Skip to Content
Cấp 3 (Lớp 10-12)Lớp 10Chương 4 (tiếp): Vector

Chương 4 (tiếp): Vector

Vector vs Số thông thường (Scalar):

Đặc điểmSố (Scalar)Vector
Thông tinChỉ có độ lớnCó độ lớn + hướng
Ví dụNhiệt độ 30°C, khối lượng 5kgVận tốc 60km/h về phía Bắc
Ký hiệua,b,ca, b, ca⃗,AB⃗\vec{a}, \vec{AB}
Biểu diễnĐiểm trên trục sốMũi tên trong không gian

Tại sao cần vector? Khi nói xe chạy “60 km/h”, ta chưa biết xe đi hướng nào. Vector giúp mô tả đầy đủ: “60 km/h về phía Bắc”.

Mục tiêu học tập

Sau khi hoàn thành chương này, bạn sẽ:

  • Nắm vững khái niệm vector và các phép toán trên vector
  • Biểu diễn vector trong hệ tọa độ
  • Áp dụng vector giải các bài toán hình học

Phần 1: Khái niệm vector

1.1. Định nghĩa

Vector là một đoạn thẳng có hướng, được xác định bởi:

  • Điểm đầu (gốc)
  • Điểm cuối (ngọn)

Ký hiệu: AB⃗\vec{AB} hoặc a⃗\vec{a}, b⃗\vec{b}, …

Các yếu tố của vector:

  • Phương: Đường thẳng chứa vector hoặc song song với nó
  • Hướng: Từ điểm đầu đến điểm cuối
  • Độ dài (module): ∣AB⃗∣|\vec{AB}| hoặc ABAB

Hình minh họa vector:

AB\vec{AB}

Giải thích hình: Vector AB⃗\vec{AB} được biểu diễn bởi mũi tên từ điểm A (điểm đầu) đến điểm B (điểm cuối). Phương của vector là đường thẳng AB, hướng là từ A đến B.

1.2. Hai vector bằng nhau

Định nghĩa: Hai vector a⃗\vec{a} và b⃗\vec{b} được gọi là bằng nhau (a⃗=b⃗\vec{a} = \vec{b}) nếu:

  • Cùng phương
  • Cùng hướng
  • Cùng độ dài

Nhận xét quan trọng: Vector có thể tự do di chuyển trong mặt phẳng mà vẫn giữ nguyên giá trị. Hai vector bằng nhau có thể có điểm đầu khác nhau.

Hình minh họa hai vector bằng nhau:

AB→aCD→b→a = →b (cùng phương, cùng hướng, cùng độ dài)

Giải thích hình: Hai vector a⃗\vec{a} và b⃗\vec{b} tuy có vị trí khác nhau nhưng bằng nhau vì cùng phương (song song), cùng hướng và cùng độ dài.

1.3. Vector không

Vector không (ký hiệu 0⃗\vec{0}) là vector có điểm đầu trùng điểm cuối.

Tính chất:

  • ∣0⃗∣=0|\vec{0}| = 0
  • Vector không có mọi phương
  • AA⃗=0⃗\vec{AA} = \vec{0} với mọi điểm A

1.4. Vector đối

Vector đối của a⃗\vec{a} là vector −a⃗-\vec{a} có:

  • Cùng phương, cùng độ dài với a⃗\vec{a}
  • Ngược hướng với a⃗\vec{a}

Tính chất: a⃗+(−a⃗)=0⃗\vec{a} + (-\vec{a}) = \vec{0}

Hình minh họa vector đối:

→a-→aVector đối: cùng độ dài, ngược hướng

Giải thích hình: Vector a⃗\vec{a} và vector đối −a⃗-\vec{a} có cùng độ dài nhưng ngược hướng. Khi cộng lại với nhau, chúng triệt tiêu thành vector không.

