Skip to Content
Cấp 3 (Lớp 10-12)Lớp 11Chương 1 (tiếp): Phương trình lượng giác

Chương 1 (tiếp): Phương trình lượng giác

Chương trọng tâm thi THPT! Phương trình lượng giác xuất hiện thường xuyên trong đề thi. Cần nắm vững công thức nghiệm tổng quát.

Mục tiêu học tập

Sau khi hoàn thành chương này, bạn sẽ:

  • Giải được các phương trình lượng giác cơ bản
  • Nắm vững công thức nghiệm tổng quát
  • Áp dụng vào các dạng phương trình phức tạp

Phần 1: Phương trình lượng giác cơ bản

1.1. Phương trình sin⁡x=a\sin x = a

Điều kiện: ∣a∣≤1|a| \leq 1

Nghiệm tổng quát: Nếu sin⁡α=a\sin \alpha = a thì:

x=α+k2πhoặcx=π−α+k2π(k∈Z)x = \alpha + k2\pi \quad \text{hoặc} \quad x = \pi - \alpha + k2\pi \quad (k \in \mathbb{Z})

Viết gọn: x=(−1)kα+kπx = (-1)^k \alpha + k\pi

Tại sao có 2 họ nghiệm?

Trên đường tròn lượng giác (bán kính 1, tâm O), sin⁡x\sin x chính là tung độ của điểm MM trên đường tròn.

Với mỗi giá trị a∈(−1,1)a \in (-1, 1), đường thẳng y=ay = a cắt đường tròn tại 2 điểm:

  • Điểm thứ nhất ứng với góc α\alpha
  • Điểm thứ hai ứng với góc π−α\pi - \alpha (đối xứng qua trục Oy)

Do sin⁡\sin có chu kỳ 2π2\pi, mỗi điểm cho một họ nghiệm cách nhau 2π2\pi.

Hình minh họa đường tròn lượng giác:

xyαM(cos α, sin α)cos αsin α(1,0)(0,1)OĐường tròn lượng giác (r = 1)M di chuyển trên đường tròn khi α thay đổi

Giải thích: Đường tròn lượng giác bán kính 1, tâm O. Tung độ = sin, hoành độ = cos. Đường thẳng y=ay = a cắt đường tròn tại 2 điểm → 2 họ nghiệm.

Các trường hợp đặc biệt:

Phương trìnhNghiệmGiải thích
sin⁡x=0\sin x = 0x=kπx = k\piĐiểm giao với trục Ox
sin⁡x=1\sin x = 1x=π2+k2πx = \frac{\pi}{2} + k2\piĐỉnh trên của đường tròn
sin⁡x=−1\sin x = -1x=−π2+k2πx = -\frac{\pi}{2} + k2\piĐỉnh dưới của đường tròn

1.2. Phương trình cos⁡x=a\cos x = a

Điều kiện: ∣a∣≤1|a| \leq 1

Nghiệm tổng quát: Nếu cos⁡α=a\cos \alpha = a thì:

x=±α+k2π(k∈Z)x = \pm \alpha + k2\pi \quad (k \in \mathbb{Z})

Các trường hợp đặc biệt:

Phương trìnhNghiệm
cos⁡x=0\cos x = 0x=π2+kπx = \frac{\pi}{2} + k\pi
cos⁡x=1\cos x = 1x=k2πx = k2\pi
cos⁡x=−1\cos x = -1x=π+k2πx = \pi + k2\pi

1.3. Phương trình tan⁡x=a\tan x = a

Điều kiện: x≠π2+kπx \neq \frac{\pi}{2} + k\pi

Nghiệm tổng quát: Nếu tan⁡α=a\tan \alpha = a thì:

x=α+kπ(k∈Z)x = \alpha + k\pi \quad (k \in \mathbb{Z})

1.4. Phương trình cot⁡x=a\cot x = a

Điều kiện: x≠kπx \neq k\pi

Nghiệm tổng quát: Nếu cot⁡α=a\cot \alpha = a thì:

x=α+kπ(k∈Z)x = \alpha + k\pi \quad (k \in \mathbb{Z})

Hình minh họa nghiệm trên đường tròn lượng giác:

xyy = aαπ-αsin x = a → x = α + k2π hoặc x = π - α + k2π

Giải thích: Nghiệm của phương trình sin x = a là các điểm trên đường tròn lượng giác có tung độ bằng a. Với mỗi giá trị a ∈ (-1, 1) có 2 điểm, tương ứng 2 họ nghiệm cách nhau 2π.

