Lớp 7 - Tóm Tắt Kiến Thức

Phần 1: Đại số

1.1. Số hữu tỉ

Định nghĩa: Số hữu tỉ là số viết được dưới dạng $\frac{a}{b}$ với $a, b \in \mathbb{Z}$, $b \neq 0$

Ký hiệu: $\mathbb{Q}$

Biểu diễn trên trục số: Mỗi điểm biểu diễn số hữu tỉ đều nằm trên trục số

So sánh hai số hữu tỉ: $\frac{a}{b} \lessgtr \frac{c}{d} \Leftrightarrow ad \lessgtr bc \quad (\text{khi } bd > 0)$

1.2. Số thực

Số vô tỉ: Số không viết được dưới dạng phân số (ví dụ: $\sqrt{2}$, $\pi$)

Số thực: $\mathbb{R} = \mathbb{Q} \cup \lbrace \text{số vô tỉ} \rbrace$

Mọi số thực đều biểu diễn được trên trục số (lấp đầy trục số).

1.3. Tỉ lệ thức

Định nghĩa: $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ (với $b, d \neq 0$)

Tính chất cơ bản: $ad = bc$

Tính chất dãy tỉ số bằng nhau:

$\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{a + c}{b + d} = \frac{a - c}{b - d}$

1.4. Đại lượng tỉ lệ thuận và nghịch

Tỉ lệ thuận: $y = kx$ (k là hệ số tỉ lệ)

• Khi $x$ tăng, $y$ tăng (nếu $k > 0$)

Tỉ lệ nghịch: $xy = a$ hay $y = \frac{a}{x}$ (a là hằng số)

• Khi $x$ tăng, $y$ giảm

1.5. Biểu thức đại số

Biểu thức đại số: Biểu thức chứa các phép toán và biến (chữ cái đại diện cho số)

Ví dụ: $3x + 2y$, $x^2 - 4$, $\frac{a+b}{2}$

1.6. Đơn thức

Định nghĩa: Biểu thức chỉ gồm một số, một biến, hoặc tích của các số và biến.

Ví dụ đơn thức: $5$, $x$, $3xy$, $-2x^2y^3$

Các thành phần của đơn thức:

• Hệ số: Phần số (ví dụ: trong $-2x^2y^3$, hệ số là $-2$)
• Phần biến: Phần chứa biến (ví dụ: $x^2y^3$)
• Bậc: Tổng các số mũ của biến (ví dụ: bậc = $2+3 = 5$)

Đơn thức đồng dạng: Có phần biến giống nhau

1.7. Đa thức

Định nghĩa: Tổng của các đơn thức.

Ví dụ đa thức: $3x^2 + 2x - 5$, $x^2y - xy + 1$

Các thành phần:

• Hạng tử: Mỗi đơn thức trong đa thức
• Bậc của đa thức: Bậc cao nhất trong các hạng tử

Thu gọn đa thức: Cộng các đơn thức đồng dạng

Ví dụ: Thu gọn $3x^2 + 2x - x^2 + 5x - 1$ $= (3x^2 - x^2) + (2x + 5x) - 1 = 2x^2 + 7x - 1$

Cộng, trừ đa thức:

• Cộng: Viết liền các hạng tử rồi thu gọn
• Trừ: Đổi dấu đa thức trừ rồi cộng

Phần 2: Hình học

2.1. Hai đường thẳng song song

Định nghĩa: Hai đường thẳng không có điểm chung

Dấu hiệu nhận biết (qua đường thẳng cắt):

• Hai góc so le trong bằng nhau
• Hai góc đồng vị bằng nhau
• Hai góc trong cùng phía bù nhau

Hình minh họa:

Giải thích: Khi đường thẳng c cắt hai đường song song a và b, các cặp góc so le trong (1 và 4, 2 và 3) bằng nhau. Đây là dấu hiệu quan trọng để nhận biết hai đường thẳng song song.

