Chương 4: Nguyên hàm và Tích phân

Mục tiêu học tập

Sau khi hoàn thành chương này, bạn sẽ:

• Hiểu khái niệm nguyên hàm và tích phân
• Thành thạo các phương pháp tính tích phân
• Áp dụng tích phân tính diện tích và thể tích

Phần 1: Nguyên hàm

1.1. Định nghĩa

$F(x)$ là nguyên hàm của $f(x)$ trên khoảng $(a, b)$ nếu:

$F'(x) = f(x), \quad \forall x \in (a, b)$

Ký hiệu: $\int f(x) dx = F(x) + C$

Trong đó $C$ là hằng số tích phân.

1.2. Bảng nguyên hàm cơ bản

1.3. Tính chất của nguyên hàm

$\int [f(x) \pm g(x)] dx = \int f(x) dx \pm \int g(x) dx$

$\int k \cdot f(x) dx = k \int f(x) dx$

1.4. Nguyên hàm của hàm hợp

$\int f(u) \cdot u' dx = F(u) + C$

Các công thức thường dùng:

Phần 2: Tích phân xác định

2.1. Định nghĩa

Cho $f$ liên tục trên $[a, b]$ và $F$ là nguyên hàm của $f$.

Tích phân xác định của $f$ từ $a$ đến $b$:

$\int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a) = F(x) \Big|_a^b$

2.2. Tính chất

$\int_a^a f(x) dx = 0$

$\int_a^b f(x) dx = -\int_b^a f(x) dx$

$\int_a^b f(x) dx = \int_a^c f(x) dx + \int_c^b f(x) dx$

$\int_a^b [f(x) \pm g(x)] dx = \int_a^b f(x) dx \pm \int_a^b g(x) dx$

$\int_a^b k \cdot f(x) dx = k \int_a^b f(x) dx$

2.3. Ý nghĩa hình học

Nếu $f(x) \geq 0$ trên $[a, b]$, thì $\int_a^b f(x) dx$ bằng diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị $y = f(x)$, trục $Ox$ và hai đường thẳng $x = a$, $x = b$.

Minh họa tương tác diện tích dưới đường cong:

2.4. Ý nghĩa vật lý

2.5. Định lý cơ bản của Giải tích (Fundamental Theorem of Calculus)

Hình minh họa diện tích dưới đường cong:

Giải thích: Tích phân xác định ∫ₐᵇ f(x)dx biểu diễn diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị y = f(x), trục Ox, và hai đường thẳng x = a, x = b. Nếu f(x) < 0 thì diện tích được tính bằng giá trị tuyệt đối của tích phân.

Phần 3: Các phương pháp tính tích phân

3.1. Phương pháp đổi biến số

$\int_a^b f(u(x)) \cdot u'(x) dx = \int_{u(a)}^{u(b)} f(u) du$

Quy trình:

1. Đặt $u = u(x)$
2. Tính $du = u'(x) dx$
3. Đổi cận: $x = a \to u = u(a)$, $x = b \to u = u(b)$
4. Tính tích phân mới

3.2. Phương pháp tích phân từng phần

$\int_a^b u \cdot v' dx = u \cdot v \Big|_a^b - \int_a^b u' \cdot v dx$

Quy tắc LIATE (chọn $u$ theo thứ tự ưu tiên):

• Logarit: $\ln x$, $\log x$
• Inverse trig: $\arcsin x$, $\arctan x$
• Algebraic: $x$, $x^2$, …
• Trig: $\sin x$, $\cos x$
• Exponential: $e^x$, $a^x$

Phần 4: Ứng dụng tích phân

4.1. Diện tích hình phẳng

Diện tích giữa đồ thị và trục hoành:

$S = \int_a^b |f(x)| dx$

Diện tích giữa hai đồ thị:

$S = \int_a^b |f(x) - g(x)| dx$

4.2. Thể tích khối tròn xoay

Quay quanh trục $Ox$:

$V = \pi \int_a^b [f(x)]^2 dx$

Quay quanh trục $Oy$:

$V = \pi \int_c^d [g(y)]^2 dy$

Bài tập mẫu có lời giải

Bài 1: Tính nguyên hàm

Đề bài: Tính $\int (3x^2 - 2x + 1) dx$

Lời giải:

Nhắc lại: $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ với $n \neq -1$

Bước 1: Tách thành tổng các nguyên hàm $\int (3x^2 - 2x + 1) dx = 3\int x^2 dx - 2\int x dx + \int 1 dx$

Lý do: Nguyên hàm của tổng bằng tổng các nguyên hàm.

