Chương 3: Hàm số và đồ thị

Mục tiêu học tập

Sau khi hoàn thành chương này, bạn sẽ:

• Nắm vững định nghĩa và tính chất của hàm số
• Khảo sát và vẽ đồ thị hàm bậc nhất
• Khảo sát và vẽ đồ thị hàm bậc hai
• Giải các bài toán liên quan đến hàm số

Phần 1: Đại cương về hàm số

1.1. Định nghĩa hàm số

Định nghĩa: Cho $X$ là một tập hợp số. Một quy tắc $f$ được gọi là hàm số xác định trên $X$ nếu với mỗi $x \in X$, theo quy tắc $f$ ta xác định được một và chỉ một số $y$.

• $X$ được gọi là tập xác định (TXĐ) của hàm số
• $x$ được gọi là biến số (biến độc lập)
• $y$ được gọi là giá trị của hàm số tại $x$, ký hiệu $y = f(x)$

Ký hiệu: $f: X \rightarrow \mathbb{R}$ hoặc $y = f(x)$

1.2. Đồ thị hàm số

Định nghĩa: Đồ thị của hàm số $y = f(x)$ xác định trên $X$ là tập hợp các điểm $M(x, f(x))$ trong mặt phẳng tọa độ Oxy, với $x \in X$.

$\text{Đồ thị } (C) = \lbrace M(x, y) \mid x \in X, y = f(x) \rbrace$

1.3. Hàm số đồng biến và nghịch biến

Cho hàm số $y = f(x)$ xác định trên khoảng $(a, b)$.

Hàm đồng biến: Với mọi $x_1, x_2 \in (a, b)$: $x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) < f(x_2)$

Hàm nghịch biến: Với mọi $x_1, x_2 \in (a, b)$: $x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) > f(x_2)$

1.4. Hàm số chẵn và hàm số lẻ

Cho hàm số $y = f(x)$ có TXĐ $D$ đối xứng qua gốc tọa độ.

Hàm số chẵn: $f(-x) = f(x)$ với mọi $x \in D$

• Đồ thị đối xứng qua trục $Oy$

Hàm số lẻ: $f(-x) = -f(x)$ với mọi $x \in D$

• Đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ $O$

Ví dụ:

• $f(x) = x^2$ là hàm chẵn vì $f(-x) = (-x)^2 = x^2 = f(x)$
• $f(x) = x^3$ là hàm lẻ vì $f(-x) = (-x)^3 = -x^3 = -f(x)$

Phần 2: Hàm số bậc nhất

2.1. Định nghĩa

Hàm số bậc nhất có dạng: $y = ax + b$ với $a \neq 0$

• $a$: hệ số góc
• $b$: tung độ gốc

Tập xác định: $D = \mathbb{R}$

2.2. Tính chất

2.3. Đồ thị

Đồ thị hàm số $y = ax + b$ là đường thẳng:

• Cắt trục $Oy$ tại điểm $A(0, b)$
• Cắt trục $Ox$ tại điểm $B(-\frac{b}{a}, 0)$
• Hệ số góc $a = \tan \alpha$ (với $\alpha$ là góc tạo bởi đường thẳng và trục $Ox$)

Cách vẽ đồ thị:

1. Tìm hai điểm thuộc đồ thị (thường là giao điểm với hai trục)
2. Nối hai điểm thành đường thẳng

Hình minh họa đồ thị hàm bậc nhất:

Giải thích: Khi hệ số góc a > 0, đồ thị đi lên từ trái sang phải (hàm đồng biến). Khi a < 0, đồ thị đi xuống từ trái sang phải (hàm nghịch biến). Điểm (0, b) là giao điểm với trục Oy.

2.4. Vị trí tương đối của hai đường thẳng

Cho hai đường thẳng $d_1: y = a_1x + b_1$ và $d_2: y = a_2x + b_2$

Phần 3: Hàm số bậc hai

3.1. Định nghĩa

Hàm số bậc hai có dạng: $y = ax^2 + bx + c$ với $a \neq 0$

Tập xác định: $D = \mathbb{R}$

3.2. Đồ thị - Parabol

Đồ thị hàm số $y = ax^2 + bx + c$ là một parabol có:

Đỉnh $I$ với tọa độ: $x_I = -\frac{b}{2a}, \quad y_I = -\frac{\Delta}{4a}$

trong đó $\Delta = b^2 - 4ac$

Trục đối xứng: Đường thẳng $x = -\frac{b}{2a}$

Đồ thị tương tác - Khám phá Parabol:

