Lớp 9 - Tóm Tắt Kiến Thức

Phần 1: Đại số

1.1. Căn bậc hai

Định nghĩa: $\sqrt{a}$ là số không âm mà bình phương bằng $a$ (với $a \geq 0$)

Tính chất:

• $\sqrt{a^2} = |a|$
• $\sqrt{ab} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$ (với $a, b \geq 0$)
• $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ (với $a \geq 0$, $b > 0$)

Các phép biến đổi:

1.2. Hàm số bậc nhất

Dạng: $y = ax + b$ với $a \neq 0$

Đồ thị: Đường thẳng

• Cắt trục $Oy$ tại điểm $(0, b)$
• Cắt trục $Ox$ tại điểm $(-\frac{b}{a}, 0)$

Tính chất:

• $a > 0$: Hàm số đồng biến (đường thẳng đi lên)
• $a < 0$: Hàm số nghịch biến (đường thẳng đi xuống)

Vị trí tương đối của hai đường thẳng:

• Song song: $a_1 = a_2$ và $b_1 \neq b_2$
• Trùng nhau: $a_1 = a_2$ và $b_1 = b_2$
• Cắt nhau: $a_1 \neq a_2$

1.3. Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn

Dạng tổng quát:

$a_1x + b_1y = c_1$

$a_2x + b_2y = c_2$

Phương pháp giải:

1. Phương pháp thế:

   • Rút một ẩn theo ẩn còn lại từ PT1
   • Thay vào PT2, giải tìm ẩn còn lại
   • Thay ngược lại tìm ẩn kia

2. Phương pháp cộng đại số:

   • Nhân các PT với hệ số thích hợp
   • Cộng hoặc trừ để khử một ẩn
   • Giải PT một ẩn, thay ngược lại

1.4. Phương trình bậc hai một ẩn

Dạng tổng quát: $ax^2 + bx + c = 0$ với $a \neq 0$

Biệt thức (Delta) - Chìa khóa xác định nghiệm: $\Delta = b^2 - 4ac$

Công thức nghiệm:

• $\Delta > 0$: Có 2 nghiệm phân biệt $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$
• $\Delta = 0$: Có nghiệm kép $x = -\frac{b}{2a}$
• $\Delta < 0$: Vô nghiệm trong $\mathbb{R}$

Hệ thức Viète:

$S = x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$

$P = x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$

1.5. Bất đẳng thức và Bất phương trình bậc nhất một ẩn

Bất đẳng thức là mệnh đề so sánh hai biểu thức bằng các dấu $<$, $>$, $\leq$, $\geq$.

Tính chất cơ bản của bất đẳng thức:

Bất phương trình bậc nhất một ẩn có dạng $ax + b > 0$ (hoặc $<$, $\leq$, $\geq$) với $a \neq 0$.

Cách giải: Chuyển vế (đổi dấu hạng tử) rồi chia cho hệ số của $x$ — chú ý đổi chiều nếu chia cho số âm.

Ví dụ: Giải $-2x + 6 \geq 0$.

Bước 1: Chuyển $6$ sang vế phải: $-2x \geq -6$

Bước 2: Chia hai vế cho $-2$ (số âm → đổi chiều): $x \leq 3$

Lý do: Vì $-2 < 0$ nên khi chia phải đảo dấu $\geq$ thành $\leq$.

Nghiệm: $x \leq 3$, biểu diễn trên trục số là tia gồm $3$ và mọi điểm bên trái $3$.

Giải thích: Tập nghiệm của bất phương trình bậc nhất một ẩn là một khoảng/nửa khoảng trên trục số. Đầu mút tô đậm (●) khi có dấu $\leq$/$\geq$, tô rỗng (○) khi có dấu $<$/$>$.

