Chương 2: Dãy số. Cấp số cộng và Cấp số nhân

Mục tiêu học tập

Sau khi hoàn thành chương này, bạn sẽ:

• Hiểu khái niệm dãy số và các cách cho dãy số
• Nắm vững công thức cấp số cộng và cấp số nhân
• Áp dụng giải bài toán thực tế

Phần 1: Khái niệm dãy số

1.1. Định nghĩa

Dãy số là một hàm số $u: \mathbb{N}^* \to \mathbb{R}$, trong đó mỗi số tự nhiên $n$ được gắn với một số thực $u_n$.

Ký hiệu: $(u_n)$ hoặc $u_1, u_2, u_3, ..., u_n, ...$

• $u_n$: số hạng tổng quát (số hạng thứ $n$)
• $n$: chỉ số của số hạng

1.2. Các cách cho dãy số

Cách 1: Cho công thức số hạng tổng quát

$u_n = f(n)$

Ví dụ: $u_n = 2n + 1$ cho dãy: $3, 5, 7, 9, 11, ...$

Cách 2: Cho công thức truy hồi

$u_{n+1} = f(u_n, n) \text{ và } u_1$

Ví dụ: $u_1 = 1$, $u_{n+1} = u_n + 2$ cho dãy: $1, 3, 5, 7, 9, ...$

1.3. Dãy số tăng, giảm, bị chặn

Dãy tăng: $u_{n+1} > u_n$ với mọi $n$

Dãy giảm: $u_{n+1} < u_n$ với mọi $n$

Dãy bị chặn: Tồn tại $M > 0$ sao cho $|u_n| \leq M$ với mọi $n$

Phần 2: Cấp số cộng

2.1. Định nghĩa

Cấp số cộng (CSC) là dãy số mà mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ hai) đều bằng số hạng đứng trước cộng với một hằng số $d$.

$u_{n+1} = u_n + d$

Trong đó $d$ gọi là công sai.

Ví dụ:

• $1, 4, 7, 10, 13, ...$ là CSC với $u_1 = 1$, $d = 3$
• $20, 17, 14, 11, 8, ...$ là CSC với $u_1 = 20$, $d = -3$

2.2. Các công thức của cấp số cộng

Công thức số hạng tổng quát:

$u_n = u_1 + (n-1)d$

Hoặc: $u_n = u_k + (n-k)d$ (với $k < n$)

Công thức tính công sai:

$d = u_{n+1} - u_n = \frac{u_n - u_m}{n - m}$

Hình minh họa cấp số cộng:

Giải thích: Mỗi số hạng trong CSC bằng số hạng trước cộng với công sai d (d có thể dương hoặc âm). Công thức tổng quát: uₙ = u₁ + (n-1)d. Tổng n số hạng đầu: Sₙ = n(u₁ + uₙ)/2.

Khám phá tương tác dãy số:

Hướng dẫn: Nhập $u(n) = 2 + 3(n-1)$ (CSC với $u_1 = 2$, $d = 3$) hoặc $v(n) = 3 \cdot 2^{n-1}$ (CSN với $u_1 = 3$, $q = 2$) để thấy đồ thị dãy số.

2.3. Tính chất của cấp số cộng

Tính chất 1: Trong CSC, ba số hạng liên tiếp $u_{n-1}, u_n, u_{n+1}$ thỏa mãn:

$u_n = \frac{u_{n-1} + u_{n+1}}{2}$

($u_n$ là trung bình cộng của hai số hạng kề nó)

Tính chất 2: Nếu $i + j = k + l$ thì $u_i + u_j = u_k + u_l$

2.4. Tổng n số hạng đầu tiên

$S_n = u_1 + u_2 + ... + u_n = \frac{n(u_1 + u_n)}{2} = \frac{n[2u_1 + (n-1)d]}{2}$

Phần 3: Cấp số nhân

3.1. Định nghĩa

Cấp số nhân (CSN) là dãy số mà mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ hai) đều bằng số hạng đứng trước nhân với một hằng số $q \neq 0$.

$u_{n+1} = u_n \cdot q$

Trong đó $q$ gọi là công bội.

Ví dụ:

• $2, 6, 18, 54, ...$ là CSN với $u_1 = 2$, $q = 3$
• $64, 32, 16, 8, 4, ...$ là CSN với $u_1 = 64$, $q = \frac{1}{2}$

3.2. Các công thức của cấp số nhân

Công thức số hạng tổng quát:

$u_n = u_1 \cdot q^{n-1}$

Hoặc: $u_n = u_k \cdot q^{n-k}$ (với $k < n$)

Công thức tính công bội:

$q = \frac{u_{n+1}}{u_n} = \sqrt[n-m]{\frac{u_n}{u_m}}$

Hình minh họa cấp số nhân:

Giải thích: Mỗi số hạng trong CSN bằng số hạng trước nhân với công bội q. Kích thước các số hạng tăng (q > 1) hoặc giảm (0 < q < 1) theo cấp số nhân.

