Skip to Content
Cấp 3 (Lớp 10-12)Lớp 11Bổ sung: Phép biến hình

Bổ sung: Phép biến hình

Chương quan trọng cho hình học! Phép biến hình là công cụ để giải các bài toán về tính đối xứng, dựng hình và chứng minh hình học.

Mục tiêu học tập

Sau khi hoàn thành chương này, bạn sẽ:

  • Hiểu các phép biến hình cơ bản: tịnh tiến, đối xứng, quay, vị tự
  • Xác định ảnh của điểm, đường thẳng, đường tròn qua phép biến hình
  • Áp dụng phép biến hình để giải bài toán hình học

Phần 1: Phép tịnh tiến

1.1. Định nghĩa

Cho vector v⃗\vec{v}. Phép tịnh tiến theo v⃗\vec{v}, ký hiệu Tv⃗T_{\vec{v}}, là phép biến hình biến mỗi điểm MM thành điểm M′M' sao cho:

MM′⃗=v⃗\vec{MM'} = \vec{v}

Ký hiệu: M′=Tv⃗(M)M' = T_{\vec{v}}(M)

1.2. Tính chất

  • Biến đường thẳng thành đường thẳng song song (hoặc trùng)
  • Biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nhau
  • Biến tam giác thành tam giác bằng nhau
  • Biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính
  • Bảo toàn khoảng cách: M′N′=MNM'N' = MN

1.3. Biểu thức tọa độ

Nếu v⃗=(a,b)\vec{v} = (a, b) và M(x,y)M(x, y), thì:

M′(x′,y′)=Tv⃗(M)⇔{x′=x+ay′=y+bM'(x', y') = T_{\vec{v}}(M) \Leftrightarrow \begin{cases} x' = x + a \\ y' = y + b \end{cases}

Hình minh họa phép tịnh tiến:

ABC→vA'B'C'T→v(ABC) = A'B'C'

Giải thích: Phép tịnh tiến dịch chuyển mọi điểm theo cùng một vector →v. Điểm M biến thành M’ sao cho MM’ = →v. Đường thẳng biến thành đường thẳng song song.

Phần 2: Phép đối xứng trục

2.1. Định nghĩa

Cho trục dd. Phép đối xứng trục dd, ký hiệu ĐdĐ_d, là phép biến hình biến mỗi điểm MM thành điểm M′M' sao cho dd là trung trực của đoạn MM′MM'.

Ký hiệu: M′=Đd(M)M' = Đ_d(M)

2.2. Tính chất

  • M∈d⇒M′=MM \in d \Rightarrow M' = M (điểm trên trục là điểm bất động)
  • Biến đường thẳng thành đường thẳng
  • Biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nhau
  • Biến tam giác thành tam giác bằng nhau
  • Biến đường tròn thành đường tròn cùng bán kính

2.3. Biểu thức tọa độ

Đối xứng qua Ox: (x,y)→(x,−y)(x, y) \to (x, -y)

Đối xứng qua Oy: (x,y)→(−x,y)(x, y) \to (-x, y)

Đối xứng qua y=xy = x: (x,y)→(y,x)(x, y) \to (y, x)

Hình minh họa phép đối xứng trục:

dMM'd là trung trực MM'

Giải thích: Phép đối xứng trục qua d biến M thành M’ sao cho d là trung trực của MM’. Mọi điểm trên trục d là điểm bất động.

Phần 3: Phép đối xứng tâm

3.1. Định nghĩa

Cho điểm II. Phép đối xứng tâm II, ký hiệu ĐIĐ_I, là phép biến hình biến mỗi điểm MM thành điểm M′M' sao cho II là trung điểm của đoạn MM′MM'.

Ký hiệu: M′=ĐI(M)M' = Đ_I(M)

Liên hệ với phép tịnh tiến: ĐI=T2IM⃗Đ_I = T_{2\vec{IM}}

3.2. Biểu thức tọa độ

Nếu I(a,b)I(a, b) và M(x,y)M(x, y), thì:

M′(x′,y′)=ĐI(M)⇔{x′=2a−xy′=2b−yM'(x', y') = Đ_I(M) \Leftrightarrow \begin{cases} x' = 2a - x \\ y' = 2b - y \end{cases}

Đối xứng qua gốc O: (x,y)→(−x,−y)(x, y) \to (-x, -y)

Hình minh họa phép đối xứng tâm:

IMM'I là trung điểm MM'

Giải thích: Phép đối xứng tâm I biến M thành M’ sao cho I là trung điểm của MM’. Điểm I là điểm bất động duy nhất.