Phần 2: Hình học

2.1. Hệ thức lượng trong tam giác vuông

Trong tam giác vuông ABC vuông tại A, đường cao AH:

Hình minh họa hệ thức lượng:

Giải thích: Trong tam giác vuông ABC vuông tại A, đường cao AH từ đỉnh góc vuông xuống cạnh huyền BC. Các hệ thức lượng liên hệ các đoạn BH, HC, AH với các cạnh AB, AC, BC.

2.2. Tỉ số lượng giác của góc nhọn

Trong tam giác vuông với góc nhọn $\alpha$:

Hệ thức cơ bản: $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$

Góc phụ nhau ($\alpha + \beta = 90°$):

• $\sin \alpha = \cos \beta$
• $\tan \alpha = \cot \beta$

Hình minh họa đường tròn lượng giác:

Giải thích: Đường tròn lượng giác có bán kính = 1. Mỗi điểm M trên đường tròn có tọa độ (cos α, sin α), với α là góc tạo bởi OM với trục Ox. Đây là nền tảng cho lượng giác lớp 11.

2.3. Đường tròn

Định nghĩa: Tập hợp các điểm cách đều một điểm cố định (tâm) một khoảng không đổi (bán kính $R$)

Chu vi và diện tích:

• Chu vi: $C = 2\pi R$
• Diện tích: $S = \pi R^2$

Vị trí tương đối (với $d$ là khoảng cách từ tâm đến đường thẳng):

2.4. Góc nội tiếp

Định nghĩa: Góc có đỉnh nằm trên đường tròn, hai cạnh cắt đường tròn

Số đo: Góc nội tiếp bằng nửa cung bị chắn

$\widehat{ACB} = \frac{1}{2} \cdot \text{số đo cung AB}$

Tính chất:

• Các góc nội tiếp chắn cùng một cung thì bằng nhau
• Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông

Hình minh họa đường tròn và góc:

Giải thích: Góc nội tiếp AMB có đỉnh M nằm trên đường tròn. Góc ở tâm AOB có đỉnh tại tâm O. Quan hệ: Góc nội tiếp = 1/2 Góc ở tâm (khi chắn cùng cung).

2.5. Tiếp tuyến của đường tròn

Định nghĩa: Tiếp tuyến của đường tròn là đường thẳng chỉ có một điểm chung (tiếp điểm) với đường tròn.

Tính chất:

• Tiếp tuyến vuông góc với bán kính tại tiếp điểm: nếu $d$ tiếp xúc $(O)$ tại $A$ thì $OA \perp d$.
• Hai tiếp tuyến cắt nhau: Từ điểm $M$ nằm ngoài $(O)$ kẻ hai tiếp tuyến $MA$, $MB$ ($A$, $B$ là tiếp điểm), khi đó:
  • $MA = MB$ (hai đoạn tiếp tuyến bằng nhau)
  • $MO$ là tia phân giác của góc $\widehat{AMB}$
  • $MO$ là tia phân giác của góc $\widehat{AOB}$

Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung: bằng nửa số đo cung bị chắn (cùng giá trị với góc nội tiếp chắn cung đó).

2.6. Tứ giác nội tiếp

Định nghĩa: Tứ giác nội tiếp là tứ giác có bốn đỉnh cùng nằm trên một đường tròn.

Định lý: Trong một tứ giác nội tiếp, tổng hai góc đối diện bằng $180°$:

$\widehat{A} + \widehat{C} = 180°, \quad \widehat{B} + \widehat{D} = 180°$

Dấu hiệu nhận biết: Một tứ giác có tổng hai góc đối bằng $180°$ thì nội tiếp được trong một đường tròn.

Mẹo nhận biết nhanh: Hình chữ nhật, hình vuông, hình thang cân luôn nội tiếp được đường tròn (vì có tổng hai góc đối bằng $180°$).