3.3. Tính chất của cấp số nhân

Tính chất 1: Trong CSN, ba số hạng liên tiếp $u_{n-1}, u_n, u_{n+1}$ thỏa mãn:

$u_n^2 = u_{n-1} \cdot u_{n+1}$

($u_n$ là trung bình nhân của hai số hạng kề nó)

Tính chất 2: Nếu $i + j = k + l$ thì $u_i \cdot u_j = u_k \cdot u_l$

3.4. Tổng n số hạng đầu tiên

Trường hợp $q = 1$: $S_n = n \cdot u_1$

Trường hợp $q \neq 1$:

$S_n = u_1 \cdot \frac{1 - q^n}{1 - q} = u_1 \cdot \frac{q^n - 1}{q - 1}$

Công thức khác:

$S_n = \frac{u_1 - u_{n+1}}{1 - q} = \frac{u_1 - u_n \cdot q}{1 - q}$

3.5. Tổng vô hạn (khi $|q| < 1$)

Nếu $|q| < 1$, cấp số nhân vô hạn có tổng:

$S = u_1 + u_2 + u_3 + ... = \frac{u_1}{1 - q}$

Bài tập mẫu có lời giải

Bài 1: Cấp số cộng

Đề bài: Cho CSC có $u_5 = 20$ và $u_{10} = 35$. Tìm $u_1$, $d$ và $S_{15}$.

Lời giải chi tiết:

Nhắc lại: CSC có công thức: $u_n = u_1 + (n-1)d$ và $S_n = \frac{n(u_1 + u_n)}{2}$

Bước 1: Tìm công sai $d$

Ta có: $u_{10} = u_5 + 5d$

Lý do: Từ $u_5$ đến $u_{10}$ là 5 bước, mỗi bước cộng thêm $d$.

$35 = 20 + 5d \Rightarrow 5d = 15 \Rightarrow d = 3$

Bước 2: Tìm $u_1$

Từ công thức: $u_5 = u_1 + 4d$

$20 = u_1 + 4 \times 3 = u_1 + 12$

$u_1 = 20 - 12 = 8$

Lý do: Từ $u_1$ đến $u_5$ là 4 bước (không phải 5), nên hệ số là $(5-1) = 4$.

Bước 3: Tính $S_{15}$

Trước tiên tìm $u_{15}$: $u_{15} = u_1 + 14d = 8 + 14 \times 3 = 8 + 42 = 50$

Sau đó tính tổng: $S_{15} = \frac{15(u_1 + u_{15})}{2} = \frac{15(8 + 50)}{2} = \frac{15 \times 58}{2} = 435$

Kiểm tra: Có thể dùng công thức khác: $S_n = \frac{n[2u_1 + (n-1)d]}{2} = \frac{15[16 + 42]}{2} = 435$ ✓

Bài 2: Cấp số nhân

Đề bài: Cho CSN có $u_1 = 3$ và $q = 2$. Tìm:

a) $u_7$

b) Số hạng nào bằng 384?

c) Tổng 8 số hạng đầu tiên

Lời giải chi tiết:

Nhắc lại: CSN có công thức: $u_n = u_1 \cdot q^{n-1}$ và $S_n = u_1 \cdot \frac{q^n - 1}{q - 1}$ (với $q \neq 1$)

a) Tìm $u_7$:

$u_7 = u_1 \cdot q^6 = 3 \cdot 2^6 = 3 \cdot 64 = 192$

Lý do: Số mũ là $7-1 = 6$ vì từ $u_1$ đến $u_7$ nhân với $q$ sáu lần.

b) Tìm số hạng bằng 384:

Ta cần tìm $n$ sao cho $u_n = 384$:

$u_n = 3 \cdot 2^{n-1} = 384$

$2^{n-1} = \frac{384}{3} = 128 = 2^7$

Lý do: Chia cả hai vế cho $3$, rồi so sánh số mũ vì cơ số bằng nhau.