Bước 2: Áp dụng công thức $= 3 \cdot \frac{x^3}{3} - 2 \cdot \frac{x^2}{2} + x + C$

Bước 3: Rút gọn $= x^3 - x^2 + x + C$

Kiểm tra: $(x^3 - x^2 + x + C)' = 3x^2 - 2x + 1$ ✓

Bài 2: Tích phân xác định

Đề bài: Tính $\int_0^2 (x^2 + 1) dx$

Lời giải:

Nhắc lại: $\int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)$ (Công thức Newton-Leibniz)

Bước 1: Tìm nguyên hàm $F(x) = \frac{x^3}{3} + x$

Bước 2: Áp dụng công thức Newton-Leibniz $\int_0^2 (x^2 + 1) dx = \left(\frac{x^3}{3} + x\right) \Big|_0^2$

Lý do: Tích phân xác định = giá trị nguyên hàm tại cận trên trừ cận dưới.

Bước 3: Tính giá trị $= \left(\frac{8}{3} + 2\right) - \left(0 + 0\right) = \frac{8}{3} + 2 = \frac{14}{3}$

Bài 3: Đổi biến số

Đề bài: Tính $\int_0^1 x e^{x^2} dx$

Lời giải:

Phương pháp: Đổi biến $u = x^2$ khi thấy $x \cdot f(x^2)$

Bước 1: Đặt ẩn phụ $u = x^2 \Rightarrow du = 2x dx \Rightarrow x dx = \frac{1}{2} du$

Lý do: Ta nhận thấy $x dx$ là vi phân của $\frac{x^2}{2}$, nên đặt $u = x^2$.

Bước 2: Đổi cận $x = 0 \to u = 0$; $x = 1 \to u = 1$

Bước 3: Thay vào và tính $\int_0^1 x e^{x^2} dx = \frac{1}{2} \int_0^1 e^u du = \frac{1}{2} e^u \Big|_0^1 = \frac{1}{2}(e - 1)$

Bài 4: Tích phân từng phần

Đề bài: Tính $\int_0^1 x e^x dx$

Lời giải:

Nhắc lại: $\int u dv = uv - \int v du$ (Công thức từng phần)

Bước 1: Chọn u và dv $u = x \Rightarrow du = dx$ $dv = e^x dx \Rightarrow v = e^x$

Lý do: Chọn $u$ là đa thức (đạo hàm đơn giản hơn), $dv$ chứa $e^x$ (nguyên hàm giữ nguyên).

Bước 2: Áp dụng công thức từng phần $\int_0^1 x e^x dx = x \cdot e^x \Big|_0^1 - \int_0^1 e^x dx$

Bước 3: Tính từng phần $= (1 \cdot e^1 - 0 \cdot e^0) - e^x \Big|_0^1$ $= e - (e - 1) = 1$

Kiểm tra: Kết quả là số nguyên, hợp lý cho tích phân $xe^x$ ✓

Bài 5: Tính diện tích

Đề bài: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol $y = x^2$ và đường thẳng $y = 2x$.

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Tìm giao điểm

$x^2 = 2x \Rightarrow x(x - 2) = 0 \Rightarrow x = 0$ hoặc $x = 2$

Bước 2: Xét dấu $f(x) - g(x) = 2x - x^2$

Trên $[0, 2]$: $2x - x^2 = x(2 - x) \geq 0$ (đường thẳng nằm trên parabol)

Bước 3: Tính diện tích

$S = \int_0^2 (2x - x^2) dx = \left(x^2 - \frac{x^3}{3}\right) \Big|_0^2$

$= 4 - \frac{8}{3} = \frac{4}{3}$

Bài 6: Thể tích khối tròn xoay

Đề bài: Tính thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi $y = \sqrt{x}$, $x = 4$ và trục $Ox$ quanh trục $Ox$.

Lời giải:

$V = \pi \int_0^4 (\sqrt{x})^2 dx = \pi \int_0^4 x dx$

$= \pi \cdot \frac{x^2}{2} \Big|_0^4 = \pi \cdot \frac{16}{2} = 8\pi$

Bài tập tự luyện

Bài 1

Tính nguyên hàm:

a) $\int \frac{x^2 + 1}{x} dx$

b) $\int \sin^2 x dx$

c) $\int \frac{1}{x \ln x} dx$

Bài 2

Tính tích phân:

a) $\int_1^e \frac{1}{x} dx$

b) $\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin x \cos x dx$

c) $\int_0^1 \frac{x}{x^2 + 1} dx$

Bài 3

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi:

a) $y = x^2$ và $y = x$

b) $y = x^3$ và $y = x$

Bài 4

Tính thể tích khối tròn xoay khi quay:

a) Hình phẳng giới hạn bởi $y = x$, $x = 1$, $Ox$ quanh $Ox$

b) Hình phẳng giới hạn bởi $y = \sin x$, $x = 0$, $x = \pi$, $Ox$ quanh $Ox$

Tóm tắt

Công thức quan trọng

Công thức tích phân

Key Points

• Newton-Leibniz: $\int_a^b f(x)dx = F(b) - F(a)$
• Đổi biến: $\int f(u) \cdot u' dx = \int f(u) du$
• Lưu ý: Luôn thêm hằng số $+C$ khi tính nguyên hàm