Phần 2: Tổng và hiệu của hai vector

2.1. Phép cộng vector

Quy tắc ba điểm:

Với ba điểm AA, BB, CC bất kỳ: AB⃗+BC⃗=AC⃗\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}

Hình minh họa quy tắc ba điểm:

ABC→AB→BC→AC = →AB + →BC

Giải thích hình: Khi di chuyển từ A đến B (vector AB⃗\vec{AB}), rồi từ B đến C (vector BC⃗\vec{BC}), kết quả tương đương với di chuyển thẳng từ A đến C (vector AC⃗\vec{AC}). Đây là cơ sở của phép cộng vector.

Quy tắc hình bình hành:

Nếu ABCDABCD là hình bình hành thì: AB⃗+AD⃗=AC⃗\vec{AB} + \vec{AD} = \vec{AC}

Hình minh họa quy tắc hình bình hành:

ABCD→AB→AD→AC→AB + →AD = →AC

Giải thích hình: Trong hình bình hành ABCD, đường chéo AC⃗\vec{AC} là tổng của hai vector AB⃗\vec{AB} và AD⃗\vec{AD} xuất phát từ cùng một điểm A. Quy tắc này cho thấy vector tổng là đường chéo của hình bình hành.

2.2. Tính chất phép cộng

Tính chấtCông thức
Giao hoána⃗+b⃗=b⃗+a⃗\vec{a} + \vec{b} = \vec{b} + \vec{a}
Kết hợp(a⃗+b⃗)+c⃗=a⃗+(b⃗+c⃗)(\vec{a} + \vec{b}) + \vec{c} = \vec{a} + (\vec{b} + \vec{c})
Cộng với vector khônga⃗+0⃗=a⃗\vec{a} + \vec{0} = \vec{a}
Cộng với vector đốia⃗+(−a⃗)=0⃗\vec{a} + (-\vec{a}) = \vec{0}

2.3. Phép trừ vector

Định nghĩa: a⃗−b⃗=a⃗+(−b⃗)\vec{a} - \vec{b} = \vec{a} + (-\vec{b})

Quy tắc ba điểm:

Với ba điểm AA, BB, CC bất kỳ: AB⃗−AC⃗=CB⃗\vec{AB} - \vec{AC} = \vec{CB}

Hay: OB⃗−OA⃗=AB⃗\vec{OB} - \vec{OA} = \vec{AB}

Phần 3: Tích của vector với một số

3.1. Định nghĩa

Cho số thực k≠0k \neq 0 và vector a⃗≠0⃗\vec{a} \neq \vec{0}.

Tích ka⃗k\vec{a} là vector có:

  • Cùng phương với a⃗\vec{a}
  • Độ dài: ∣ka⃗∣=∣k∣⋅∣a⃗∣|k\vec{a}| = |k| \cdot |\vec{a}|
  • Cùng hướng với a⃗\vec{a} nếu k>0k > 0
  • Ngược hướng với a⃗\vec{a} nếu k<0k < 0

Quy ước: 0⋅a⃗=0⃗0 \cdot \vec{a} = \vec{0} và k⋅0⃗=0⃗k \cdot \vec{0} = \vec{0}

3.2. Tính chất

Tính chấtCông thức
Phân phối theo vectork(a⃗+b⃗)=ka⃗+kb⃗k(\vec{a} + \vec{b}) = k\vec{a} + k\vec{b}
Phân phối theo số(k+l)a⃗=ka⃗+la⃗(k + l)\vec{a} = k\vec{a} + l\vec{a}
Kết hợpk(la⃗)=(kl)a⃗k(l\vec{a}) = (kl)\vec{a}
Nhân với 11⋅a⃗=a⃗1 \cdot \vec{a} = \vec{a}

3.3. Điều kiện để hai vector cùng phương

Hai vector a⃗\vec{a} và b⃗\vec{b} (với a⃗≠0⃗\vec{a} \neq \vec{0}) cùng phương khi và chỉ khi tồn tại số kk sao cho: b⃗=ka⃗\vec{b} = k\vec{a}

Phần 4: Tọa độ của vector

4.1. Hệ trục tọa độ

Cho hệ trục OxyOxy với vector đơn vị:

  • i⃗\vec{i} trên trục OxOx: ∣i⃗∣=1|\vec{i}| = 1
  • j⃗\vec{j} trên trục OyOy: ∣j⃗∣=1|\vec{j}| = 1

