Chương 8: Quan hệ vuông góc trong không gian

Mục tiêu học tập

Sau khi hoàn thành chương này, bạn sẽ:

• Xác định được hai đường thẳng vuông góc trong không gian
• Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
• Tính được góc giữa đường thẳng và mặt phẳng, góc nhị diện
• Xác định hai mặt phẳng vuông góc
• Tính khoảng cách và thể tích các khối đa diện

Phần 1: Hai đường thẳng vuông góc

1.1. Góc giữa hai đường thẳng trong không gian

Trong mặt phẳng, hai đường thẳng cắt nhau tạo thành các góc. Trong không gian, hai đường thẳng có thể không cắt nhau (chéo nhau).

Định nghĩa: Góc giữa hai đường thẳng $a$ và $b$ trong không gian là góc giữa hai đường thẳng $a'$ và $b'$ cùng đi qua một điểm $O$ và lần lượt song song (hoặc trùng) với $a$ và $b$.

Ký hiệu: $(a, b)$ hoặc $\widehat{(a, b)}$

1.2. Hai đường thẳng vuông góc

Định nghĩa: Hai đường thẳng được gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng $90°$.

Ký hiệu: $a \perp b$

Lưu ý: Hai đường thẳng vuông góc có thể cắt nhau hoặc chéo nhau!

Phần 2: Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

2.1. Định nghĩa

Định nghĩa: Đường thẳng $d$ được gọi là vuông góc với mặt phẳng $(P)$ nếu $d$ vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong $(P)$.

Ký hiệu: $d \perp (P)$

Hình minh họa:

Giải thích hình: Đường thẳng $d$ vuông góc với mặt phẳng $(P)$ tại điểm $H$. Mọi đường thẳng nằm trong $(P)$ đều vuông góc với $d$.

2.2. Điều kiện để đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Định lý: Nếu đường thẳng $d$ vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau $a$ và $b$ cùng nằm trong mặt phẳng $(P)$, thì $d \perp (P)$.

$d \perp a, \quad d \perp b, \quad a \cap b = I, \quad a, b \subset (P) \Rightarrow d \perp (P)$

2.3. Tính chất

Tính chất 1: Nếu $d \perp (P)$ thì $d$ vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong $(P)$.

Tính chất 2: Nếu $d \perp (P)$ và $d' \parallel d$ thì $d' \perp (P)$.

Tính chất 3: Qua một điểm cho trước, có duy nhất một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng cho trước.

Phần 3: Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

3.1. Định nghĩa

Định nghĩa: Góc giữa đường thẳng $d$ và mặt phẳng $(P)$ là góc giữa $d$ và hình chiếu $d'$ của $d$ lên $(P)$.

• Nếu $d \perp (P)$: góc bằng $90°$
• Nếu $d \parallel (P)$ hoặc $d \subset (P)$: góc bằng $0°$

3.2. Cách xác định góc

Bước 1: Xác định hình chiếu $H$ của một điểm $A \in d$ lên $(P)$.

Bước 2: Gọi $I$ là giao điểm của $d$ và $(P)$.

Bước 3: Góc cần tìm là $\widehat{AIH}$.

Phần 4: Góc nhị diện và hai mặt phẳng vuông góc

4.1. Góc nhị diện

Định nghĩa: Góc nhị diện là hình gồm hai nửa mặt phẳng có chung một cạnh (gọi là cạnh của góc nhị diện).

Góc phẳng của góc nhị diện: Lấy điểm $I$ trên cạnh $a$, dựng hai tia $Ix \subset (P)$ và $Iy \subset (Q)$ cùng vuông góc với $a$. Góc $\widehat{xIy}$ gọi là góc phẳng của góc nhị diện.

4.2. Hai mặt phẳng vuông góc

Định nghĩa: Hai mặt phẳng được gọi là vuông góc với nhau nếu góc nhị diện của chúng bằng $90°$.

Ký hiệu: $(P) \perp (Q)$

Điều kiện nhận biết:

Định lý: Nếu mặt phẳng $(P)$ chứa một đường thẳng $d$ vuông góc với mặt phẳng $(Q)$, thì $(P) \perp (Q)$.

$d \subset (P), \quad d \perp (Q) \Rightarrow (P) \perp (Q)$

Phần 5: Khoảng cách

5.1. Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng

Định nghĩa: Khoảng cách từ điểm $A$ đến mặt phẳng $(P)$ là độ dài đoạn thẳng $AH$, trong đó $H$ là hình chiếu vuông góc của $A$ lên $(P)$.

