Chương 5 (tiếp): Phương trình đường thẳng trong không gian

Mục tiêu học tập

Sau khi hoàn thành bài này, bạn sẽ:

• Viết được phương trình đường thẳng dạng tham số và chính tắc
• Xác định vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng
• Tính góc và khoảng cách liên quan đến đường thẳng

§1. Phương trình đường thẳng

1.1. Phương trình tham số

Đường thẳng $d$ đi qua $M_0(x_0, y_0, z_0)$ với vector chỉ phương $\vec{u} = (a, b, c)$:

$\begin{cases} x = x_0 + at \\ y = y_0 + bt \\ z = z_0 + ct \end{cases} \quad (t \in \mathbb{R})$

1.2. Phương trình chính tắc

$\frac{x - x_0}{a} = \frac{y - y_0}{b} = \frac{z - z_0}{c}$

Hình minh họa đường thẳng trong không gian:

Giải thích: Đường thẳng trong không gian được xác định bởi 1 điểm và 1 vector chỉ phương. Vector chỉ phương cho biết hướng của đường thẳng.

1.3. Các trường hợp đặc biệt

Trường hợp 1: Đường thẳng qua 2 điểm $A(x_1, y_1, z_1)$ và $B(x_2, y_2, z_2)$

Vector chỉ phương: $\vec{AB} = (x_2-x_1, y_2-y_1, z_2-z_1)$

Trường hợp 2: Đường thẳng là giao của 2 mặt phẳng $\begin{cases} a_1x + b_1y + c_1z + d_1 = 0 \\ a_2x + b_2y + c_2z + d_2 = 0 \end{cases}$

Vector chỉ phương: $\vec{u} = [\vec{n_1}, \vec{n_2}]$ (tích có hướng)

§2. Vị trí tương đối

2.1. Đường thẳng và mặt phẳng

Cho $d: \frac{x-x_0}{a} = \frac{y-y_0}{b} = \frac{z-z_0}{c}$ và $(\alpha): Ax + By + Cz + D = 0$

Kiểm tra: $\vec{u} \perp \vec{n} \Leftrightarrow Aa + Bb + Cc = 0$

2.2. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

$\sin\varphi = \frac{|Aa + Bb + Cc|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2} \cdot \sqrt{a^2+b^2+c^2}}$

2.3. Hai đường thẳng

Cho $d_1$ qua $M_1$ với $\vec{u_1}$ và $d_2$ qua $M_2$ với $\vec{u_2}$

Kiểm tra đồng phẳng: $[\vec{u_1}, \vec{u_2}] \cdot \vec{M_1M_2} = 0$

§3. Khoảng cách

3.1. Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng

Cho điểm $M$ và đường thẳng $d$ qua $A$ với $\vec{u}$:

$d(M, d) = \frac{|[\vec{AM}, \vec{u}]|}{|\vec{u}|}$

3.2. Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau

$d(d_1, d_2) = \frac{|[\vec{u_1}, \vec{u_2}] \cdot \vec{M_1M_2}|}{|[\vec{u_1}, \vec{u_2}]|}$

Bài tập mẫu có lời giải

Bài 1: Viết phương trình đường thẳng

Đề bài: Viết PT đường thẳng $d$ qua $A(1, 2, -1)$ và song song với đường thẳng $\Delta: \frac{x-1}{2} = \frac{y+1}{-1} = \frac{z}{3}$.

Lời giải:

Nhắc lại: Đường thẳng song song có cùng vector chỉ phương.

Lý do: Nếu $d \parallel \Delta$ thì $d$ và $\Delta$ có cùng phương, nghĩa là chúng có cùng vector chỉ phương $\vec{u}$.

Bước 1: Xác định vector chỉ phương từ $\Delta$

• Đọc từ PT chính tắc: $\vec{u} = (2, -1, 3)$

Bước 2: Viết PT đường thẳng qua A với $\vec{u}$ $\frac{x - 1}{2} = \frac{y - 2}{-1} = \frac{z + 1}{3}$

Kiểm tra: A(1, 2, -1) thuộc d: $\frac{1-1}{2} = \frac{2-2}{-1} = \frac{-1+1}{3} = 0$ ✓

Bài 2: Giao điểm đường thẳng và mặt phẳng

Đề bài: Tìm giao điểm của $d: \frac{x-1}{2} = \frac{y-2}{1} = \frac{z+1}{-1}$ và $(\alpha): x + y + z - 5 = 0$.

Lời giải:

Nhắc lại: Để tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng:

1. Viết PT tham số của đường thẳng
2. Thay vào PT mặt phẳng → tìm t
3. Thay t vào PT tham số → tọa độ giao điểm

Bước 1: Viết PT tham số của d $\begin{cases} x = 1 + 2t \\ y = 2 + t \\ z = -1 - t \end{cases}$

Lý do: Dạng tham số cho phép biểu diễn mọi điểm trên đường thẳng theo t.

