Chương 6: Hàm số Mũ và Hàm số Logarit

Mục tiêu học tập

Sau khi hoàn thành chương này, bạn sẽ:

• Nắm vững phép tính lũy thừa với số mũ thực
• Hiểu và áp dụng được phép tính logarit
• Vẽ và phân tích đồ thị hàm số mũ, hàm số logarit
• Giải được phương trình và bất phương trình mũ, logarit

Phần 1: Lũy thừa với số mũ thực

1.1. Lũy thừa với số mũ nguyên

Cho $n$ là số nguyên dương và $a$ là số thực tùy ý:

$a^n = \underbrace{a \cdot a \cdot a \cdots a}_{n \text{ thừa số}}$

Quy ước:

• $a^0 = 1$ (với $a \neq 0$)
• $a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}$ (với $a \neq 0$)

1.2. Lũy thừa với số mũ hữu tỉ

Cho $a > 0$ và $\dfrac{m}{n}$ là số hữu tỉ (với $n \in \mathbb{N}^*, m \in \mathbb{Z}$):

$a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m} = \left(\sqrt[n]{a}\right)^m$

Ví dụ:

• $8^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{8^2} = \sqrt[3]{64} = 4$
• $27^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{27} = 3$

1.3. Lũy thừa với số mũ thực

Cho $a > 0$ và $\alpha$ là số thực bất kỳ. Ta định nghĩa $a^\alpha$ thông qua giới hạn của dãy $a^{r_n}$ với $(r_n)$ là dãy số hữu tỉ hội tụ về $\alpha$.

1.4. Các tính chất của lũy thừa

Với $a, b > 0$ và $\alpha, \beta \in \mathbb{R}$:

Phần 2: Logarit

2.1. Định nghĩa logarit

Cho $a > 0, a \neq 1$ và $b > 0$. Số $\alpha$ thỏa mãn $a^\alpha = b$ được gọi là logarit cơ số $a$ của $b$, ký hiệu:

$\log_a b = \alpha \Leftrightarrow a^\alpha = b$

2.2. Các logarit đặc biệt

2.3. Các tính chất của logarit

Với $a > 0, a \neq 1$ và $b, c > 0$:

Phần 3: Hàm số Mũ và Hàm số Logarit

3.1. Hàm số mũ

Định nghĩa: Hàm số $y = a^x$ với $a > 0, a \neq 1$ là hàm số mũ.

Tính chất:

• Tập xác định: $D = \mathbb{R}$
• Tập giá trị: $(0, +\infty)$
• Đồng biến nếu $a > 1$, nghịch biến nếu $0 < a < 1$
• Luôn đi qua điểm $(0, 1)$

Đồ thị hàm số mũ:

Giải thích đồ thị:

• Đường $y = 2^x$ (xanh) đồng biến: tăng từ trái sang phải vì $a = 2 > 1$
• Đường $y = (1/2)^x$ (đỏ) nghịch biến: giảm từ trái sang phải vì $0 < a < 1$
• Cả hai đường đều đi qua điểm $(0, 1)$ và nằm phía trên trục Ox

3.2. Hàm số logarit

Định nghĩa: Hàm số $y = \log_a x$ với $a > 0, a \neq 1$ là hàm số logarit.

Tính chất:

• Tập xác định: $D = (0, +\infty)$
• Tập giá trị: $\mathbb{R}$
• Đồng biến nếu $a > 1$, nghịch biến nếu $0 < a < 1$
• Luôn đi qua điểm $(1, 0)$

Đồ thị hàm số logarit:

Giải thích đồ thị:

• Đường $y = \log_2 x$ (xanh) đồng biến vì $a = 2 > 1$
• Đường $y = \log_{0.5} x$ (đỏ) nghịch biến vì $0 < a < 1$
• Cả hai đường đều đi qua điểm $(1, 0)$ và nằm bên phải trục Oy

Phần 4: Phương trình và Bất phương trình Mũ - Logarit

4.1. Phương trình mũ cơ bản

$a^{f(x)} = b \Leftrightarrow f(x) = \log_a b$ (với $a > 0, a \neq 1, b > 0$)

Ví dụ: Giải phương trình $2^x = 8$

$2^x = 8 = 2^3 \Rightarrow x = 3$

4.2. Phương trình logarit cơ bản

$\log_a f(x) = b \Leftrightarrow f(x) = a^b$ (với $f(x) > 0$)

Ví dụ: Giải phương trình $\log_2 x = 3$

$\log_2 x = 3 \Rightarrow x = 2^3 = 8$

4.3. Bất phương trình mũ

• Nếu $a > 1$: $a^{f(x)} > a^{g(x)} \Leftrightarrow f(x) > g(x)$
• Nếu $0 < a < 1$: $a^{f(x)} > a^{g(x)} \Leftrightarrow f(x) < g(x)$ (đổi chiều)

4.4. Bất phương trình logarit

• Nếu $a > 1$: $\log_a f(x) > \log_a g(x) \Leftrightarrow f(x) > g(x) > 0$
• Nếu $0 < a < 1$: $\log_a f(x) > \log_a g(x) \Leftrightarrow 0 < f(x) < g(x)$ (đổi chiều)

Phần 5: Ứng dụng thực tế

5.1. Tăng trưởng và suy giảm theo cấp số nhân

$P(t) = P_0 \cdot a^t$

• $P_0$: giá trị ban đầu
• $a > 1$: tăng trưởng; $0 < a < 1$: suy giảm
• $t$: thời gian

Ứng dụng: Lãi kép, tăng trưởng dân số, phân rã phóng xạ.