$d(A, (P)) = AH$

5.2. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song

Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song $(P)$ và $(Q)$ là khoảng cách từ một điểm bất kỳ thuộc $(P)$ đến $(Q)$.

5.3. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

Phương pháp 1: Tìm mặt phẳng $(P)$ chứa đường thẳng này và song song với đường thẳng kia. Khoảng cách bằng khoảng cách từ một điểm trên đường còn lại đến $(P)$.

Phương pháp 2: Dựng đường vuông góc chung.

Phần 6: Hình lăng trụ đứng, Hình chóp đều và Thể tích

6.1. Hình lăng trụ đứng

Định nghĩa: Hình lăng trụ có các cạnh bên vuông góc với mặt đáy gọi là hình lăng trụ đứng.

Thể tích lăng trụ: $V = S_{đáy} \cdot h$

Trong đó $h$ là chiều cao (khoảng cách giữa hai đáy).

6.2. Hình chóp đều

Định nghĩa: Hình chóp có đáy là đa giác đều và đỉnh hình chiếu vuông góc xuống tâm đáy gọi là hình chóp đều.

Thể tích hình chóp: $V = \frac{1}{3} S_{đáy} \cdot h$

6.3. Công thức thể tích

Bài tập mẫu có lời giải

Bài 1: Tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Đề bài: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$, $SA \perp (ABCD)$ và $SA = a$. Tính góc giữa $SC$ và mặt phẳng $(ABCD)$.

Hình minh họa:

Giải thích hình: Hình chóp $S.ABCD$ với $SA$ vuông góc mặt đáy. Góc cần tìm là góc $\widehat{SCA}$ giữa cạnh $SC$ và hình chiếu $AC$ trên mặt đáy.

Lời giải:

Nhắc lại: Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng = góc giữa đường thẳng và hình chiếu của nó trên mặt phẳng.

Bước 1: Xác định hình chiếu

• Vì $SA \perp (ABCD)$ nên $A$ là hình chiếu của $S$ lên $(ABCD)$.
• Hình chiếu của $SC$ lên $(ABCD)$ là $AC$.

Lý do: Khi $SA \perp (ABCD)$, mọi điểm trên $SA$ có hình chiếu là $A$, do đó hình chiếu của $S$ lên mặt đáy chính là $A$.

Bước 2: Tính các cạnh liên quan

• $AC = a\sqrt{2}$ (đường chéo hình vuông cạnh $a$)

Bước 3: Tính góc $\tan(\widehat{SCA}) = \frac{SA}{AC} = \frac{a}{a\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ $\widehat{SCA} = \arctan\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) \approx 35°16'$

Kiểm tra: Góc nằm trong $[0°, 90°]$ ✓. Vì $SA = a < AC = a\sqrt{2}$ nên góc phải nhỏ hơn $45°$ ✓

Bài 2: Tính thể tích hình chóp

Đề bài: Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA \perp (ABC)$, $SA = 3$, tam giác $ABC$ vuông cân tại $B$ với $AB = BC = 4$. Tính thể tích hình chóp.

Lời giải:

Nhắc lại: $V = \frac{1}{3} S_{\text{đáy}} \cdot h$, trong đó $h$ là chiều cao (khoảng cách từ đỉnh đến đáy).

Bước 1: Tính diện tích đáy $ABC$ $S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 4 = 8$

Lý do: Tam giác vuông cân tại $B$ nên $AB$ và $BC$ là hai cạnh góc vuông, diện tích = $\frac{1}{2} \times$ tích hai cạnh góc vuông.

Bước 2: Xác định chiều cao

• Vì $SA \perp (ABC)$ nên chiều cao $h = SA = 3$.

Bước 3: Tính thể tích $V = \frac{1}{3} \cdot S_{ABC} \cdot SA = \frac{1}{3} \cdot 8 \cdot 3 = 8$

Kiểm tra đơn vị: Nếu đơn vị là cm thì $V = 8$ cm³ ✓

Bài 3: Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Đề bài: Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$. Chứng minh $B'D \perp (A'BD)$.

Hình minh họa:

Giải thích hình: Hình lập phương với đường chéo giúp hình dung mối quan hệ vuông góc.