2.2. Định lý Pytago

Trong tam giác vuông, bình phương cạnh huyền bằng tổng bình phương hai cạnh góc vuông:

$c^2 = a^2 + b^2$

Định lý đảo: Nếu $c^2 = a^2 + b^2$ thì tam giác vuông tại đỉnh đối diện cạnh $c$.

Hình minh họa định lý Pytago:

Giải thích: Trong tam giác vuông, diện tích hình vuông dựng trên cạnh huyền (c²) bằng tổng diện tích hai hình vuông dựng trên hai cạnh góc vuông (a² + b²). Đây là một trong những định lý quan trọng nhất của hình học.

2.3. Tam giác bằng nhau

Các trường hợp bằng nhau:

Cho tam giác vuông:

• Cạnh huyền - cạnh góc vuông
• Cạnh huyền - góc nhọn

Hình minh họa các trường hợp bằng nhau:

Giải thích: Màu đỏ, xanh lá, cam thể hiện các yếu tố bằng nhau. c.c.c: 3 cạnh tương ứng bằng nhau. c.g.c: 2 cạnh và góc xen giữa bằng nhau. g.c.g: 2 góc và cạnh xen giữa bằng nhau.

2.4. Các đường đặc biệt trong tam giác

Đường trung tuyến: Đoạn thẳng nối đỉnh với trung điểm cạnh đối diện.

Giải thích: Trong hình, AM là trung tuyến từ đỉnh A xuống cạnh BC. Điểm M là trung điểm của BC, nghĩa là BM = MC.

Tính chất quan trọng:

• Ba đường trung tuyến của một tam giác đồng quy tại một điểm gọi là trọng tâm G
• Trọng tâm G chia mỗi trung tuyến theo tỉ lệ 2:1 kể từ đỉnh: $AG = \frac{2}{3}AM$

Đường cao: Đoạn thẳng từ đỉnh vuông góc với cạnh đối diện (hoặc đường thẳng chứa cạnh đối diện).

Giải thích: AH là đường cao từ đỉnh A, với H là chân đường cao nằm trên BC. Ta có AH ⊥ BC (góc vuông được đánh dấu trong hình).

Tính chất quan trọng:

• Ba đường cao của một tam giác đồng quy tại một điểm gọi là trực tâm H
• Trực tâm có thể nằm trong (tam giác nhọn), trên (tam giác vuông), hoặc ngoài tam giác (tam giác tù)

Đường phân giác: Tia xuất phát từ đỉnh chia góc đó thành hai góc bằng nhau.

Giải thích: AD là đường phân giác từ đỉnh A, với góc BAD = góc DAC. Điểm D nằm trên cạnh BC.

Tính chất quan trọng:

• Ba đường phân giác đồng quy tại tâm đường tròn nội tiếp I
• Tâm I cách đều ba cạnh của tam giác

Phần 3: Thống kê

3.1. Biểu đồ hình quạt tròn

Công dụng: Thể hiện tỉ lệ phần trăm của các thành phần trong một tổng thể.

Cách tính góc quạt: $\text{Góc quạt} = \frac{\text{Tần số}}{\text{Tổng}} \times 360°$

Ví dụ: Kết quả học kỳ của lớp 7A (40 học sinh):

• Giỏi: 10 HS → $\frac{10}{40} \times 360° = 90°$ → 25%
• Khá: 20 HS → $\frac{20}{40} \times 360° = 180°$ → 50%
• TB: 8 HS → $\frac{8}{40} \times 360° = 72°$ → 20%
• Yếu: 2 HS → $\frac{2}{40} \times 360° = 18°$ → 5%

Phần 4: Hình khối trong thực tiễn

4.1. Hình hộp chữ nhật

Định nghĩa: Hình có 6 mặt là hình chữ nhật, các mặt đối song song và bằng nhau.

Giải thích: Hình hộp chữ nhật có 8 đỉnh, 12 cạnh (chia thành 3 nhóm song song), và 6 mặt (3 cặp mặt đối bằng nhau).

