Bổ sung: Khối đa diện

Mục tiêu học tập

Sau khi hoàn thành chương này, bạn sẽ:

• Hiểu khái niệm và phân loại khối đa diện
• Tính thể tích, diện tích các hình chóp và lăng trụ
• Áp dụng vào bài toán thực tế

Phần 1: Khái niệm khối đa diện

1.1. Định nghĩa

Khối đa diện là phần không gian được giới hạn bởi một số hữu hạn các đa giác phẳng.

Các yếu tố:

• Mặt: Các đa giác
• Cạnh: Các cạnh chung của hai mặt
• Đỉnh: Các đỉnh chung của các mặt

1.2. Khối đa diện lồi

Khối đa diện lồi nếu đoạn thẳng nối hai điểm bất kỳ trong khối đều nằm trong khối.

5 khối đa diện đều:

Minh họa tương tác các khối đa diện đều:

Phần 2: Khối chóp

2.1. Định nghĩa

Khối chóp có:

• Một mặt là đa giác (đáy)
• Các mặt còn lại là tam giác có chung đỉnh (đỉnh của chóp)

Ký hiệu: $S.A_1A_2...A_n$ với $S$ là đỉnh, $A_1A_2...A_n$ là đáy.

2.2. Khối chóp đều

Khối chóp đều có:

• Đáy là đa giác đều
• Chân đường cao trùng với tâm đáy

Tính chất:

• Các cạnh bên bằng nhau
• Các mặt bên là tam giác cân bằng nhau

2.3. Thể tích khối chóp

$V = \frac{1}{3} S_{đáy} \cdot h$

Trong đó $h$ là chiều cao (khoảng cách từ đỉnh đến mặt đáy).

Hình minh họa hình chóp và lăng trụ:

Giải thích: Hình chóp có thể tích bằng 1/3 lăng trụ có cùng đáy và chiều cao. Đây là công thức quan trọng để tính thể tích các khối không gian.

2.4. Các công thức bổ sung

Tứ diện đều cạnh $a$:

• Chiều cao: $h = a\sqrt{\frac{2}{3}}$
• Thể tích: $V = \frac{a^3\sqrt{2}}{12}$

Phần 3: Khối lăng trụ

3.1. Định nghĩa

Khối lăng trụ có:

• Hai mặt đáy là hai đa giác bằng nhau và song song
• Các mặt bên là hình bình hành

3.2. Lăng trụ đứng

Lăng trụ đứng có các cạnh bên vuông góc với mặt đáy.

Lăng trụ đều: Lăng trụ đứng có đáy là đa giác đều.

3.3. Thể tích khối lăng trụ

$V = S_{đáy} \cdot h$

Trong đó $h$ là chiều cao (khoảng cách giữa hai mặt đáy).

Với lăng trụ đứng: $h$ = cạnh bên.

Phần 4: Hình hộp và Hình lập phương

4.1. Hình hộp

Hình hộp là lăng trụ có đáy là hình bình hành.

Hình hộp chữ nhật: Có 6 mặt đều là hình chữ nhật.

Tính chất hình hộp:

• Các mặt đối song song và bằng nhau
• Các đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường

4.2. Thể tích hình hộp chữ nhật

Hình hộp chữ nhật có 3 kích thước $a$, $b$, $c$:

$V = abc$

Đường chéo chính: $d = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$

4.3. Hình lập phương

Hình lập phương cạnh $a$:

$V = a^3$

$S_{toàn phần} = 6a^2$

$\text{Đường chéo} = a\sqrt{3}$

Phần 5: Diện tích xung quanh

5.1. Diện tích xung quanh hình chóp

$S_{xq} = \frac{1}{2} \cdot p \cdot l$

Trong đó:

• $p$ là chu vi đáy
• $l$ là trung đoạn (apothem) của mặt bên (với chóp đều)

5.2. Diện tích xung quanh lăng trụ đứng

$S_{xq} = p \cdot h$

Trong đó:

• $p$ là chu vi đáy
• $h$ là chiều cao

Bài tập mẫu có lời giải

Bài 1: Thể tích hình chóp

Đề bài: Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh $a$, cạnh bên $SA = a\sqrt{2}$. Tính thể tích khối chóp.

Lời giải:

Nhắc lại: $V_{chóp} = \frac{1}{3} S_{đáy} \cdot h$

Bước 1: Xác định chiều cao Gọi $O$ là tâm hình vuông $ABCD$. Vì chóp đều nên $SO \perp (ABCD)$.