2.7. Hàm số y = ax² (a ≠ 0)

Đồ thị: Parabol

Tính chất:

• Đỉnh tại gốc tọa độ O(0, 0)
• Trục đối xứng là trục Oy
• $a > 0$: Parabol quay bề lõm lên trên (hình chữ U)
• $a < 0$: Parabol quay bề lõm xuống dưới (hình chữ ∩)

Giải thích: Đồ thị hàm số $y = ax^2$ là parabol có đỉnh tại gốc tọa độ O. Khi $a > 0$, parabol “mở lên trên”; khi $a < 0$, parabol “mở xuống dưới”.

Bảng giá trị (ví dụ $y = x^2$):

So sánh với hàm bậc nhất:

Phần 3: Hình khối trong không gian

3.1. Hình trụ

Định nghĩa: Hình tạo bởi khi quay hình chữ nhật quanh một cạnh.

Giải thích: Hình trụ có hai đáy là hình tròn bằng nhau, mặt xung quanh là mặt cong.

Công thức (bán kính đáy $R$, chiều cao $h$):

3.2. Hình nón

Định nghĩa: Hình tạo bởi khi quay tam giác vuông quanh một cạnh góc vuông.

Giải thích: Hình nón có đáy là hình tròn, đỉnh là một điểm, mặt xung quanh là mặt cong. Đường sinh l nối đỉnh với điểm trên đường tròn đáy.

Công thức (bán kính $R$, chiều cao $h$, đường sinh $l = \sqrt{R^2 + h^2}$):

3.3. Hình cầu

Định nghĩa: Hình tạo bởi khi quay nửa đường tròn quanh đường kính.

Giải thích: Hình cầu là tập hợp tất cả các điểm cách tâm O một khoảng bằng bán kính R.

Công thức (bán kính $R$):

Phần 4: Thống kê nâng cao

4.1. Số liệu ghép nhóm

Khi nào dùng: Khi dữ liệu có nhiều giá trị khác nhau, chia thành các khoảng (nhóm).

Ví dụ: Điểm thi của 100 học sinh

4.2. Số trung bình và tứ phân vị

Số trung bình của dữ liệu ghép nhóm: $\bar{x} = \frac{\sum (x_i \cdot f_i)}{n}$

Trong đó $x_i$ là giá trị đại diện (trung điểm khoảng), $f_i$ là tần số.

Tứ phân vị (Quartiles):

• Q1 (25%): 1/4 dữ liệu nhỏ hơn Q1
• Q2 (50%): Trung vị
• Q3 (75%): 3/4 dữ liệu nhỏ hơn Q3

Khoảng tứ phân vị (IQR): $IQR = Q_3 - Q_1$

4.3. Xác suất của biến cố

Phép thử ngẫu nhiên là phép thử mà ta không biết trước kết quả, nhưng biết tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra.

Biến cố là tập hợp một số kết quả (gọi là kết quả thuận lợi) của phép thử.

Công thức xác suất (khi các kết quả đồng khả năng):

$P(A) = \frac{\text{số kết quả thuận lợi cho } A}{\text{tổng số kết quả có thể}}, \qquad 0 \leq P(A) \leq 1$

Ví dụ 1: Gieo một con xúc xắc cân đối. Xác suất xuất hiện mặt chẵn: $P = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \quad (\text{các mặt thuận lợi: } 2, 4, 6)$

Quy tắc nhân xác suất (hai biến cố độc lập): Nếu việc xảy ra của biến cố $A$ không ảnh hưởng đến $B$ thì:

$P(A \text{ và } B) = P(A) \times P(B)$

Ví dụ 2: Tung một đồng xu cân đối 2 lần. Xác suất cả hai lần đều ra mặt ngửa: $P = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$

Lưu ý: Quy tắc nhân chỉ áp dụng khi hai biến cố độc lập. Đây là nền tảng cho chương Xác suất ở Lớp 10–12.