Giải thích: Đồ thị parabol $y = x^2 - 4x + 3$ với:

• Đỉnh tại (2, -1) - điểm thấp nhất (vì a > 0)
• Trục đối xứng x = 2
• Cắt trục Ox tại x = 1 và x = 3 (nghiệm của PT)
• Cắt trục Oy tại y = 3 (giá trị c)

Bề lõm:

• Nếu $a > 0$: Parabol quay bề lõm lên trên (hình chữ U)

• Nếu $a < 0$: Parabol quay bề lõm xuống dưới (hình chữ U ngược)

3.3. Sự biến thiên

Trường hợp $a > 0$:

Giá trị nhỏ nhất: $y_{min} = -\frac{\Delta}{4a}$ tại $x = -\frac{b}{2a}$

Trường hợp $a < 0$:

Giá trị lớn nhất: $y_{max} = -\frac{\Delta}{4a}$ tại $x = -\frac{b}{2a}$

3.4. Cách vẽ đồ thị parabol

Bước 1: Xác định hướng bề lõm (dựa vào dấu của $a$)

Bước 2: Tính tọa độ đỉnh $I(-\frac{b}{2a}, -\frac{\Delta}{4a})$

Bước 3: Vẽ trục đối xứng $x = -\frac{b}{2a}$

Bước 4: Tìm giao điểm với trục $Ox$ (nếu có): Giải $ax^2 + bx + c = 0$

Bước 5: Tìm giao điểm với trục $Oy$: Điểm $(0, c)$

Bước 6: Vẽ parabol qua các điểm đặc biệt, đối xứng qua trục

Hình minh họa đồ thị hàm bậc hai (parabol):

Giải thích: Parabol có dạng chữ U khi a > 0 (bề lõm hướng lên, có giá trị nhỏ nhất tại đỉnh) và dạng U ngược khi a < 0 (bề lõm hướng xuống, có giá trị lớn nhất tại đỉnh). Đỉnh I nằm trên trục đối xứng.

Bài tập mẫu có lời giải

Bài 1: Khảo sát hàm bậc nhất

Đề bài: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số $y = 2x - 3$

Lời giải chi tiết:

Nhắc lại: Hàm bậc nhất $y = ax + b$:

• $a > 0$: đồng biến (đường đi lên)
• $a < 0$: nghịch biến (đường đi xuống)
• Đồ thị cắt $Oy$ tại $(0, b)$, cắt $Ox$ tại $(-\frac{b}{a}, 0)$

Bước 1: Xác định các hệ số

• $a = 2 > 0$, $b = -3$

Lý do: Vì $a = 2 > 0$ nên hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$.

Bước 2: Bảng biến thiên

Bước 3: Tìm các điểm đặc biệt

• Giao với $Oy$: $x = 0 \Rightarrow y = -3$, điểm $A(0, -3)$
• Giao với $Ox$: $y = 0 \Rightarrow x = \frac{3}{2}$, điểm $B(\frac{3}{2}, 0)$

Bước 4: Vẽ đồ thị

Đường thẳng đi qua hai điểm $A(0, -3)$ và $B(\frac{3}{2}, 0)$.

Kiểm tra: Hệ số góc = $\frac{0 - (-3)}{\frac{3}{2} - 0} = \frac{3}{\frac{3}{2}} = 2 = a$ ✓

Bài 2: Khảo sát hàm bậc hai

Đề bài: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số $y = x^2 - 4x + 3$

Lời giải chi tiết:

Nhắc lại: Hàm bậc hai $y = ax^2 + bx + c$:

• Đỉnh: $I\left(-\frac{b}{2a}, -\frac{\Delta}{4a}\right)$
• $a > 0$: parabol quay lên, có GTNN tại đỉnh
• $a < 0$: parabol quay xuống, có GTLN tại đỉnh

Bước 1: Xác định các hệ số

• $a = 1 > 0$, $b = -4$, $c = 3$
• $\Delta = b^2 - 4ac = 16 - 12 = 4 > 0$

Lý do: $\Delta > 0$ nên parabol cắt $Ox$ tại 2 điểm phân biệt.