5.2. Định tuổi bằng Carbon-14

Trong mẫu sinh vật đã chết $T$ năm, tỉ số $R$ của carbon phóng xạ còn lại:

$R = A \cdot 2^{-\frac{T}{8033}}$

Trong đó $A$ là tỉ số ban đầu, 8033 năm là chu kỳ bán rã.

Bài tập mẫu có lời giải

Bài 1: Rút gọn biểu thức lũy thừa

Đề bài: Rút gọn $P = \dfrac{a^{\sqrt{5}+1} \cdot a^{7-\sqrt{5}}}{(a^{3-\sqrt{2}})^{3+\sqrt{2}}}$ với $a > 0$.

Lời giải:

Nhắc lại: $a^\alpha \cdot a^\beta = a^{\alpha+\beta}$ và $(a^\alpha)^\beta = a^{\alpha\beta}$

Bước 1: Rút gọn tử số (cùng cơ số → cộng số mũ) $\text{Tử} = a^{(\sqrt{5}+1) + (7-\sqrt{5})} = a^{8}$

Bước 2: Rút gọn mẫu (lũy thừa của lũy thừa → nhân số mũ) $\text{Mẫu} = a^{(3-\sqrt{2})(3+\sqrt{2})} = a^{9-2} = a^{7}$

Lý do: $(3-\sqrt{2})(3+\sqrt{2})$ là hiệu hai bình phương: $3^2 - (\sqrt{2})^2 = 7$.

Bước 3: Chia (cùng cơ số → trừ số mũ) $P = \frac{a^8}{a^7} = a^{8-7} = a$

Kiểm tra: Thử $a = 2$: $P = \frac{2^8}{2^7} = \frac{256}{128} = 2 = a$ ✓

Bài 2: Tính logarit bằng đổi cơ số

Đề bài: Tính $\log_4 3$ theo $\log_2 3$.

Lời giải:

Nhắc lại: Công thức đổi cơ số: $\log_a b = \dfrac{\log_c b}{\log_c a}$

Bước 1: Áp dụng đổi cơ số (chọn cơ số 2) $\log_4 3 = \frac{\log_2 3}{\log_2 4}$

Bước 2: Tính $\log_2 4 = \log_2 2^2 = 2$ $\log_4 3 = \frac{\log_2 3}{2}$

Kiểm tra: $\log_4 3 \approx \frac{1.585}{2} \approx 0.793$. Kiểm lại: $4^{0.793} \approx 3$ ✓

Bài 3: Giải phương trình mũ

Đề bài: Giải phương trình $3^{2x-1} = 27$

Lời giải:

Nhắc lại: $a^{f(x)} = a^b \Leftrightarrow f(x) = b$ (khi $a > 0, a \neq 1$)

Bước 1: Đưa về cùng cơ số $3^{2x-1} = 27 = 3^3$

Lý do: Khi hai vế cùng cơ số, ta đồng nhất số mũ.

Bước 2: Đồng nhất số mũ $2x - 1 = 3 \Rightarrow x = 2$

Kiểm tra: $3^{2(2)-1} = 3^3 = 27$ ✓

Bài 4: Giải phương trình logarit

Đề bài: Giải phương trình $\log_2(x-1) + \log_2(x+1) = 3$

Lời giải:

Nhắc lại: $\log_a m + \log_a n = \log_a(mn)$ và điều kiện: số trong log phải > 0.

Bước 1: Tìm điều kiện xác định $x - 1 > 0 \text{ và } x + 1 > 0 \Rightarrow x > 1$

Bước 2: Gộp logarit (tích) $\log_2[(x-1)(x+1)] = 3$ $\log_2(x^2 - 1) = 3$

Bước 3: Chuyển sang dạng mũ $x^2 - 1 = 2^3 = 8$ $x^2 = 9 \Rightarrow x = \pm 3$

Bước 4: Kiểm tra điều kiện

• $x = 3 > 1$: thỏa mãn ✓
• $x = -3 < 1$: loại ✗

Kiểm tra: $\log_2(3-1) + \log_2(3+1) = \log_2 2 + \log_2 4 = 1 + 2 = 3$ ✓

Bài tập tự luyện

Bài 1

Rút gọn: $A = \dfrac{a^{2\sqrt{3}} \cdot a^{3-\sqrt{3}}}{a^{\sqrt{3}+1}}$ với $a > 0$.

Bài 2

Giải phương trình: $2^{x+1} + 2^{x-1} = 5$

Bài 3

Giải phương trình: $\log_3(2x+1) = 2$

Tóm tắt công thức