Bài tập mẫu

Bài 1: Rút gọn biểu thức căn

Rút gọn: $\sqrt{12} + \sqrt{27} - \sqrt{48}$

Lời giải:

Nhắc lại: Để cộng/trừ các căn, ta phải đưa về dạng “căn đồng dạng” (cùng biểu thức trong dấu căn). Quy tắc: $\sqrt{a^2 \cdot b} = a\sqrt{b}$ (với $a \geq 0$)

Bước 1: Đưa thừa số ra ngoài dấu căn (phân tích thành tích của số chính phương)

Lý do: Tìm số chính phương lớn nhất chia hết cho số trong căn.

Bước 2: Thay vào biểu thức và cộng các căn đồng dạng (cùng $\sqrt{3}$) $2\sqrt{3} + 3\sqrt{3} - 4\sqrt{3} = (2 + 3 - 4)\sqrt{3} = 1 \cdot \sqrt{3} = \sqrt{3}$

Kiểm tra: $\sqrt{3} \approx 1.732$ và $\sqrt{12} + \sqrt{27} - \sqrt{48} \approx 3.46 + 5.20 - 6.93 \approx 1.73$ ✓

Mẹo: Danh sách số chính phương: 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100…

Bài 2: Giải phương trình bậc hai

Giải: $x^2 - 5x + 6 = 0$

Lời giải:

Nhắc lại: Với PT $ax^2 + bx + c = 0$: $\Delta = b^2 - 4ac$

Bước 1: Xác định hệ số

• $a = 1$, $b = -5$, $c = 6$

Bước 2: Tính Delta $\Delta = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4(1)(6) = 25 - 24 = 1 > 0$

Giải thích: $\Delta > 0$ nghĩa là PT có 2 nghiệm phân biệt.

Bước 3: Tính nghiệm $x_1 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{5 - 1}{2} = 2$ $x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{5 + 1}{2} = 3$

Kiểm tra bằng Viète: $x_1 + x_2 = 2 + 3 = 5 = -\frac{b}{a}$ ✓, $x_1 \cdot x_2 = 2 \times 3 = 6 = \frac{c}{a}$ ✓

Bài 3: Hệ phương trình

Giải hệ phương trình:

$x + 2y = 5$ … (1)

$2x - y = 0$ … (2)

Lời giải: (Phương pháp thế)

Nhắc lại: Phương pháp thế gồm 3 bước:

1. Rút 1 ẩn từ PT đơn giản hơn
2. Thay vào PT còn lại → được PT 1 ẩn
3. Giải tìm ẩn, thay ngược lại

Bước 1: Chọn PT đơn giản hơn để rút một ẩn

• Từ PT(2): $2x = y \Rightarrow y = 2x$

Lý do: PT(2) có hệ số đơn giản, dễ rút $y$ theo $x$.

Bước 2: Thay vào phương trình còn lại

• Thay $y = 2x$ vào PT(1): $x + 2(2x) = 5$
• $x + 4x = 5 \Rightarrow 5x = 5 \Rightarrow x = 1$

Bước 3: Tìm ẩn còn lại

• $y = 2(1) = 2$

Nghiệm: $(x, y) = (1, 2)$

Kiểm tra: Thay vào CẢ HAI PT:

• PT(1): $1 + 2(2) = 1 + 4 = 5$ ✓
• PT(2): $2(1) - 2 = 2 - 2 = 0$ ✓

Bài 4: Tỉ số lượng giác

Trong tam giác vuông ABC vuông tại A, biết $AB = 3$cm, $AC = 4$cm. Tính $\sin B$, $\cos B$.

