Chương 7: Đạo hàm

Mục tiêu học tập

Sau khi hoàn thành chương này, bạn sẽ:

• Hiểu định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm
• Thành thạo các quy tắc tính đạo hàm
• Áp dụng đạo hàm vào bài toán thực tế

Phần 1: Định nghĩa đạo hàm

1.1. Khái niệm

Cho hàm số $y = f(x)$ xác định trên khoảng $(a, b)$ và $x_0 \in (a, b)$.

Đạo hàm của $f(x)$ tại $x_0$ là giới hạn (nếu tồn tại):

$f'(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x} = \lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}$

Ký hiệu: $f'(x_0)$ hoặc $\frac{df}{dx}(x_0)$ hoặc $y'(x_0)$

1.2. Ý nghĩa hình học

$f'(x_0)$ là hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị hàm số $y = f(x)$ tại điểm $M(x_0, f(x_0))$.

Phương trình tiếp tuyến tại điểm $M(x_0, y_0)$:

$y - y_0 = f'(x_0)(x - x_0)$

Hay: $y = f'(x_0)(x - x_0) + f(x_0)$

Minh họa tương tác tiếp tuyến và đạo hàm:

Hình minh họa ý nghĩa hình học của đạo hàm:

Giải thích: Đạo hàm f’(x₀) chính là hệ số góc (tan α) của tiếp tuyến với đồ thị tại điểm M(x₀, f(x₀)). Tiếp tuyến là đường thẳng “tiếp xúc” với đồ thị tại điểm M, thể hiện hướng biến thiên của hàm số tại điểm đó.

1.3. Ý nghĩa vật lý

Nếu $s = s(t)$ là quãng đường đi được theo thời gian $t$, thì:

$v(t) = s'(t)$

là vận tốc tức thời tại thời điểm $t$.

Phần 2: Đạo hàm của các hàm số cơ bản

2.1. Bảng đạo hàm cơ bản

2.2. Đạo hàm của hàm mũ và logarit (Lớp 12)

Phần 3: Quy tắc tính đạo hàm

3.1. Đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương

Cho $u = u(x)$ và $v = v(x)$ có đạo hàm.

3.2. Đạo hàm của hàm hợp (Chain Rule)

Nếu $y = f(u)$ và $u = g(x)$, thì:

$y'_x = y'_u \cdot u'_x$

Hay: $(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$

Công thức thường dùng:

Phần 4: Đạo hàm cấp cao

4.1. Định nghĩa

Đạo hàm cấp hai: $f''(x) = (f'(x))'$

Đạo hàm cấp n: $f^{(n)}(x) = (f^{(n-1)}(x))'$

4.2. Ý nghĩa

• $f''(x)$ là gia tốc nếu $f(x)$ là quãng đường
• $f''(x) > 0$: Đồ thị lõm lên
• $f''(x) < 0$: Đồ thị lõm xuống

Bài tập mẫu có lời giải

Bài 1: Tính đạo hàm bằng định nghĩa

Đề bài: Dùng định nghĩa, tính đạo hàm của $f(x) = x^2$ tại $x_0 = 2$.

Lời giải:

Nhắc lại: $f'(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}$

Bước 1: Lập tỉ số gia $f'(2) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(2 + \Delta x) - f(2)}{\Delta x}$

Bước 2: Khai triển $f(2 + \Delta x) = (2 + \Delta x)^2 = 4 + 4\Delta x + (\Delta x)^2$ $= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{4 + 4\Delta x + (\Delta x)^2 - 4}{\Delta x}$

Bước 3: Rút gọn và tìm giới hạn $= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta x(4 + \Delta x)}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} (4 + \Delta x) = 4$

Kiểm tra: Dùng công thức: $(x^2)' = 2x \Rightarrow f'(2) = 2(2) = 4$ ✓

Bài 2: Áp dụng công thức

Đề bài: Tính đạo hàm của $y = 3x^4 - 2x^3 + 5x - 7$

Lời giải:

Nhắc lại: $(x^n)' = nx^{n-1}$, $(cu)' = cu'$, $(c)' = 0$

Bước 1: Đạo hàm từng hạng (tổng → đạo hàm từng phần) $y' = 3 \cdot (x^4)' - 2 \cdot (x^3)' + 5 \cdot (x)' - (7)'$

Lý do: Đạo hàm của tổng = tổng đạo hàm, hằng số nhân ra ngoài.