Phần 4: Phép quay

4.1. Định nghĩa

Cho điểm OO và góc α\alpha. Phép quay tâm OO góc α\alpha, ký hiệu Q(O,α)Q_{(O, \alpha)}, là phép biến hình biến mỗi điểm MM thành điểm M′M' sao cho:

  • OM′=OMOM' = OM
  • (OM,OM′)^=α\widehat{(OM, OM')} = \alpha (đo theo chiều dương)

Ký hiệu: M′=Q(O,α)(M)M' = Q_{(O, \alpha)}(M)

4.2. Tính chất

  • OO là điểm bất động duy nhất
  • Bảo toàn khoảng cách: M′N′=MNM'N' = MN
  • Biến đường thẳng thành đường thẳng
  • Biến đường tròn thành đường tròn cùng bán kính

4.3. Biểu thức tọa độ

Quay quanh gốc OO góc α\alpha:

{x′=xcos⁡α−ysin⁡αy′=xsin⁡α+ycos⁡α\begin{cases} x' = x\cos\alpha - y\sin\alpha \\ y' = x\sin\alpha + y\cos\alpha \end{cases}

Liên hệ Đại học - Computer Graphics:

Phép quay có thể viết dưới dạng phép nhân ma trận:

(x′y′)=(cos⁡α−sin⁡αsin⁡αcos⁡α)(xy)\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos\alpha & -\sin\alpha \\ \sin\alpha & \cos\alpha \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}

Ứng dụng trong Animation/Games:

  • 2D Games: Xoay sprite, đối tượng
  • 3D Graphics: Ma trận xoay 3x3 (quanh trục x, y, z)
  • Computer Vision: Xoay ảnh, augmentation cho ML

Tất cả phép biến hình đều là ma trận:

Phép biến hìnhMa trận
Đối xứng Ox(100−1)\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}
Đối xứng Oy(−1001)\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}
Vị tự tỉ số k(k00k)\begin{pmatrix} k & 0 \\ 0 & k \end{pmatrix}

Hình minh họa phép quay:

OMM'αOM' = OM, góc MOM' = α

Giải thích: Phép quay tâm O góc α biến M thành M’ sao cho OM’ = OM và góc MOM’ = α. Chiều dương là ngược chiều kim đồng hồ.

Phần 5: Phép vị tự

5.1. Định nghĩa

Cho điểm II và số k≠0k \neq 0. Phép vị tự tâm II tỉ số kk, ký hiệu V(I,k)V_{(I, k)}, là phép biến hình biến mỗi điểm MM thành điểm M′M' sao cho:

IM′⃗=k⋅IM⃗\vec{IM'} = k \cdot \vec{IM}

Ký hiệu: M′=V(I,k)(M)M' = V_{(I, k)}(M)

5.2. Tính chất

  • II là điểm bất động duy nhất
  • Biến đường thẳng thành đường thẳng song song (hoặc trùng)
  • Biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng có độ dài gấp ∣k∣|k| lần
  • Biến đường tròn bán kính RR thành đường tròn bán kính ∣k∣R|k|R

5.3. Biểu thức tọa độ

Nếu I(a,b)I(a, b) và M(x,y)M(x, y):

M′(x′,y′)=V(I,k)(M)⇔{x′=kx+(1−k)ay′=ky+(1−k)bM'(x', y') = V_{(I, k)}(M) \Leftrightarrow \begin{cases} x' = kx + (1-k)a \\ y' = ky + (1-k)b \end{cases}

Hình minh họa phép vị tự:

IAA'k = 2IA' = 2·IA→IM' = k·→IM

Giải thích: Phép vị tự tâm I tỉ số k biến M thành M’ sao cho IM’ = k·IM. Khi k > 0, M’ cùng phía với M. Khi k < 0, M’ đối phía với M qua I.