Phần 2: Phương trình bậc nhất theo sin và cos

2.1. Dạng tổng quát

asin⁡x+bcos⁡x=ca\sin x + b\cos x = c

Điều kiện có nghiệm: a2+b2≥c2a^2 + b^2 \geq c^2

2.2. Phương pháp giải

Cách 1: Đặt t=tan⁡x2t = \tan\frac{x}{2}

sin⁡x=2t1+t2,cos⁡x=1−t21+t2\sin x = \frac{2t}{1+t^2}, \quad \cos x = \frac{1-t^2}{1+t^2}

Cách 2: Đưa về dạng sin hoặc cos

Chia cả hai vế cho a2+b2\sqrt{a^2 + b^2}:

aa2+b2sin⁡x+ba2+b2cos⁡x=ca2+b2\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}} \sin x + \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}} \cos x = \frac{c}{\sqrt{a^2+b^2}}

Đặt cos⁡φ=aa2+b2\cos\varphi = \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}, sin⁡φ=ba2+b2\sin\varphi = \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}:

sin⁡(x+φ)=ca2+b2\sin(x + \varphi) = \frac{c}{\sqrt{a^2+b^2}}

Phần 3: Phương trình bậc hai theo một hàm lượng giác

3.1. Dạng tổng quát

asin⁡2x+bsin⁡x+c=0a\sin^2 x + b\sin x + c = 0

Đặt t=sin⁡xt = \sin x với ∣t∣≤1|t| \leq 1, giải phương trình bậc hai theo tt.

3.2. Dạng đặc biệt

asin⁡2x+bsin⁡xcos⁡x+ccos⁡2x=0a\sin^2 x + b\sin x \cos x + c\cos^2 x = 0

Nếu cos⁡x=0\cos x = 0 không là nghiệm, chia cho cos⁡2x\cos^2 x:

atan⁡2x+btan⁡x+c=0a\tan^2 x + b\tan x + c = 0

Phần 4: Phương trình đồng bậc

4.1. Đồng bậc 2

asin⁡2x+bsin⁡xcos⁡x+ccos⁡2x=da\sin^2 x + b\sin x \cos x + c\cos^2 x = d

Cách giải: Sử dụng sin⁡2x+cos⁡2x=1\sin^2 x + \cos^2 x = 1

4.2. Công thức hạ bậc

sin⁡2x=1−cos⁡2x2,cos⁡2x=1+cos⁡2x2\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}, \quad \cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}

Phần 5: Liên hệ Đại học & Mẹo thi

5.1. Kết nối với Công thức Euler

Tại sao lượng giác lại quan trọng ở đại học?

Trong giải tích phức, công thức Euler nối liền lượng giác với hàm mũ:

eix=cos⁡x+isin⁡xe^{ix} = \cos x + i\sin x

Phương trình sin⁡x=12\sin x = \frac{1}{2} có thể viết là: Tìm xx sao cho Im(eix)=12\text{Im}(e^{ix}) = \frac{1}{2}

Ứng dụng:

  • Xử lý tín hiệu: Biểu diễn sóng âm, sóng điện từ
  • Điện xoay chiều: V(t)=V0sin⁡(ωt+ϕ)V(t) = V_0 \sin(\omega t + \phi)
  • Machine Learning: Positional Encoding trong Transformer dùng sin/cos

5.2. Phổ Fourier (Preview)

Phân tích Fourier - “DNA” của mọi hàm tuần hoàn

Mọi hàm tuần hoàn có thể phân tích thành tổng các sóng sin và cos:

f(x)=a02+∑n=1∞(ancos⁡nx+bnsin⁡nx)f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty}(a_n \cos nx + b_n \sin nx)

Ý nghĩa: Giải PT lượng giác chính là tìm “tần số” mà hàm đạt giá trị nhất định.