Biểu diễn vector theo cơ sở: a⃗=xi⃗+yj⃗\vec{a} = x\vec{i} + y\vec{j}

Tọa độ của vector: a⃗=(x,y)\vec{a} = (x, y) hoặc a⃗(x;y)\vec{a}(x; y)

Liên hệ Đại học - Linear Algebra (Đại số tuyến tính):

{i⃗,j⃗}\{\vec{i}, \vec{j}\} là cơ sở (basis) của không gian R2\mathbb{R}^2. Mọi vector đều là tổ hợp tuyến tính của cơ sở.

Khái niệm quan trọng:

  • Độc lập tuyến tính: a⃗\vec{a} và b⃗\vec{b} độc lập tuyến tính ⟺ không cùng phương
  • Không gian con: Tập các vector có dạng ka⃗k\vec{a} với k∈Rk \in \mathbb{R} tạo thành đường thẳng qua gốc

Ứng dụng Computer Graphics: (x′y′)=(cos⁡θ−sin⁡θsin⁡θcos⁡θ)(xy)\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}

Đây là phép xoay điểm (x,y)(x,y) quanh gốc góc θ\theta!

4.2. Tọa độ của vector có điểm đầu và điểm cuối cho trước

Cho A(xA,yA)A(x_A, y_A) và B(xB,yB)B(x_B, y_B):

AB⃗=(xB−xA,yB−yA)\vec{AB} = (x_B - x_A, y_B - y_A)

4.3. Các công thức trong hệ tọa độ

Cho a⃗=(x1,y1)\vec{a} = (x_1, y_1) và b⃗=(x2,y2)\vec{b} = (x_2, y_2):

Phép toánCông thức
Cộng vectora⃗+b⃗=(x1+x2,y1+y2)\vec{a} + \vec{b} = (x_1 + x_2, y_1 + y_2)
Trừ vectora⃗−b⃗=(x1−x2,y1−y2)\vec{a} - \vec{b} = (x_1 - x_2, y_1 - y_2)
Nhân với sốka⃗=(kx1,ky1)k\vec{a} = (kx_1, ky_1)
Độ dài$
Cùng phươnga⃗∥b⃗⇔x1y2=x2y1\vec{a} \parallel \vec{b} \Leftrightarrow x_1 y_2 = x_2 y_1
Bằng nhaua⃗=b⃗⇔x1=x2\vec{a} = \vec{b} \Leftrightarrow x_1 = x_2 và y1=y2y_1 = y_2

4.4. Công thức tọa độ trung điểm

Cho A(xA,yA)A(x_A, y_A) và B(xB,yB)B(x_B, y_B). Trung điểm MM của đoạn ABAB:

M=(xA+xB2,yA+yB2)M = \left(\frac{x_A + x_B}{2}, \frac{y_A + y_B}{2}\right)

4.5. Công thức tọa độ trọng tâm

Cho tam giác ABCABC với A(xA,yA)A(x_A, y_A), B(xB,yB)B(x_B, y_B), C(xC,yC)C(x_C, y_C).

Trọng tâm GG:

G=(xA+xB+xC3,yA+yB+yC3)G = \left(\frac{x_A + x_B + x_C}{3}, \frac{y_A + y_B + y_C}{3}\right)

Lỗi nghiêm trọng với vector:

  1. Sai hướng trừ: AB⃗=B−A\vec{AB} = B - A (đích trừ gốc!), viết A−BA - B = NGƯỢC hướng!
  2. Nhầm trọng tâm/trung điểm: Trung điểm chia 2, trọng tâm chia 3
  3. Quên Pythagoras cho độ dài: ∣a⃗∣=x2+y2|\vec{a}| = \sqrt{x^2 + y^2}, KHÔNG phải ∣x∣+∣y∣|x| + |y|