Lỗi thường gặp với phép biến hình:

  1. Phép đối xứng trục Ox: M(x,y)→M′(x,−y)M(x,y) \to M'(x, \mathbf{-}y) (đổi dấu y!), KHÔNG phải đổi dấu x
  2. Phép quay: Chiều dương = ngược chiều kim đồng hồ. Góc 90° → (x,y)→(−y,x)(x,y) \to (-y,x)
  3. Phép vị tự tỉ số k < 0: Hình ảnh nằm BÊN KIA tâm (vừa co giãn vừa đổi phía)

Bài tập mẫu có lời giải

Bài 1: Phép tịnh tiến

Đề bài: Cho v⃗=(3,−2)\vec{v} = (3, -2). Tìm ảnh của điểm A(1,4)A(1, 4) và đường thẳng d:2x−y+1=0d: 2x - y + 1 = 0 qua phép tịnh tiến Tv⃗T_{\vec{v}}.

Lời giải:

Bước 1: Áp dụng công thức tịnh tiến.

Ảnh của A: A′=Tv⃗(A)⇒A′(1+3,4−2)=A′(4,2)A' = T_{\vec{v}}(A) \Rightarrow A'(1+3, 4-2) = A'(4, 2)

Bước 2: Tìm ảnh đường thẳng (song song với d gốc).

Ảnh của d: Lấy điểm M(0,1)∈dM(0, 1) \in d, tìm M′=(3,−1)M' = (3, -1)

d′d' song song với dd nên có dạng: 2x−y+c=02x - y + c = 0

Bước 3: Thay tọa độ điểm ảnh vào.

M′∈d′⇒2(3)−(−1)+c=0⇒c=−7M' \in d' \Rightarrow 2(3) - (-1) + c = 0 \Rightarrow c = -7

Đường thẳng d’: 2x−y−7=02x - y - 7 = 0

Tại sao d’ song song d? Phép tịnh tiến bảo toàn phương của đường thẳng, chỉ dịch chuyển vị trí.

Bài 2: Phép đối xứng

Đề bài: Tìm ảnh của điểm A(3,−2)A(3, -2) qua: a) Phép đối xứng trục Ox b) Phép đối xứng trục Oy c) Phép đối xứng tâm I(1,1)I(1, 1)

Lời giải:

Bước 1: Áp dụng công thức từng phép.

Nhắc lại: Ox: (x,y)→(x,−y)(x,y) \to (x,-y); Oy: (x,y)→(−x,y)(x,y) \to (-x,y); Tâm II: (x′,y′)=(2a−x,2b−y)(x',y') = (2a-x, 2b-y)

a) Đối xứng qua Ox: A′=(3,2)A' = (3, 2) (đổi dấu y)

b) Đối xứng qua Oy: A′=(−3,−2)A' = (-3, -2) (đổi dấu x)

Bước 2: Tính đối xứng tâm.

c) Đối xứng tâm I(1, 1): x′=2(1)−3=−1x' = 2(1) - 3 = -1 y′=2(1)−(−2)=4y' = 2(1) - (-2) = 4 A′=(−1,4)A' = (-1, 4)

Bài 3: Phép quay

Đề bài: Tìm ảnh của điểm A(2,0)A(2, 0) qua phép quay tâm O góc 90°90°.

Lời giải:

Bước 1: Áp dụng công thức quay.

Nhắc lại: x′=xcos⁡α−ysin⁡αx' = x\cos\alpha - y\sin\alpha, y′=xsin⁡α+ycos⁡αy' = x\sin\alpha + y\cos\alpha

x′=2cos⁡90°−0sin⁡90°=0x' = 2\cos 90° - 0\sin 90° = 0 y′=2sin⁡90°+0cos⁡90°=2y' = 2\sin 90° + 0\cos 90° = 2

Bước 2: Kiểm tra: ∣OA′∣=02+22=2=∣OA∣|OA'| = \sqrt{0^2 + 2^2} = 2 = |OA| ✓

Ảnh: A′=(0,2)A' = (0, 2)

Bài 4: Phép vị tự

Đề bài: Cho phép vị tự V(I,2)V_{(I, 2)} với I(1,−1)I(1, -1). Tìm ảnh của điểm A(3,2)A(3, 2) và đường tròn (C):(x−2)2+(y−1)2=4(C): (x-2)^2 + (y-1)^2 = 4.

