Chương 6: Thống kê

Mục tiêu học tập

Sau khi hoàn thành chương này, bạn sẽ:

• Hiểu các khái niệm cơ bản về thống kê
• Tính toán các đại lượng đặc trưng: trung bình, phương sai, độ lệch chuẩn
• Biết cách đọc và lập bảng tần số, biểu đồ

Phần 1: Các khái niệm cơ bản

1.1. Dữ liệu thống kê

Dữ liệu (data) là tập hợp các con số, sự kiện được thu thập từ quan sát hoặc đo đạc.

Tần số (frequency): Số lần xuất hiện của một giá trị trong mẫu dữ liệu.

Tần suất (relative frequency): Tỉ lệ phần trăm của tần số so với tổng số dữ liệu.

$\text{Tần suất} = \frac{\text{Tần số}}{\text{Tổng số dữ liệu}} \times 100\%$

1.2. Bảng phân bố tần số

Bảng phân bố tần số được lập như sau:

Phần 2: Các số đặc trưng của mẫu số liệu

2.1. Số trung bình cộng (Mean)

Định nghĩa: Trung bình cộng của mẫu số liệu là:

$\bar{x} = \frac{x_1 + x_2 + ... + x_n}{n} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i$

Với bảng tần số:

$\bar{x} = \frac{n_1 x_1 + n_2 x_2 + ... + n_k x_k}{n} = \frac{\sum_{i=1}^{k} n_i x_i}{n}$

2.2. Trung vị (Median)

Định nghĩa: Trung vị $M_e$ là giá trị ở vị trí chính giữa khi sắp xếp dữ liệu theo thứ tự tăng dần.

Cách tính:

• Nếu $n$ lẻ: $M_e = x_{(n+1)/2}$
• Nếu $n$ chẵn: $M_e = \frac{x_{n/2} + x_{n/2+1}}{2}$

2.3. Mốt (Mode)

Định nghĩa: Mốt $M_o$ là giá trị xuất hiện nhiều lần nhất trong mẫu số liệu.

2.4. Phương sai (Variance)

Định nghĩa: Phương sai $s^2$ đo mức độ phân tán của dữ liệu quanh giá trị trung bình:

$s^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2$

Với bảng tần số:

$s^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{k} n_i (x_i - \bar{x})^2$

Công thức tính nhanh:

$s^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i^2 - \bar{x}^2 = \overline{x^2} - \bar{x}^2$

2.5. Độ lệch chuẩn (Standard Deviation)

Định nghĩa: Độ lệch chuẩn $s$ là căn bậc hai của phương sai:

$s = \sqrt{s^2}$

Phần 3: Biểu đồ thống kê

3.1. Biểu đồ cột (Bar chart)

Dùng để so sánh các giá trị rời rạc. Chiều cao cột tỉ lệ với tần số/tần suất.

3.2. Biểu đồ tần suất hình quạt (Pie chart)

Dùng để thể hiện tỉ lệ phần trăm. Góc của mỗi phần tỉ lệ với tần suất.

$\text{Góc phần } i = f_i \times 360°$

3.3. Đường gấp khúc tần số

Biểu diễn sự biến đổi của tần số theo giá trị dữ liệu.

Hình minh họa biểu đồ cột tần số:

Giải thích: Biểu đồ cột thể hiện trực quan tần số của mỗi giá trị. Chiều cao cột tỉ lệ với số lần xuất hiện. Đây là công cụ quan trọng để visualize phân phối dữ liệu.

Hình minh họa phân phối chuẩn:

Giải thích: Phân phối chuẩn (hình chuông) có tính chất: 68.27% dữ liệu nằm trong khoảng μ ± σ, 95.45% trong μ ± 2σ, và 99.73% trong μ ± 3σ.

Bài tập mẫu có lời giải

Bài 1: Lập bảng phân bố tần số

Đề bài: Điểm thi của 30 học sinh như sau:

5, 7, 8, 6, 9, 7, 8, 5, 6, 7, 8, 9, 6, 7, 8, 5, 6, 7, 8, 9, 6, 7, 5, 8, 7, 6, 8, 9, 7, 8

Lập bảng phân bố tần số, tần suất.

Lời giải chi tiết:

Nhắc lại:

• Tần số ($n_i$): Số lần xuất hiện của giá trị
• Tần suất ($f_i$): $f_i = \frac{n_i}{n} \times 100\%$

Bước 1: Đếm tần số mỗi điểm

Lý do: Đếm từng giá trị trong dữ liệu, ghi vạch (tally marks) để dễ theo dõi.