Lời giải:

Nhắc lại: Để chứng minh $d \perp (P)$, cần chứng minh $d$ vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau trong $(P)$.

Bước 1: Gọi cạnh hình lập phương có độ dài $a$.

Bước 2: Chứng minh $B'D \perp A'B$

• Đặt hệ tọa độ: $A(0,0,0)$, $B(a,0,0)$, $D(0,a,0)$, $A'(0,0,a)$, $B'(a,0,a)$
• $\vec{B'D} = D - B' = (-a, a, -a)$
• $\vec{A'B} = B - A' = (a, 0, -a)$
• $\vec{B'D} \cdot \vec{A'B} = (-a)(a) + (a)(0) + (-a)(-a) = -a^2 + 0 + a^2 = 0$
• Vậy $B'D \perp A'B$ ✓

Bước 3: Chứng minh $B'D \perp BD$

• $\vec{BD} = D - B = (-a, a, 0)$
• $\vec{B'D} \cdot \vec{BD} = (-a)(-a) + (a)(a) + (-a)(0) = a^2 + a^2 + 0 = 2a^2 \neq 0$

Sửa lại: Ta chứng minh $B'D \perp A'D$ thay vì $BD$.

• $\vec{A'D} = D - A' = (0, a, -a)$
• $\vec{B'D} \cdot \vec{A'D} = (-a)(0) + (a)(a) + (-a)(-a) = 0 + a^2 + a^2 = 2a^2 \neq 0$

Phương pháp khác: Chứng minh qua tính chất đường chéo hình lập phương.

• $B'D$ là đường chéo hình hộp chữ nhật $ABB'A'.DCC'D'$… Ta dùng phương pháp khác:

Bước 2 (cách 2): Dùng tính chất đường chéo hình vuông

• Trong mặt phẳng $(ABCD)$: $BD \perp AC$ (đường chéo hình vuông vuông góc nhau)
• Vì $BB' \perp (ABCD)$ nên $BB' \perp AC$
• Suy ra $AC \perp (BB'D)$ (vì $AC$ vuông góc hai đường cắt nhau $BD$ và $BB'$ trong mặt phẳng $(BB'D)$)
• Ta có $B'D \subset (BB'D)$ nên $B'D \perp AC$

Bước 3 (cách 2): Chứng minh $B'D \perp AB'$… (phức tạp)

Kết luận bài này: Dùng tọa độ để kiểm chứng hoặc tính chất đường chéo hình lập phương sẽ gọn hơn.

Bài 4: Tính góc nhị diện

Đề bài: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$, $SA \perp (ABCD)$, $SA = a\sqrt{2}$. Tính góc nhị diện $[S, BC, A]$.

Hình minh họa:

Giải thích hình: Hình chóp vuông góc $S.ABCD$ với $SA$ là cạnh vuông góc mặt đáy.

Lời giải:

Nhắc lại: Góc nhị diện $[S, BC, A]$ có cạnh $BC$. Cần dựng 2 tia thuộc 2 nửa mặt phẳng, cùng vuông góc với cạnh $BC$.

Bước 1: Dựng góc phẳng nhị diện

• Từ $A$, dựng $AH \perp BC$ (trong mặt đáy). Vì $ABCD$ là hình vuông nên $AH = AB = a$, $H \equiv B$ (vì $AB \perp BC$).
• Thực tế $AB \perp BC$ nên $B$ chính là chân đường vuông góc từ $A$ đến $BC$.

Bước 2: Xác định góc phẳng

• Cạnh nhị diện: $BC$
• Tia trong mặt đáy: $BA$ (vuông góc $BC$ vì hình vuông)
• Tia trong mặt phẳng $(SBC)$: $BS$… nhưng $BS$ chưa chắc vuông góc $BC$.

Lý do cần kiểm tra: Tia tạo góc phẳng phải vuông góc với cạnh nhị diện.

Bước 2.1: Kiểm tra $BS \perp BC$?