Lời giải:

Bước 1: Tìm ảnh của điểm A.

x′=2(3)+(1−2)(1)=5x' = 2(3) + (1-2)(1) = 5 y′=2(2)+(1−2)(−1)=5y' = 2(2) + (1-2)(-1) = 5 A′=(5,5)A' = (5, 5)

Bước 2: Tìm ảnh tâm đường tròn.

Tâm O(2,1)→O′(2⋅2+(−1)⋅1,2⋅1+(−1)(−1))=O′(3,3)O(2, 1) \to O'(2 \cdot 2 + (-1) \cdot 1, 2 \cdot 1 + (-1)(-1)) = O'(3, 3)

Bước 3: Tính bán kính mới.

Tại sao? Phép vị tự tỉ số k nhân bán kính lên ∣k∣|k| lần.

Bán kính: R′=∣k∣⋅R=2⋅2=4R' = |k| \cdot R = 2 \cdot 2 = 4

(C’): (x−3)2+(y−3)2=16(x-3)^2 + (y-3)^2 = 16

Bài tập tự luyện

Bài 1

Cho v⃗=(−1,2)\vec{v} = (-1, 2). Tìm ảnh của đường tròn (C):x2+y2−4x+2y−4=0(C): x^2 + y^2 - 4x + 2y - 4 = 0 qua phép tịnh tiến Tv⃗T_{\vec{v}}.

Bài 2

Cho đường thẳng d:x+2y−3=0d: x + 2y - 3 = 0. Tìm ảnh của dd qua phép đối xứng trục Ox.

Bài 3

Tìm phép quay biến A(1,0)A(1, 0) thành B(0,1)B(0, 1) với tâm là gốc O.

Bài 4

Cho tam giác ABC với A(0,0)A(0, 0), B(4,0)B(4, 0), C(2,3)C(2, 3). Tìm ảnh của tam giác qua phép vị tự tâm A tỉ số k=12k = \frac{1}{2}.

Tóm tắt

Công thức biến đổi tọa độ

Phép biến hìnhCông thức
Tịnh tiến Tv⃗T_{\vec{v}}(x′,y′)=(x+a,y+b)(x', y') = (x + a, y + b)
Đối xứng tâm I(a,b)I(a,b)(x′,y′)=(2a−x,2b−y)(x', y') = (2a - x, 2b - y)
Quay tâm O góc α\alphax′=xcos⁡α−ysin⁡αx' = x\cos\alpha - y\sin\alpha, y′=xsin⁡α+ycos⁡αy' = x\sin\alpha + y\cos\alpha
Vị tự V(I,k)V_{(I, k)}IM′⃗=k⋅IM⃗\vec{IM'} = k \cdot \vec{IM}

Key Points

  • Tịnh tiến: Bảo toàn hình dạng và kích thước, dịch chuyển song song
  • Đối xứng: Bảo toàn khoảng cách, đảo chiều
  • Quay: Bảo toàn khoảng cách đến tâm
  • Vị tự: Phóng to/thu nhỏ theo tỉ số k
  • Lưu ý: Phép vị tự k < 0 đảo phía qua tâm

Lỗi thường gặp và cách tránh:

SaiĐúngGiải thích
Quay 90° giữ nguyên xx′=−yx' = -y, y′=xy' = xCông thức quay
Vị tự k = 2: ảnh gần tâm hơnẢnh xa tâm gấp 2k > 1 phóng to
Đối xứng Ox: (x,y)→(−x,y)(x, y) \to (-x, y)(x,y)→(x,−y)(x, y) \to (x, -y)Ox là trục hoành
Tịnh tiến đổi hình dạngChỉ dịch chuyển, giữ nguyên hìnhBảo toàn khoảng cách

Mẹo nhớ: “Tịnh tiến = dịch, Quay = xoay, Vị tự = zoom”

Hoàn thành nội dung Bổ sung! Quay lại Mục lục Lớp 11

Last updated on
Bổ sung: Vector trong không gianTổng quan