Các yếu tố:

• Đỉnh: 8 (A, B, C, D, E, F, G, H)
• Cạnh: 12 (3 nhóm cạnh song song)
• Mặt: 6 (3 cặp mặt đối)
• Đường chéo: 4 đường chéo bằng nhau

Công thức (với chiều dài $a$, chiều rộng $b$, chiều cao $c$):

4.2. Hình lập phương

Định nghĩa: Hình hộp chữ nhật có 6 mặt là hình vuông bằng nhau.

Giải thích: Hình lập phương là trường hợp đặc biệt của hình hộp chữ nhật với tất cả các cạnh bằng nhau (= a).

Công thức (với cạnh $a$):

Bài tập mẫu

Bài 1: Tỉ lệ thức

Tìm x biết: $\frac{x}{3} = \frac{12}{9}$

Lời giải:

Nhắc lại: Tỉ lệ thức $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ có tính chất cơ bản: $a \times d = b \times c$ (tích chéo bằng nhau).

Bước 1: Áp dụng tính chất cơ bản của tỉ lệ thức $x \times 9 = 3 \times 12$

Lý do: “Nhân chéo” vì nếu $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ thì $a \times d = b \times c$. Đây là cách giải phương trình chứa phân số.

Bước 2: Tính tích vế phải $9x = 36$

Bước 3: Chia cả hai vế cho 9 để tìm x $x = \frac{36}{9} = 4$

Kiểm tra: $\frac{4}{3} = \frac{12}{9}$? Rút gọn: $\frac{12}{9} = \frac{12 \div 3}{9 \div 3} = \frac{4}{3}$ ✓

Bài 2: Định lý Pytago

Tam giác vuông có hai cạnh góc vuông là 6cm và 8cm. Tính cạnh huyền.

Lời giải:

Bước 1: Xác định các cạnh trong tam giác vuông

• Hai cạnh góc vuông: $a = 6$cm, $b = 8$cm
• Cạnh huyền: $c = ?$ (cạnh đối diện góc vuông, lớn nhất)

Bước 2: Áp dụng định lý Pytago: $c^2 = a^2 + b^2$ $c^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$

Bước 3: Khai căn để tìm c $c = \sqrt{100} = 10 \text{ cm}$

Nhận xét: (6, 8, 10) là bộ ba Pytago (gấp đôi bộ ba cơ bản 3-4-5). Nếu nhận ra điều này, có thể tính ngay c = 10!

Bài 3: Đại lượng tỉ lệ thuận

Biết $y$ tỉ lệ thuận với $x$ và khi $x = 4$ thì $y = 12$. Tìm $y$ khi $x = 7$.

Lời giải:

Bước 1: Xác định hệ số tỉ lệ k từ công thức $y = kx$ $k = \frac{y}{x} = \frac{12}{4} = 3$

Giải thích: Hệ số k = 3 có nghĩa là y luôn gấp 3 lần x.

Bước 2: Dùng hệ số k để tìm y khi x = 7 $y = k \times x = 3 \times 7 = 21$

Kiểm tra: $\frac{y}{x} = \frac{21}{7} = 3$ = k ✓

Bài 4: Đơn thức

Cho đơn thức $A = -3x^2y^3$. Xác định hệ số và bậc của đơn thức.

Lời giải:

Nhắc lại: Đơn thức gồm 3 thành phần:

• Hệ số: Phần số (hằng số nhân với biến)
• Phần biến: Phần chứa các chữ (biến)
• Bậc: Tổng số mũ của TẤT CẢ biến

Bước 1: Xác định hệ số $\text{Hệ số} = -3$

Lý do: Hệ số là số đứng trước phần biến, bao gồm cả dấu âm.