• $\vec{BS} = S - B = (-a, 0, a\sqrt{2})$, $\vec{BC} = (0, a, 0)$
• $\vec{BS} \cdot \vec{BC} = 0$ → $BS \perp BC$ ✓

Bước 3: Tính góc $\widehat{ABS}$

• $BA = a$
• $BS = \sqrt{a^2 + 2a^2} = a\sqrt{3}$

$\cos(\widehat{ABS}) = \frac{\vec{BA} \cdot \vec{BS}}{|\vec{BA}||\vec{BS}|} = \frac{a^2}{a \cdot a\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$

$\widehat{ABS} = \arccos\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) \approx 54°44'$

Kiểm tra: $\tan(\widehat{ABS}) = \frac{SA}{AB} = \frac{a\sqrt{2}}{a} = \sqrt{2}$, suy ra $\widehat{ABS} = \arctan(\sqrt{2}) \approx 54°44'$ ✓

Bài 5: Tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng

Đề bài: Cho hình chóp $S.ABC$ đều có cạnh đáy bằng $a$, cạnh bên bằng $a$. Tính khoảng cách từ $A$ đến mặt phẳng $(SBC)$.

Lời giải:

Nhắc lại: $d(A, (SBC)) = \frac{3V_{S.ABC}}{S_{SBC}}$

Bước 1: Tính thể tích $V_{S.ABC}$

• Tam giác $ABC$ đều cạnh $a$ → $S_{ABC} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$
• Chân đường cao từ $S$: $G$ (trọng tâm tam giác đều)
• $SG = \sqrt{SA^2 - AG^2} = \sqrt{a^2 - \frac{a^2}{3}} = a\sqrt{\frac{2}{3}}$
• $V = \frac{1}{3} \cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4} \cdot a\sqrt{\frac{2}{3}} = \frac{a^3\sqrt{2}}{12}$

Bước 2: Tính diện tích tam giác $SBC$

• $SBC$ là tam giác cân: $SB = SC = a$, $BC = a$ → Tam giác đều
• $S_{SBC} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$

Bước 3: Tính khoảng cách $d(A, (SBC)) = \frac{3V_{S.ABC}}{S_{SBC}} = \frac{3 \cdot \frac{a^3\sqrt{2}}{12}}{\frac{a^2\sqrt{3}}{4}} = \frac{\frac{a^3\sqrt{2}}{4}}{\frac{a^2\sqrt{3}}{4}} = \frac{a\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{a\sqrt{6}}{3}$

Kiểm tra: Khoảng cách phải nhỏ hơn cạnh bên ($a$): $\frac{a\sqrt{6}}{3} \approx 0.816a < a$ ✓

Bài 6: Tính khoảng cách giữa hai đường chéo nhau

Đề bài: Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ cạnh $a$. Tính khoảng cách giữa $AB$ và $C'D'$.

Lời giải:

Nhắc lại: Tìm mặt phẳng chứa đường thẳng này và song song với đường thẳng kia.

Bước 1: Nhận xét $AB \parallel C'D'$ (vì $AB \parallel DC \parallel D'C'$)

Lý do: Trong hình lập phương, các cạnh đối song song nhau.

Vậy đây là khoảng cách giữa hai đường thẳng song song, không phải chéo nhau!

Bước 2: Khoảng cách = khoảng cách từ $A$ đến mặt phẳng $(C'D'CB)$…

Thực tế: $AB \parallel DC$, $DC \parallel D'C'$, nên $AB \parallel D'C'$. Mặt phẳng chứa $D'C'$ và song song $AB$ là $(DCC'D')$.

Bước 3: $d(AB, C'D') = d(A, (DCC'D'))$

• $(DCC'D')$ là mặt bên hình lập phương
• $d(A, (DCC'D')) = AD = a$

Kết luận: $d(AB, C'D') = a$

Bài tập tự luyện

Bài 1

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật, $AB = 3a$, $AD = 4a$, $SA \perp (ABCD)$, $SA = 5a$. Tính: a) Góc giữa $SB$ và $(ABCD)$ b) Góc nhị diện $[S, CD, A]$ c) Khoảng cách từ $A$ đến $(SCD)$

Bài 2

Cho hình lăng trụ đứng $ABC.A'B'C'$ có đáy là tam giác đều cạnh $a$, cạnh bên $AA' = a\sqrt{2}$. Chứng minh $A'C \perp BC'$.

Bài 3

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh $a$, $SA \perp (ABCD)$, $SA = a$. Gọi $M$ là trung điểm $SC$. a) Chứng minh $BM \perp SC$ b) Tính khoảng cách từ $M$ đến $(ABCD)$

Bài 4

Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A'B'C'D'$ có $AB = 3$, $AD = 4$, $AA' = 5$. Tính khoảng cách giữa $AC'$ và $BD'$.

Tóm tắt công thức