$n - 1 = 7 \Rightarrow n = 8$

Vậy $u_8 = 384$.

c) Tính $S_8$:

$S_8 = u_1 \cdot \frac{q^8 - 1}{q - 1} = 3 \cdot \frac{2^8 - 1}{2 - 1} = 3 \cdot \frac{256 - 1}{1} = 3 \cdot 255 = 765$

Kiểm tra: $S_8 = 3 + 6 + 12 + 24 + 48 + 96 + 192 + 384 = 765$ ✓

Bài 3: Bài toán thực tế

Đề bài: Một người gửi tiết kiệm 100 triệu đồng với lãi suất 6%/năm theo hình thức lãi kép. Sau 5 năm, số tiền thu được là bao nhiêu?

Lời giải chi tiết:

Nhắc lại: Lãi kép tạo thành CSN với công bội $q = 1 + r$ (r là lãi suất).

Bước 1: Xác định các tham số

• Số tiền ban đầu: $u_1 = 100$ (triệu đồng)
• Công bội: $q = 1 + 6\% = 1 + 0.06 = 1.06$
• Số năm: 5

Lý do: Mỗi năm số tiền nhân với $1.06$ (gốc + 6% lãi).

Bước 2: Tính số tiền sau 5 năm

Sau 5 năm là $u_6$ (vì $u_1$ là ban đầu, $u_2$ là sau 1 năm, …):

$u_6 = u_1 \cdot q^5 = 100 \cdot (1.06)^5$

Lý do: Từ năm 0 (u₁) đến năm 5 (u₆) có 5 lần nhân với q.

Bước 3: Tính giá trị

$= 100 \cdot 1.3382... \approx 133.82 \text{ (triệu đồng)}$

So sánh với lãi đơn: Lãi đơn sau 5 năm: $100 + 5 \times 6 = 130$ triệu. Lãi kép cho thêm 3.82 triệu!

Bài 4: Chứng minh dãy số

Đề bài: Chứng minh rằng nếu $a, b, c$ theo thứ tự lập thành CSC thì $a^2, b^2, c^2$ không nhất thiết lập thành CSC.

Lời giải chi tiết:

Nhắc lại: $a, b, c$ lập thành CSC ⟺ $b - a = c - b$ ⟺ $2b = a + c$

Bước 1: Giả sử $a, b, c$ lập thành CSC $2b = a + c \quad (1)$

Bước 2: Tìm điều kiện để $a^2, b^2, c^2$ lập thành CSC

Cần: $2b^2 = a^2 + c^2 \quad (2)$

Lý do: Điều kiện CSC là số hạng giữa bằng trung bình cộng 2 số kề.

Bước 3: Từ (1), tính $4b^2$

$4b^2 = (a + c)^2 = a^2 + 2ac + c^2$

$\Rightarrow 2b^2 = \frac{a^2 + 2ac + c^2}{2}$

Bước 4: So sánh với điều kiện (2)

Để (2) đúng: $a^2 + c^2 = \frac{a^2 + 2ac + c^2}{2}$

$2(a^2 + c^2) = a^2 + 2ac + c^2$

$a^2 - 2ac + c^2 = 0$

$(a - c)^2 = 0 \Rightarrow a = c$

Lý do: $(a-c)^2 = 0$ chỉ khi $a = c$, tức là CSC có $d = 0$ (dãy hằng).

Kết luận: $a^2, b^2, c^2$ chỉ lập thành CSC khi $a = c$ (tức $d = 0$). Nói chung, $a^2, b^2, c^2$ không lập thành CSC. (đpcm)

Bài tập tự luyện

Bài 1

Tìm số hạng tổng quát và tính tổng 20 số hạng đầu của CSC:

a) $3, 7, 11, 15, ...$

b) $100, 95, 90, 85, ...$

Bài 2

Cho CSN có $u_1 = 2$ và $u_4 = 54$. Tìm $q$ và $S_6$.

Bài 3

Tìm ba số lập thành CSC biết:

• Tổng bằng 21
• Tổng bình phương bằng 155

Bài 4

Tìm ba số lập thành CSN biết:

• Tổng bằng 26
• Tích bằng 216

Bài 5

Chứng minh rằng $1 + 3 + 5 + ... + (2n-1) = n^2$

Bài 6

Tính: $1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + ... + \frac{1}{2^n}$

Tóm tắt

Công thức quan trọng

Key Points

• CSC: Hiệu hai số hạng liên tiếp không đổi ($u_{n+1} - u_n = d$)
• CSN: Tỉ số hai số hạng liên tiếp không đổi ($\frac{u_{n+1}}{u_n} = q$)
• Trung bình CSC: $u_n = \frac{u_{n-1} + u_{n+1}}{2}$
• Trung bình CSN: $u_n^2 = u_{n-1} \cdot u_{n+1}$
• Lưu ý: Công thức tổng CSN không áp dụng khi $q = 1$