Bước 2: Tìm đỉnh parabol

• $x_I = -\frac{b}{2a} = -\frac{-4}{2} = 2$
• $y_I = -\frac{\Delta}{4a} = -\frac{4}{4} = -1$
• Đỉnh $I(2, -1)$

Bước 3: Bảng biến thiên

Lý do: Vì $a = 1 > 0$, parabol quay lên nên:

• Nghịch biến trước đỉnh, đồng biến sau đỉnh
• GTNN tại đỉnh

Bước 4: Tìm các điểm đặc biệt

• Giao với $Oy$: $x = 0 \Rightarrow y = 3$, điểm $A(0, 3)$
• Giao với $Ox$: Giải $x^2 - 4x + 3 = 0$
  • $(x-1)(x-3) = 0$ ⇒ $x_1 = 1$, $x_2 = 3$
  • Điểm $B(1, 0)$ và $C(3, 0)$

Kiểm tra: B, I, C có $x_B = 1$, $x_I = 2$, $x_C = 3$ → đối xứng qua trục $x = 2$ ✓

Bước 5: Vẽ đồ thị

Parabol có đỉnh $I(2, -1)$, quay bề lõm lên trên, đi qua các điểm $A$, $B$, $C$.

Đồ thị tương tác:

Bài 3: Bài toán tham số

Đề bài: Tìm $m$ để đồ thị hàm số $y = x^2 - 2mx + m + 2$ có đỉnh nằm trên trục hoành.

Lời giải chi tiết:

Nhắc lại: Đỉnh parabol nằm trên $Ox$ khi $y_I = 0$. Công thức: $y_I = -\frac{\Delta}{4a}$

Phân tích: Đỉnh nằm trên trục hoành nghĩa là $y_I = 0$

Bước 1: Tính tọa độ đỉnh

• $a = 1$, $b = -2m$, $c = m + 2$
• $x_I = -\frac{-2m}{2 \cdot 1} = m$
• $\Delta = 4m^2 - 4(m + 2) = 4m^2 - 4m - 8$
• $y_I = -\frac{\Delta}{4a} = -\frac{4m^2 - 4m - 8}{4} = -m^2 + m + 2$

Bước 2: Lập phương trình điều kiện $y_I = 0$ $-m^2 + m + 2 = 0$ $m^2 - m - 2 = 0$

Bước 3: Giải phương trình $(m - 2)(m + 1) = 0$

Lý do: $m^2 - m - 2 = (m-2)(m+1)$ vì $(-2) + 1 = -1 = -b/a$ và $(-2) \cdot 1 = -2 = c/a$

Kết quả: $m = 2$ hoặc $m = -1$

Kiểm tra:

• Với $m = 2$: $y = x^2 - 4x + 4 = (x-2)^2$, đỉnh $(2, 0)$ nằm trên $Ox$ ✓
• Với $m = -1$: $y = x^2 + 2x + 1 = (x+1)^2$, đỉnh $(-1, 0)$ nằm trên $Ox$ ✓

Liên hệ: Khi $y_I = 0$ thì parabol TIẾP XÚC trục $Ox$ (có nghiệm kép).

Bài tập tự luyện

Bài 1

Cho hàm số $f(x) = 3x - 2$.

a) Tính $f(0)$, $f(1)$, $f(-2)$

b) Tìm $x$ biết $f(x) = 7$

c) Vẽ đồ thị hàm số

Bài 2

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số:

a) $y = -x + 4$

b) $y = x^2 - 2x - 3$

c) $y = -x^2 + 4x - 3$

Bài 3

Cho parabol $(P): y = x^2 - 4x + m$ với $m$ là tham số.

a) Tìm $m$ để $(P)$ đi qua điểm $A(1, 2)$

b) Tìm $m$ để $(P)$ cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt

c) Tìm $m$ để đỉnh của $(P)$ có tung độ bằng $-5$

Bài 4

Cho hàm số $y = x^2 - 2(m-1)x + m^2 - 3m$.

a) Tìm $m$ để đồ thị tiếp xúc với trục hoành

b) Tìm $m$ để đồ thị cắt trục hoành tại hai điểm có hoành độ dương

Tóm tắt

Công thức quan trọng

Key Points

• Hàm bậc nhất: Đồng biến nếu a > 0, nghịch biến nếu a < 0
• Parabol: a > 0 → lõm lên (GTNN tại đỉnh), a < 0 → lõm xuống (GTLN tại đỉnh)
• Hệ số góc a = tan góc nghiêng với Ox
• Lưu ý: Đỉnh parabol không phải giao điểm với trục!