Bước 2: Áp dụng $(x^n)' = nx^{n-1}$ $y' = 3 \cdot 4x^3 - 2 \cdot 3x^2 + 5 \cdot 1 - 0 = 12x^3 - 6x^2 + 5$

Kiểm tra: Tại $x = 1$: $y = 3 - 2 + 5 - 7 = -1$, $y' = 12 - 6 + 5 = 11$ (hệ số góc tiếp tuyến tại $x=1$) ✓

Bài 3: Đạo hàm tích và thương

Đề bài: Tính đạo hàm của $y = (x^2 + 1)(2x - 3)$

Lời giải:

Cách 1: Dùng công thức tích

Đặt $u = x^2 + 1$, $v = 2x - 3$

$u' = 2x$, $v' = 2$

$y' = u'v + uv' = 2x(2x - 3) + (x^2 + 1) \cdot 2$ $= 4x^2 - 6x + 2x^2 + 2$ $= 6x^2 - 6x + 2$

Cách 2: Khai triển trước

$y = 2x^3 - 3x^2 + 2x - 3$

$y' = 6x^2 - 6x + 2$

Bài 4: Đạo hàm hàm hợp

Đề bài: Tính đạo hàm của $y = \sin(3x + 2)$

Lời giải:

Nhắc lại: Chain Rule: $(f(u))' = f'(u) \cdot u'$

Bước 1: Xác định hàm ngoài và hàm trong

• Hàm ngoài: $f(u) = \sin u \Rightarrow f'(u) = \cos u$
• Hàm trong: $u = 3x + 2 \Rightarrow u' = 3$

Lý do: $y = \sin(\square)$ là hàm hợp, $\square = 3x+2$ là hàm bên trong.

Bước 2: Áp dụng Chain Rule $y' = \cos u \cdot u' = \cos(3x + 2) \cdot 3 = 3\cos(3x + 2)$

Bài 5: Phương trình tiếp tuyến

Đề bài: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị $y = x^3 - 3x + 2$ tại điểm có hoành độ $x_0 = 1$.

Lời giải:

Bước 1: Tính $y_0$ $y_0 = 1^3 - 3(1) + 2 = 0$

Điểm tiếp xúc: $M(1, 0)$

Bước 2: Tính đạo hàm $y' = 3x^2 - 3$

Bước 3: Tính hệ số góc $f'(1) = 3(1)^2 - 3 = 0$

Bước 4: Viết phương trình tiếp tuyến $y - 0 = 0(x - 1)$ $y = 0$

Bài 6: Đạo hàm cấp cao

Đề bài: Tính $y''$ của $y = x^4 - 2x^3 + x^2$

Lời giải:

$y' = 4x^3 - 6x^2 + 2x$

$y'' = 12x^2 - 12x + 2$

Bài tập tự luyện

Bài 1

Tính đạo hàm:

a) $y = 5x^3 - 4x^2 + 3x - 1$

b) $y = \sqrt{x} + \frac{1}{x}$

c) $y = \frac{x^2 + 1}{x - 1}$

Bài 2

Tính đạo hàm các hàm hợp:

a) $y = (2x + 1)^5$

b) $y = \sqrt{x^2 + 1}$

c) $y = \cos(2x - \frac{\pi}{3})$

Bài 3

Viết phương trình tiếp tuyến:

a) Của $y = x^2 - 4x + 3$ tại điểm có hoành độ $x = 3$

b) Của $y = \frac{x + 1}{x - 1}$ tại điểm có hoành độ $x = 2$

Bài 4

Cho $y = x^3 - 3x^2 + 2$. Tìm các điểm trên đồ thị mà tại đó tiếp tuyến có hệ số góc bằng 9.

Bài 5

Tính đạo hàm cấp hai của:

a) $y = \sin x \cos x$

b) $y = x^2 \sin x$

Tóm tắt

Công thức quan trọng

Quy tắc đạo hàm

Key Points

• Tiếp tuyến tại $x_0$: $y = f'(x_0)(x - x_0) + f(x_0)$
• Đạo hàm = hệ số góc tiếp tuyến
• Lưu ý: Luôn xác định miền xác định trước khi tính đạo hàm