Bước 2: Tính tần suất

$f_i = \frac{n_i}{30} \times 100\%$

Bước 3: Lập bảng hoàn chỉnh

Kiểm tra: Tổng tần số = $4+6+8+8+4 = 30$ ✓. Tổng tần suất = 100% ✓

Bài 2: Tính các đại lượng đặc trưng

Đề bài: Với dữ liệu ở Bài 1, tính:

a) Số trung bình cộng

b) Trung vị

c) Mốt

d) Phương sai và độ lệch chuẩn

Lời giải chi tiết:

Nhắc lại công thức:

• Trung bình: $\bar{x} = \frac{\sum n_i x_i}{n}$
• Phương sai: $s^2 = \overline{x^2} - \bar{x}^2$

a) Số trung bình:

Bước 1: Tính tổng $\sum n_i x_i$ $\sum n_i x_i = 4 \cdot 5 + 6 \cdot 6 + 8 \cdot 7 + 8 \cdot 8 + 4 \cdot 9$ $= 20 + 36 + 56 + 64 + 36 = 212$

Bước 2: Chia cho tổng số $\bar{x} = \frac{212}{30} \approx 7.07$

Lý do: Trung bình = tổng tất cả giá trị / số lượng.

b) Trung vị:

Bước 1: Xác định vị trí trung vị

• $n = 30$ (chẵn), nên $M_e = \frac{x_{15} + x_{16}}{2}$

Bước 2: Đếm vị trí tích lũy

Lý do: Vị trí 15 và 16 đều nằm trong khoảng 11-18 (tần số tích lũy: 4+6+8=18).

$M_e = \frac{7 + 7}{2} = 7$

c) Mốt:

Giá trị xuất hiện nhiều nhất: 7 và 8 (đều 8 lần)

$M_o = 7 \text{ và } M_o = 8$ (mẫu có 2 mốt - bimodal)

d) Phương sai:

Bước 1: Tính $\overline{x^2}$ $\overline{x^2} = \frac{4 \cdot 25 + 6 \cdot 36 + 8 \cdot 49 + 8 \cdot 64 + 4 \cdot 81}{30}$ $= \frac{100 + 216 + 392 + 512 + 324}{30} = \frac{1544}{30} \approx 51.47$

Bước 2: Áp dụng công thức $s^2 = \overline{x^2} - \bar{x}^2 = 51.47 - (7.07)^2 = 51.47 - 49.98 = 1.49$

Lý do: Công thức tính nhanh: $s^2 = E(X^2) - [E(X)]^2$.

Độ lệch chuẩn: $s = \sqrt{1.49} \approx 1.22$

Ý nghĩa: Đa số điểm nằm trong khoảng $\bar{x} \pm s = 7.07 \pm 1.22 = [5.85, 8.29]$.

Bài 3: Bài toán về dữ liệu ghép lớp

Đề bài: Khối lượng (kg) của 40 bao gạo được phân vào các lớp:

Tìm số trung bình.

Lời giải chi tiết:

Nhắc lại: Với dữ liệu ghép lớp, dùng giá trị đại diện = trung điểm của mỗi lớp.

Bước 1: Tính giá trị đại diện của mỗi lớp

Lý do: Dùng trung điểm vì các giá trị trong lớp được giả sử phân bố đều.

Bước 2: Tính tổng $\sum n_i x_i$ $\sum n_i x_i = 5 \cdot 49 + 10 \cdot 51 + 15 \cdot 53 + 8 \cdot 55 + 2 \cdot 57$ $= 245 + 510 + 795 + 440 + 114 = 2104$

Bước 3: Tính trung bình $\bar{x} = \frac{2104}{40} = 52.6 \text{ kg}$

Kiểm tra ước lượng: Trung bình nằm trong lớp [52, 54) có tần số cao nhất (15) ✓

Bài tập tự luyện

Bài 1

Điểm kiểm tra của 20 học sinh: 4, 5, 6, 7, 8, 5, 6, 7, 8, 9, 6, 7, 7, 8, 8, 9, 5, 6, 7, 8

a) Lập bảng phân bố tần số, tần suất

b) Tính số trung bình, trung vị, mốt

c) Vẽ biểu đồ cột tần số

Bài 2

Số sản phẩm mỗi ngày của công nhân trong 30 ngày:

a) Tính năng suất trung bình

b) Tính phương sai và độ lệch chuẩn

Bài 3

Cho dữ liệu có số trung bình là 50 và phương sai là 16.

a) Tính độ lệch chuẩn

b) Nếu tăng mỗi giá trị trong mẫu thêm 5, số trung bình và phương sai mới là bao nhiêu?

c) Nếu nhân mỗi giá trị trong mẫu với 2, số trung bình và phương sai mới là bao nhiêu?

Tóm tắt

Công thức quan trọng

Key Points

• Số trung bình: Tổng chia số lượng
• Phương sai: Đo độ phân tán quanh trung bình
• Độ lệch chuẩn: Căn bậc 2 của phương sai
• Lưu ý: Trung vị ≠ Trung bình (khác nhau khi có outliers)