Lời giải:

Bước 1: Tính cạnh huyền BC bằng định lý Pytago $BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \text{ cm}$

Bước 2: Xác định cạnh đối và cạnh kề của góc B

• Cạnh đối của góc B: AC = 4cm (đối diện góc B)
• Cạnh kề của góc B: AB = 3cm (nằm cạnh góc B, không phải cạnh huyền)

Bước 3: Áp dụng công thức tỉ số lượng giác $\sin B = \frac{\text{cạnh đối}}{\text{cạnh huyền}} = \frac{AC}{BC} = \frac{4}{5}$ $\cos B = \frac{\text{cạnh kề}}{\text{cạnh huyền}} = \frac{AB}{BC} = \frac{3}{5}$

Mẹo nhớ: “SOH-CAH” (Sin = Opposite/Hypotenuse, Cos = Adjacent/Hypotenuse)

Bài 5: Hàm số y = ax²

Cho hàm số $y = 2x^2$. Tính giá trị của y khi x = -3, x = 0, x = 2.

Lời giải:

Nhắc lại: Đồ thị $y = ax^2$ là parabol, đối xứng qua trục Oy. Nếu $a > 0$, parabol quay lên.

Bước 1: Thay từng giá trị x vào công thức $y = 2x^2$

Nhận xét: $y(-3) = y(3) = 18$ do đồ thị đối xứng qua Oy (y chẵn).

Bài 6: Thể tích hình trụ

Hình trụ có bán kính đáy R = 5cm, chiều cao h = 10cm. Tính thể tích (lấy $\pi \approx 3.14$).

Lời giải:

Nhắc lại: Thể tích hình trụ = Diện tích đáy × Chiều cao $V = \pi R^2 h$

Bước 1: Xác định các yếu tố

• Bán kính đáy: $R = 5$cm
• Chiều cao: $h = 10$cm

Bước 2: Tính diện tích đáy $S_{\text{đáy}} = \pi R^2 = 3.14 \times 5^2 = 3.14 \times 25 = 78.5 \text{ cm}^2$

Lý do: Đáy hình trụ là hình tròn, có diện tích $\pi R^2$.

Bước 3: Tính thể tích $V = S_{\text{đáy}} \times h = 78.5 \times 10 = 785 \text{ cm}^3$

Kiểm tra: $V = \pi R^2 h = 3.14 \times 25 \times 10 = 785$ cm³ ✓

Liên hệ: Hình trụ giống “hình hộp tròn” - thể tích = đáy × cao.

Bài 7: Thể tích hình nón

Hình nón có bán kính đáy R = 6cm, chiều cao h = 9cm. Tính thể tích (lấy $\pi \approx 3.14$).

Lời giải:

Nhắc lại: Thể tích hình nón = $\frac{1}{3}$ thể tích hình trụ cùng đáy, cùng cao: $V_{nón} = \frac{1}{3} \pi R^2 h$

Bước 1: Xác định các yếu tố

• Bán kính đáy: $R = 6$cm
• Chiều cao: $h = 9$cm

Bước 2: Tính diện tích đáy $S_{\text{đáy}} = \pi R^2 = 3.14 \times 6^2 = 3.14 \times 36 = 113.04 \text{ cm}^2$

Bước 3: Tính thể tích $V = \frac{1}{3} \times S_{\text{đáy}} \times h = \frac{1}{3} \times 113.04 \times 9 = \frac{1017.36}{3} = 339.12 \text{ cm}^3$

Kiểm tra so với hình trụ:

• Thể tích hình trụ cùng đáy, cùng cao: $V_{trụ} = 113.04 \times 9 = 1017.36$ cm³
• Kiểm tra: $V_{nón} = \frac{1017.36}{3} = 339.12$ cm³ ✓ (đúng bằng $\frac{1}{3}$ hình trụ)

Lý do hệ số 1/3: Có thể chứng minh bằng tích phân (lớp 12) hoặc thí nghiệm đo nước.

Tóm tắt

Công thức quan trọng

Key Points

• Điều kiện căn: Biểu thức trong căn $\geq 0$
• Parabol: $y = ax^2$ mở lên khi $a \gt 0$, mở xuống khi $a \lt 0$
• Sin, cos, tan: Hệ thức lượng trong tam giác vuông
• Lưu ý: $\Delta \lt 0$ thì PT vô nghiệm thực