Bước 2: Xác định phần biến $\text{Phần biến} = x^2y^3$

Bước 3: Tính bậc của đơn thức $\text{Bậc} = 2 + 3 = 5$

Lý do: Bậc = tổng số mũ của TẤT CẢ biến. Ở đây: $x$ có mũ 2, $y$ có mũ 3, nên bậc = $2 + 3 = 5$.

Lưu ý: Nếu đơn thức chỉ là một số (ví dụ: $-3$) thì bậc = 0.

Bài 5: Đa thức

Tính giá trị của đa thức $P(x) = 2x^2 - 3x + 1$ tại $x = 2$.

Lời giải:

Nhắc lại: Để tính giá trị đa thức, ta thay giá trị của biến vào rồi tính theo thứ tự phép tính.

Bước 1: Thay $x = 2$ vào đa thức $P(2) = 2 \times (2)^2 - 3 \times (2) + 1$

Bước 2: Tính lũy thừa trước $P(2) = 2 \times 4 - 3 \times 2 + 1$

Lý do: Thứ tự ưu tiên: Lũy thừa → Nhân/Chia → Cộng/Trừ.

Bước 3: Tính phép nhân $P(2) = 8 - 6 + 1$

Bước 4: Tính phép cộng/trừ từ trái sang phải $P(2) = (8 - 6) + 1 = 2 + 1 = 3$

Kiểm tra nhanh: Với $x = 2$: $2(4) - 3(2) + 1 = 8 - 6 + 1 = 3$ ✓

Mẹo nhớ thứ tự: “Lũy thừa → Nhân chia → Cộng trừ” (L-N-C: Làm Nhà CỮa!)

Bài 6: Biểu đồ quạt

Lớp 7A có 40 học sinh: 10 HS giỏi, 20 HS khá, 8 HS trung bình, 2 HS yếu. Tính góc quạt cho mỗi loại.

Lời giải:

Nhắc lại: Góc quạt = $\frac{\text{số lượng}}{\text{tổng số}} \times 360°$

Bước 1: Xác định tổng số học sinh $\text{Tổng} = 10 + 20 + 8 + 2 = 40 \text{ HS}$

Bước 2: Tính tỉ lệ và góc quạt cho từng loại

Lý do: Hình tròn có $360°$, nên góc quạt tỉ lệ với phần trăm của mỗi nhóm.

Bước 3: Kiểm tra tổng góc $90° + 180° + 72° + 18° = 360° \text{ ✓}$

Mẹo ước lượng: $\frac{1}{4} = 90°$ (góc vuông), $\frac{1}{2} = 180°$ (góc bẹt).

Bài 7: Hình lập phương

Hình lập phương có cạnh $a = 5$cm. Tính diện tích toàn phần và thể tích.

Lời giải:

Nhắc lại: Hình lập phương có 6 mặt vuông bằng nhau và 12 cạnh bằng nhau.

Bước 1: Tính diện tích một mặt $S_{\text{1 mặt}} = a^2 = 5^2 = 25 \text{ cm}^2$

Bước 2: Tính diện tích toàn phần $S_{tp} = 6 \times S_{\text{1 mặt}} = 6 \times 25 = 150 \text{ cm}^2$

Lý do: Hình lập phương có 6 mặt vuông bằng nhau, nên $S_{tp} = 6a^2$.

Bước 3: Tính thể tích $V = a^3 = 5^3 = 5 \times 5 \times 5 = 125 \text{ cm}^3$

Lý do: Thể tích = chiều dài × chiều rộng × chiều cao = $a \times a \times a = a^3$.

Liên hệ: $a^3$ đọc là “a lập phương” - đó là lý do gọi lũy thừa 3 là “lập phương”!

Tóm tắt

Công thức quan trọng

Key Points

• Số thập phân vô hạn tuần hoàn: Là số hữu tỉ
• Tỉ lệ thuận: $y = kx$ (k là hằng số)
• Tỉ lệ nghịch: $y = \frac{k}{x}$ (xy = k)
• Lưu ý: Góc kề bù có tổng bằng 180°