Bước 2: Thay vào PT mặt phẳng, tìm t $(1 + 2t) + (2 + t) + (-1 - t) - 5 = 0$ $1 + 2t + 2 + t - 1 - t - 5 = 0$ $2t - 3 = 0 \Rightarrow t = \frac{3}{2}$

Bước 3: Tìm tọa độ giao điểm $x = 1 + 2 \cdot \frac{3}{2} = 4$ $y = 2 + \frac{3}{2} = \frac{7}{2}$ $z = -1 - \frac{3}{2} = -\frac{5}{2}$

Giao điểm: $M\left(4, \frac{7}{2}, -\frac{5}{2}\right)$

Kiểm tra: M thuộc $(\alpha)$: $4 + \frac{7}{2} + (-\frac{5}{2}) - 5 = 4 + 1 - 5 = 0$ ✓ M thuộc d: $\frac{4-1}{2} = \frac{\frac{7}{2}-2}{1} = \frac{-\frac{5}{2}+1}{-1} = \frac{3}{2}$ ✓

Bài 3: Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

Đề bài: Tính khoảng cách giữa:

• $d_1: \frac{x}{1} = \frac{y-1}{2} = \frac{z-2}{1}$ (qua $M_1(0,1,2)$, $\vec{u_1} = (1,2,1)$)
• $d_2: \frac{x-1}{2} = \frac{y-2}{1} = \frac{z}{-1}$ (qua $M_2(1,2,0)$, $\vec{u_2} = (2,1,-1)$)

Lời giải:

Nhắc lại: Kiểm tra chéo nhau trước, rồi áp dụng công thức khoảng cách.

Bước 1: Kiểm tra vị trí tương đối

• $\vec{M_1M_2} = (1, 1, -2)$
• $[\vec{u_1}, \vec{u_2}] = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & -1 \end{vmatrix} = (-2-1, 2+1, 1-4) = (-3, 3, -3)$
• Tích hỗn tạp: $[\vec{u_1}, \vec{u_2}] \cdot \vec{M_1M_2} = (-3)(1) + (3)(1) + (-3)(-2) = -3 + 3 + 6 = 6 \neq 0$
• → Hai đường thẳng chéo nhau ✓

Lý do: Tích hỗn tạp ≠ 0 nghĩa là 3 vector không đồng phẳng, nên 2 đường thẳng chéo nhau.

Bước 2: Tính khoảng cách $d(d_1, d_2) = \frac{|[\vec{u_1}, \vec{u_2}] \cdot \vec{M_1M_2}|}{|[\vec{u_1}, \vec{u_2}]|} = \frac{|6|}{\sqrt{9+9+9}} = \frac{6}{3\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{3}$

Kiểm tra: Khoảng cách > 0 (vì chéo nhau) ✓

Bài 4: Xét vị trí tương đối đường thẳng và mặt phẳng

Đề bài: Cho $d: \begin{cases} x = 2 + t \\ y = 1 - 2t \\ z = 3 + t \end{cases}$ và $(\alpha): x - 2y + z - 7 = 0$. Xét vị trí tương đối.

Lời giải:

Nhắc lại: So sánh $\vec{u} \cdot \vec{n}$ và kiểm tra điểm thuộc mặt phẳng.

Bước 1: Xác định $\vec{u}$ và $\vec{n}$

• $\vec{u} = (1, -2, 1)$, $\vec{n} = (1, -2, 1)$
• $\vec{u} \cdot \vec{n} = 1 + 4 + 1 = 6 \neq 0$

Lý do: $\vec{u} \cdot \vec{n} \neq 0$ nên đường thẳng cắt mặt phẳng.

Trường hợp đặc biệt: $\vec{u} \parallel \vec{n}$ nên $d \perp (\alpha)$!

Bước 2: Tìm giao điểm

• Thay vào PT mp: $(2+t) - 2(1-2t) + (3+t) - 7 = 0$
• $2 + t - 2 + 4t + 3 + t - 7 = 0 \Rightarrow 6t - 4 = 0 \Rightarrow t = \frac{2}{3}$
• Giao điểm: $M\left(\frac{8}{3}, -\frac{1}{3}, \frac{11}{3}\right)$

Kiểm tra: Thay M vào $(\alpha)$: $\frac{8}{3} - 2(-\frac{1}{3}) + \frac{11}{3} - 7 = \frac{8+2+11}{3} - 7 = 7 - 7 = 0$ ✓

Bài tập tự luyện

Bài 1

Viết PT đường thẳng qua $A(1, 0, -1)$ và vuông góc với mặt phẳng $2x - y + 2z + 5 = 0$.

Bài 2

Tính góc giữa đường thẳng $d: \frac{x-1}{1} = \frac{y}{2} = \frac{z+1}{2}$ và mặt phẳng $(\alpha): x + y + z - 3 = 0$.

Bài 3

Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng:

• $d_1: \frac{x}{1} = \frac{y-1}{2} = \frac{z-2}{1}$
• $d_2: \frac{x-1}{2} = \frac{y-2}{1} = \frac{z}{-1}$

Bài 4

Cho $d: \frac{x-1}{2} = \frac{y+1}{1} = \frac{z-2}{-3}$ và $(\alpha): 2x + y - 3z + 1 = 0$. Xét vị trí tương đối. Nếu $d \subset (\alpha)$, chứng minh.

Tóm tắt

Công thức quan trọng

Key Points

• Vector chỉ phương $\vec{u} = (a, b, c)$
• Đường thẳng vuông góc MP: $\vec{u} = \vec{n}$ (pháp tuyến)
• Giao MP: Thay PT tham số vào PT mặt phẳng