Ứng dụng thực tế:

  • Nén âm thanh (MP3)
  • Nhận dạng giọng nói
  • Xử lý ảnh y tế (CT scan)

5.3. Mẹo thi THPT Quốc gia

Các dạng bài HAY THI nhất về PT lượng giác:

DạngPhương pháp nhanh
Đếm số nghiệm trong [0;2π][0; 2\pi]Vẽ phác đồ thị, đếm giao điểm
asin⁡x+bcos⁡x=ca\sin x + b\cos x = cChia cho a2+b2\sqrt{a^2+b^2}, đặt φ\varphi
PT chứa sin⁡2,cos⁡2\sin^2, \cos^2Đặt t=sin⁡xt = \sin x hoặc dùng hạ bậc
PT đồng bậcChia cho cos⁡nx\cos^n x, đặt t=tan⁡xt = \tan x

Lỗi thường gặp:

  • [!] Quên điều kiện ∣t∣≤1|t| \leq 1 khi đặt t=sin⁡xt = \sin x hoặc t=cos⁡xt = \cos x
  • [!] Quên kiểm tra điều kiện xác định khi chia cho cos⁡x\cos x
  • [!] Tìm thiếu họ nghiệm (PT sin có 2 họ, PT cos có 1 họ với ±\pm)

Lỗi thường gặp với PT lượng giác:

  1. Quên tập nghiệm đầy đủ: sin⁡x=a\sin x = a → x=α+k2πx = \alpha + k2\pi HOAC x=π−α+k2πx = \pi - \alpha + k2\pi (2 họ nghiệm!)
  2. Nhầm chu kỳ: tan⁡x=a\tan x = a → chu kỳ π\pi (KHÔNG phải 2π2\pi)
  3. Quên điều kiện: cos⁡x=a\cos x = a chỉ có nghiệm khi ∣a∣≤1|a| \leq 1

Bài tập mẫu có lời giải

Bài 1: Phương trình cơ bản

Đề bài: Giải phương trình sin⁡x=32\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}

Lời giải:

Bước 1: Nhận dạng góc đặc biệt.

Ta có sin⁡π3=32\sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}

Bước 2: Áp dụng công thức nghiệm tổng quát.

Nhắc lại: sin⁡x=sin⁡α⇒x=α+k2π\sin x = \sin \alpha \Rightarrow x = \alpha + k2\pi hoặc x=π−α+k2πx = \pi - \alpha + k2\pi

x=π3+k2πhoặcx=π−π3+k2π=2π3+k2πx = \frac{\pi}{3} + k2\pi \quad \text{hoặc} \quad x = \pi - \frac{\pi}{3} + k2\pi = \frac{2\pi}{3} + k2\pi

Đáp số: x=π3+k2πx = \frac{\pi}{3} + k2\pi hoặc x=2π3+k2πx = \frac{2\pi}{3} + k2\pi (k∈Z)(k \in \mathbb{Z})

Tại sao 2 họ nghiệm? Trên đường tròn lượng giác, sin⁡=32\sin = \frac{\sqrt{3}}{2} tại 2 điểm: 60°60° và 120°120°.

Bài 2: Phương trình cos

Đề bài: Giải phương trình 2cos⁡2x−3cos⁡x+1=02\cos^2 x - 3\cos x + 1 = 0

Lời giải:

Bước 1: Đặt ẩn phụ.

Đặt t=cos⁡xt = \cos x, điều kiện: ∣t∣≤1|t| \leq 1

Bước 2: Giải phương trình bậc hai.

2t2−3t+1=02t^2 - 3t + 1 = 0 (2t−1)(t−1)=0(2t - 1)(t - 1) = 0 t=12 hoặc t=1t = \frac{1}{2} \text{ hoặc } t = 1

Kiểm tra ĐK: ∣1/2∣≤1|1/2| \leq 1 ✓ và ∣1∣≤1|1| \leq 1 ✓ → cả hai nghiệm đều thỏa.

Bước 3: Quay lại ẩn gốc.

Với cos⁡x=12\cos x = \frac{1}{2}: x=±π3+k2πx = \pm\frac{\pi}{3} + k2\pi

Với cos⁡x=1\cos x = 1: x=k2πx = k2\pi

Bài 3: Phương trình bậc nhất

Đề bài: Giải phương trình sin⁡x+3cos⁡x=2\sin x + \sqrt{3}\cos x = 2

Lời giải:

Bước 1: Chia cho a2+b2\sqrt{a^2 + b^2}.

Tại sao? Để đưa về dạng sin⁡(x+φ)\sin(x + \varphi), ta cần hệ số trước sin và cos thỏa sin⁡2+cos⁡2=1\sin^2 + \cos^2 = 1.