Bài tập mẫu có lời giải

Bài 1: Phép toán vector

Đề bài: Cho a⃗=(3,−2)\vec{a} = (3, -2) và b⃗=(−1,4)\vec{b} = (-1, 4). Tính:

a) a⃗+b⃗\vec{a} + \vec{b}

b) a⃗−b⃗\vec{a} - \vec{b}

c) 2a⃗−3b⃗2\vec{a} - 3\vec{b}

d) ∣a⃗∣|\vec{a}| và ∣b⃗∣|\vec{b}|

Lời giải chi tiết:

Nhắc lại: Phép toán vector theo tọa độ:

  • a⃗+b⃗=(xa+xb,ya+yb)\vec{a} + \vec{b} = (x_a + x_b, y_a + y_b)
  • ka⃗=(kxa,kya)k\vec{a} = (kx_a, ky_a)
  • ∣a⃗∣=xa2+ya2|\vec{a}| = \sqrt{x_a^2 + y_a^2}

a) a⃗+b⃗=(3+(−1),−2+4)=(2,2)\vec{a} + \vec{b} = (3 + (-1), -2 + 4) = (2, 2)

Lý do: Cộng từng thành phần tương ứng.

b) a⃗−b⃗=(3−(−1),−2−4)=(4,−6)\vec{a} - \vec{b} = (3 - (-1), -2 - 4) = (4, -6)

c)

  • 2a⃗=(6,−4)2\vec{a} = (6, -4)
  • 3b⃗=(−3,12)3\vec{b} = (-3, 12)
  • 2a⃗−3b⃗=(6−(−3),−4−12)=(9,−16)2\vec{a} - 3\vec{b} = (6 - (-3), -4 - 12) = (9, -16)

Lý do: Nhân vô hướng TRƯỚC, sau đó cộng/trừ.

d)

  • ∣a⃗∣=32+(−2)2=9+4=13|\vec{a}| = \sqrt{3^2 + (-2)^2} = \sqrt{9 + 4} = \sqrt{13}
  • ∣b⃗∣=(−1)2+42=1+16=17|\vec{b}| = \sqrt{(-1)^2 + 4^2} = \sqrt{1 + 16} = \sqrt{17}

Lý do: Độ dài = cạnh huyền của tam giác vuông có cạnh góc vuông là xx và yy.

Bài 2: Tọa độ vector

Đề bài: Cho A(1,3)A(1, 3), B(4,−1)B(4, -1), C(−2,5)C(-2, 5). Tìm:

a) Tọa độ vector AB⃗\vec{AB}, AC⃗\vec{AC}

b) Chứng minh A, B, C không thẳng hàng

c) Tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC

xyO1234512345A(1, 3)B(4, -1)C(-2, 5)→AB→AC

Lời giải chi tiết:

Nhắc lại: Công thức vector và trọng tâm:

  • AB⃗=(xB−xA,yB−yA)\vec{AB} = (x_B - x_A, y_B - y_A)
  • AB⃗∥AC⃗⇔xAB⋅yAC=xAC⋅yAB\vec{AB} \parallel \vec{AC} \Leftrightarrow x_{AB} \cdot y_{AC} = x_{AC} \cdot y_{AB}
  • G=(xA+xB+xC3,yA+yB+yC3)G = \left(\frac{x_A + x_B + x_C}{3}, \frac{y_A + y_B + y_C}{3}\right)

a) Tính tọa độ vector

  • AB⃗=(4−1,−1−3)=(3,−4)\vec{AB} = (4 - 1, -1 - 3) = (3, -4)
  • AC⃗=(−2−1,5−3)=(−3,2)\vec{AC} = (-2 - 1, 5 - 3) = (-3, 2)

Lý do: Tọa độ vector = Toạ độ điểm cuối - Toạ độ điểm đầu.

b) Kiểm tra thẳng hàng (song song)

Kiểm traTínhKết quả
xAB⋅yACx_{AB} \cdot y_{AC}3⋅23 \cdot 266
xAC⋅yABx_{AC} \cdot y_{AB}(−3)⋅(−4)(-3) \cdot (-4)1212

Vì 6≠126 \neq 12, nên AB⃗\vec{AB} không song song với AC⃗\vec{AC}.

