm trung bình.

Lời giải:

$\bar{x} = \frac{7 \times 5 + 22 \times 7 + 11 \times 9}{40} = \frac{35 + 154 + 99}{40} = \frac{288}{40} = 7.2$

Bài 2: Tính phương sai

Đề bài: Từ bài 1, tính phương sai và độ lệch chuẩn.

Lời giải:

$s^2 = \frac{7(5-7.2)^2 + 22(7-7.2)^2 + 11(9-7.2)^2}{40}$

$= \frac{7(4.84) + 22(0.04) + 11(3.24)}{40} = \frac{33.88 + 0.88 + 35.64}{40} = 1.76$

$s = \sqrt{1.76} \approx 1.33$

Bài tập tự luyện

Bài 1

Chiều cao của 50 học sinh được ghép nhóm như sau:

Tính chiều cao trung bình, phương sai và độ lệch chuẩn.

Bài 2

Xác định nhóm mốt và tính mốt từ bảng phân bố ở bài 1.

Phần 5: Biến cố hợp và Biến cố giao

5.1. Biến cố hợp (Union)

Định nghĩa: Biến cố “A hoặc B xảy ra” (ít nhất một trong hai) gọi là biến cố hợp.

Ký hiệu: $A \cup B$

Ví dụ: Gieo xúc xắc: $A$ = “số chẵn”, $B$ = “số > 4”

• $A \cup B$ = 6

5.2. Biến cố giao (Intersection)

Định nghĩa: Biến cố “A và B cùng xảy ra” gọi là biến cố giao.

Ký hiệu: $A \cap B$

Ví dụ: $A \cap B$ = 6 (vừa chẵn vừa lớn hơn 4)

5.3. Biến cố đối (Complement)

$P(\bar{A}) = 1 - P(A)$

Phần 6: Công thức Cộng xác suất

$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$

Nếu A và B xung khắc ($A \cap B = \emptyset$): $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$

Phần 7: Biến cố độc lập

Định nghĩa: A và B độc lập khi việc xảy ra biến cố này không ảnh hưởng đến biến cố kia.

$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$

Ví dụ: Xạ thủ A trúng với xác suất 0.8, xạ thủ B trúng với 0.7.

• Cả hai trúng: $P = 0.8 \times 0.7 = 0.56$

Phần 8: Xác suất có điều kiện

$P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$

Ý nghĩa: Xác suất A xảy ra khi đã biết B xảy ra.

Bài tập Xác suất

Bài 3

Hộp có 5 bi đỏ, 3 bi xanh. Lấy 2 bi. Tính xác suất: a) Cả hai cùng màu
b) Ít nhất 1 bi đỏ

Giải: a) $P = \frac{C_5^2 + C_3^2}{C_8^2} = \frac{10 + 3}{28} = \frac{13}{28}$

b) $P = 1 - \frac{C_3^2}{C_8^2} = 1 - \frac{3}{28} = \frac{25}{28}$

Bài 4

Xác suất đồng hồ chạy đúng trong 1 năm là 0.9. Với 3 đồng hồ độc lập: a) Cả 3 đúng
b) Ít nhất 1 sai

Giải: a) $P = 0.9^3 = 0.729$ b) $P = 1 - 0.729 = 0.271$

Tóm tắt

Công thức quan trọng

Key Points

• Giá trị đại diện $c_i$: Trung điểm của khoảng ghép nhóm
• Phương sai đo độ phân tán của dữ liệu quanh trung bình
• Biến cố độc lập: $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$
• Biến cố xung khắc: $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$
• Lưu ý: Công thức cộng xác suất tổng quát phải trừ phần giao