Chia cho 1+3=2\sqrt{1 + 3} = 2: 12sin⁡x+32cos⁡x=1\frac{1}{2}\sin x + \frac{\sqrt{3}}{2}\cos x = 1

Bước 2: Nhận dạng và giải.

sin⁡(x+π3)=1\sin\left(x + \frac{\pi}{3}\right) = 1 x+π3=π2+k2πx + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{2} + k2\pi x=π6+k2πx = \frac{\pi}{6} + k2\pi

Bài 4: Tìm nghiệm trong khoảng

Đề bài: Tìm số nghiệm của phương trình cos⁡2x=12\cos 2x = \frac{1}{2} trong [0,2π][0, 2\pi].

Lời giải:

Bước 1: Giải phương trình cos.

cos⁡2x=12=cos⁡π3\cos 2x = \frac{1}{2} = \cos \frac{\pi}{3}

2x=±π3+k2π2x = \pm\frac{\pi}{3} + k2\pi x=±π6+kπx = \pm\frac{\pi}{6} + k\pi

Bước 2: Liệt kê nghiệm trong [0,2π][0, 2\pi].

kkx=π6+kπx = \frac{\pi}{6} + k\pix=−π6+kπx = -\frac{\pi}{6} + k\pi
0π6\frac{\pi}{6} ✓−π6-\frac{\pi}{6} ✗
17π6\frac{7\pi}{6} ✓5π6\frac{5\pi}{6} ✓
213π6\frac{13\pi}{6} ✗11π6\frac{11\pi}{6} ✓

Đáp số: 4 nghiệm

Mẹo: Với cos⁡nx=a\cos nx = a trên [0,2π][0, 2\pi]: luôn có 2n2n nghiệm (khi ∣a∣<1|a| < 1).

Bài tập tự luyện

Bài 1

Giải phương trình tan⁡x=−3\tan x = -\sqrt{3}

Bài 2

Giải phương trình 2sin⁡2x−5sin⁡x+2=02\sin^2 x - 5\sin x + 2 = 0

Bài 3

Giải phương trình sin⁡x−cos⁡x=1\sin x - \cos x = 1

Bài 4

Tìm số nghiệm của phương trình sin⁡2x=14\sin^2 x = \frac{1}{4} trong [0,4π][0, 4\pi]

Tóm tắt

Nghiệm tổng quát

Phương trìnhNghiệm
sin⁡x=a\sin x = ax=arcsin⁡a+k2πx = \arcsin a + k2\pi hoặc x=π−arcsin⁡a+k2πx = \pi - \arcsin a + k2\pi
cos⁡x=a\cos x = ax=±arccos⁡a+k2πx = \pm \arccos a + k2\pi
tan⁡x=a\tan x = ax=arctan⁡a+kπx = \arctan a + k\pi
cot⁡x=a\cot x = ax=arccot a+kπx = \text{arccot } a + k\pi

Key Points

  • Điều kiện có nghiệm sin, cos: ∣a∣≤1|a| \leq 1
  • Số họ nghiệm: sin có 2 họ (khi a≠±1a \neq \pm 1), cos có 1 họ với ±\pm
  • PT bậc nhất asin⁡x+bcos⁡x=ca\sin x + b\cos x = c: chia cho a2+b2\sqrt{a^2 + b^2}
  • Lưu ý: Kiểm tra ∣t∣≤1|t| \leq 1 khi đặt t=sin⁡xt = \sin x hoặc t=cos⁡xt = \cos x

Lỗi thường gặp và cách tránh:

SaiĐúngGiải thích
sin⁡x=2\sin x = 2 có nghiệmVô nghiệm$
sin⁡x=a\sin x = a chỉ 1 họ nghiệm2 họ nghiệmα\alpha và π−α\pi - \alpha
Quên ±\pm trong cos⁡x=a\cos x = ax=±arccos⁡a+k2πx = \pm \arccos a + k2\piCos đối xứng
tan⁡x=a⇒x=arctan⁡a+k2π\tan x = a \Rightarrow x = \arctan a + k2\pi+kπ+ k\piChu kỳ tan là π\pi

Mẹo nhớ: “Sin hai họ, Cos có dấu, Tan chu kỳ pi”

Hoàn thành chương I (tiếp)! Chuyển sang Chương II: Dãy số

Last updated on
Chương 1: Hàm số lượng giácChương 2: Dãy số. Cấp số cộng và Cấp số nhân