Kết luận: A, B, C không thẳng hàng.

c) Tính trọng tâm G=(1+4+(−2)3,3+(−1)+53)=(1,73)G = \left(\frac{1 + 4 + (-2)}{3}, \frac{3 + (-1) + 5}{3}\right) = \left(1, \frac{7}{3}\right)

Kiểm tra: GA⃗+GB⃗+GC⃗=0⃗\vec{GA} + \vec{GB} + \vec{GC} = \vec{0} (tính chất trọng tâm)

Bài 3: Tìm điểm thỏa điều kiện vector

Đề bài: Cho A(2,1)A(2, 1), B(−1,4)B(-1, 4). Tìm điểm MM sao cho AM⃗=2AB⃗\vec{AM} = 2\vec{AB}.

Lời giải chi tiết:

Nhắc lại: Nếu AM⃗=kAB⃗\vec{AM} = k\vec{AB} thì M nằm trên đường thẳng AB và cách A một đoạn kk lần AB⃗\vec{AB}.

Bước 1: Tính AB⃗\vec{AB} AB⃗=(−1−2,4−1)=(−3,3)\vec{AB} = (-1 - 2, 4 - 1) = (-3, 3)

Bước 2: Tính 2AB⃗2\vec{AB} 2AB⃗=2⋅(−3,3)=(−6,6)2\vec{AB} = 2 \cdot (-3, 3) = (-6, 6)

Bước 3: Gọi M(x,y)M(x, y), lập phương trình AM⃗=(x−2,y−1)=(−6,6)\vec{AM} = (x - 2, y - 1) = (-6, 6)

Lý do: AM⃗=M−A\vec{AM} = M - A (tọa độ điểm cuối trừ điểm đầu).

Bước 4: Giải hệ phương trình

  • x−2=−6⇒x=−4x - 2 = -6 \Rightarrow x = -4
  • y−1=6⇒y=7y - 1 = 6 \Rightarrow y = 7

Kết luận: M(−4,7)M(-4, 7)

Kiểm tra: AM⃗=(−4−2,7−1)=(−6,6)=2⋅(−3,3)=2AB⃗\vec{AM} = (-4-2, 7-1) = (-6, 6) = 2 \cdot (-3, 3) = 2\vec{AB} ✓

Bài 4: Chứng minh bằng vector

Đề bài: Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AC và BD. Chứng minh: AB⃗+CD⃗=2MN⃗\vec{AB} + \vec{CD} = 2\vec{MN}

Hình thangHình bình hànhHình chữ nhậtHình thoiHình vuôngHình vuông =HCN + Hình thoi

Lời giải chi tiết:

Nhắc lại: Trung điểm M của AC: OM⃗=OA⃗+OC⃗2\vec{OM} = \frac{\vec{OA} + \vec{OC}}{2} (với O là gốc tọa độ bất kỳ).

Quan sát hình: Tứ giác ABCD với M là trung điểm AC, N là trung điểm BD.

Bước 1: Biểu diễn MN⃗\vec{MN} qua các đỉnh

Vì M là trung điểm AC: OM⃗=OA⃗+OC⃗2\vec{OM} = \frac{\vec{OA} + \vec{OC}}{2}

Vì N là trung điểm BD: ON⃗=OB⃗+OD⃗2\vec{ON} = \frac{\vec{OB} + \vec{OD}}{2}

Bước 2: Tính MN⃗\vec{MN} MN⃗=ON⃗−OM⃗=OB⃗+OD⃗2−OA⃗+OC⃗2\vec{MN} = \vec{ON} - \vec{OM} = \frac{\vec{OB} + \vec{OD}}{2} - \frac{\vec{OA} + \vec{OC}}{2}

=12[(OB⃗−OA⃗)+(OD⃗−OC⃗)]= \frac{1}{2}[(\vec{OB} - \vec{OA}) + (\vec{OD} - \vec{OC})]

Lý do: OB⃗−OA⃗=AB⃗\vec{OB} - \vec{OA} = \vec{AB} và OD⃗−OC⃗=CD⃗\vec{OD} - \vec{OC} = \vec{CD}.