Lý do: Hình chóp đều có chân đường cao trùng với tâm đáy.

$AO = \frac{AC}{2} = \frac{a\sqrt{2}}{2}$

Bước 2: Tính chiều cao bằng Pytago Trong tam giác vuông $SAO$: $SO = \sqrt{SA^2 - AO^2} = \sqrt{2a^2 - \frac{a^2}{2}} = \sqrt{\frac{3a^2}{2}} = a\sqrt{\frac{3}{2}}$

Bước 3: Tính thể tích $V = \frac{1}{3} S_{ABCD} \cdot SO = \frac{1}{3} \cdot a^2 \cdot a\sqrt{\frac{3}{2}} = \frac{a^3\sqrt{6}}{6}$

Bài 2: Thể tích lăng trụ

Đề bài: Cho lăng trụ đứng $ABC.A'B'C'$ có đáy là tam giác vuông tại $A$ với $AB = 3$cm, $AC = 4$cm, chiều cao $h = 5$cm. Tính thể tích.

Lời giải:

Nhắc lại: $V_{lăng trụ} = S_{đáy} \cdot h$

Bước 1: Tính diện tích đáy $S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 4 = 6$ cm²

Lý do: Tam giác vuông có diện tích = $\frac{1}{2}$ tích hai cạnh góc vuông.

Bước 2: Tính thể tích $V = S_{ABC} \cdot h = 6 \cdot 5 = 30$ cm³

Kiểm tra: Đơn vị đúng: cm² $\times$ cm = cm³ ✓

Bài 3: Hình lập phương

Đề bài: Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ cạnh $a$. Tính: a) Thể tích khối chóp $A.BCD'$ b) Khoảng cách từ $A$ đến mặt phẳng $(BCD')$

Lời giải:

Nhắc lại: Trong lập phương, có thể tính thể tích chóp bằng cách trừ.

a) Tính thể tích:

Bước 1: Xác định khối chóp Khối chóp $A.BCD'$ có đáy $BCD'$ (tam giác), đỉnh $A$.

Bước 2: Dùng phương pháp bù

Lý do: Lập phương có thể chia thành 6 khối chóp bằng nhau có đáy là mặt và đỉnh là tâm.

$V_{A.BCD'} = \frac{1}{6} V_{lập phương} = \frac{a^3}{6}$

b) Tính khoảng cách:

Bước 1: Tính diện tích đáy $BCD'$ $\vec{BC} = (a, 0, 0)$, $\vec{BD'} = (0, a, a)$

$\vec{BC} \times \vec{BD'} = (0, -a^2, a^2)$

$S_{BCD'} = \frac{1}{2}\sqrt{a^4 + a^4} = \frac{a^2\sqrt{2}}{2}$

Bước 2: Tính khoảng cách từ $V = \frac{1}{3} S \cdot h$

Lý do: Biết thể tích và diện tích đáy, suy ra chiều cao.

$h = \frac{3V}{S_{BCD'}} = \frac{3 \cdot \frac{a^3}{6}}{\frac{a^2\sqrt{2}}{2}} = \frac{\frac{a^3}{2}}{\frac{a^2\sqrt{2}}{2}} = \frac{a}{\sqrt{2}} = \frac{a\sqrt{2}}{2}$

Bài tập tự luyện

Bài 1

Cho hình chóp tam giác đều $S.ABC$ có cạnh đáy $a$, cạnh bên $2a$. Tính:

a) Chiều cao của hình chóp

b) Thể tích khối chóp

Bài 2

Cho lăng trụ đứng $ABC.A'B'C'$ có đáy là tam giác đều cạnh $a$, chiều cao $h = 2a$. Tính:

a) Thể tích khối lăng trụ

b) Diện tích toàn phần

Bài 3

Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A'B'C'D'$ với $AB = 3$, $AD = 4$, $AA' = 5$. Tính:

a) Đường chéo $AC'$

b) Thể tích khối chóp $A.BC'D$

Bài 4

Một cái lều trại có dạng hình chóp tứ giác đều với đáy là hình vuông cạnh 4m và chiều cao 3m. Tính thể tích không khí bên trong lều.

Tóm tắt

Công thức quan trọng

Key Points

• Khối chóp đều: Mặt bên là tam giác cân
• Khối lăng trụ đều: Các mặt bên là hình chữ nhật
• Lưu ý: $h$ là chiều cao vuông góc, không phải cạnh bên