=12(AB⃗+CD⃗)= \frac{1}{2}(\vec{AB} + \vec{CD})

Bước 3: Nhân cả hai vế với 2 2MN⃗=AB⃗+CD⃗2\vec{MN} = \vec{AB} + \vec{CD}

Điều phải chứng minh. ✓

Bài tập tự luyện

Bài 1

Cho a⃗=(4,−3)\vec{a} = (4, -3), b⃗=(2,5)\vec{b} = (2, 5). Tính:

a) 3a⃗+2b⃗3\vec{a} + 2\vec{b}

b) ∣a⃗−b⃗∣|\vec{a} - \vec{b}|

c) Vector đơn vị cùng hướng với a⃗\vec{a}

Bài 2

Cho A(3,−1)A(3, -1), B(5,2)B(5, 2), C(0,4)C(0, 4).

a) Tìm tọa độ trung điểm M của AB

b) Tìm điểm D sao cho ABCD là hình bình hành

c) Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC

Bài 3

Cho a⃗=(m,2)\vec{a} = (m, 2) và b⃗=(3,−1)\vec{b} = (3, -1). Tìm m để:

a) a⃗\vec{a} và b⃗\vec{b} cùng phương

b) ∣a⃗∣=5|\vec{a}| = 5

Bài 4

Chứng minh rằng với bốn điểm A, B, C, D bất kỳ: AB⃗+BC⃗+CD⃗+DA⃗=0⃗\vec{AB} + \vec{BC} + \vec{CD} + \vec{DA} = \vec{0}

Tóm tắt

Công thức quan trọng

Công thứcÝ nghĩa
a⃗=(a1,a2)\vec{a} = (a_1, a_2)Tọa độ vector
∥a⃗∥=a12+a22\|\vec{a}\| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2}Độ dài vector
AB⃗=(xB−xA,yB−yA)\vec{AB} = (x_B - x_A, y_B - y_A)Vector từ A đến B
M=(xA+xB2,yA+yB2)M = \left(\frac{x_A + x_B}{2}, \frac{y_A + y_B}{2}\right)Trung điểm AB
G=(xA+xB+xC3,yA+yB+yC3)G = \left(\frac{x_A + x_B + x_C}{3}, \frac{y_A + y_B + y_C}{3}\right)Trọng tâm tam giác
a⃗∥b⃗⇔a1b2=a2b1\vec{a} \parallel \vec{b} \Leftrightarrow a_1 b_2 = a_2 b_1Hai vector cùng phương

Key Points

  • Vector có hướng, khác với đoạn thẳng
  • Quy tắc 3 điểm: AB⃗+BC⃗=AC⃗\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}
  • Quy tắc hình bình hành: OA⃗+OB⃗=OC⃗\vec{OA} + \vec{OB} = \vec{OC} (C đối diện O)
  • Lưu ý: Thứ tự trừ: AB⃗=B−A\vec{AB} = B - A (đích trừ gốc)

Lỗi thường gặp và cách tránh:

SaiĐúngGiải thích
AB⃗=A−B\vec{AB} = A - BAB⃗=B−A\vec{AB} = B - AĐích trừ gốc!
a⃗+b⃗\vec{a} + \vec{b} = tổng tọa độĐúng! (a1+b1,a2+b2)(a_1+b_1, a_2+b_2)Cộng từng thành phần
Nhầm trọng tâm và trung điểmTrọng tâm chia 3, trung điểm chia 2Khác số điểm
∥a⃗∥=a1+a2\|\vec{a}\| = a_1 + a_2∥a⃗∥=a12+a22\|\vec{a}\| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2}Độ dài dùng Pythagoras

Mẹo nhớ:

  • Vector AB: “B trừ A” (hướng từ A đến B)
  • Trọng tâm: Trung bình cộng tọa độ 3 đỉnh
  • Cùng phương: “Chéo nhau bằng nhau” (a1b2=a2b1a_1 b_2 = a_2 b_1)

Hoàn thành chương 6! Chuyển sang Chương 7: Tích vô hướng

Last updated on
Chương 4: Hệ thức lượng trong tam giácChương 4 (tiếp): Tích vô hướng