Lớp 6 - Tóm Tắt Kiến Thức

Phần 1: Số học

1.1. Số tự nhiên

Tập hợp số tự nhiên: $\mathbb{N} = \lbrace 0, 1, 2, 3, ... \rbrace$

Các phép tính cơ bản:

• Cộng: $a + b$
• Trừ: $a - b$ (với $a \geq b$)
• Nhân: $a \times b$
• Chia: $a \div b$ (với $b \neq 0$)

Lũy thừa với số mũ tự nhiên:

$a^n = \underbrace{a \times a \times ... \times a}_{n \text{ thừa số}}$

Tính chất của lũy thừa:

• $a^m \times a^n = a^{m+n}$
• $a^m \div a^n = a^{m-n}$ (với $m \geq n$)
• $(a^m)^n = a^{m \times n}$
• $(a \times b)^n = a^n \times b^n$

1.2. Số nguyên

Tập hợp số nguyên: $\mathbb{Z} = \lbrace ..., -2, -1, 0, 1, 2, ... \rbrace$

Quy tắc dấu khi nhân/chia:

Giá trị tuyệt đối:

• Nếu $a \geq 0$ thì $|a| = a$
• Nếu $a < 0$ thì $|a| = -a$

1.3. Phân số

Định nghĩa: $\frac{a}{b}$ với $a, b \in \mathbb{Z}$, $b \neq 0$

Tính chất cơ bản: $\frac{a}{b} = \frac{a \times m}{b \times m} = \frac{a \div n}{b \div n}$

Các phép tính:

1.4. Số thập phân

Chuyển đổi:

• Phân số → Thập phân: Chia tử cho mẫu
• Thập phân → Phân số: Viết dưới dạng phân số với mẫu là lũy thừa của 10

Ví dụ: $0.75 = \frac{75}{100} = \frac{3}{4}$

1.5. Tính chia hết trong tập số tự nhiên

Quan hệ chia hết: Ta nói $a$ chia hết cho $b$ (ký hiệu $a \vdots b$) nếu tồn tại số tự nhiên $k$ sao cho $a = b \times k$.

Dấu hiệu chia hết thường gặp:

1.6. Số nguyên tố và hợp số

Định nghĩa:

• Số nguyên tố: Số tự nhiên lớn hơn 1, chỉ có 2 ước là 1 và chính nó
• Hợp số: Số tự nhiên lớn hơn 1, có nhiều hơn 2 ước

Các số nguyên tố đầu tiên: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, …

Phân tích một số ra thừa số nguyên tố:

Ví dụ: Phân tích 60: $60 = 2 \times 30 = 2 \times 2 \times 15 = 2 \times 2 \times 3 \times 5 = 2^2 \times 3 \times 5$

1.7. Ước chung lớn nhất (ƯCLN) và Bội chung nhỏ nhất (BCNN)

Ước và Bội:

• Ước của a: Các số chia hết a
• Bội của a: Các số chia hết cho a

Ước chung lớn nhất (ƯCLN):

• ƯCLN(a, b) là số lớn nhất trong các ước chung của a và b
• Cách tìm: Phân tích ra thừa số nguyên tố, lấy các thừa số chung với số mũ nhỏ nhất

Bội chung nhỏ nhất (BCNN):

• BCNN(a, b) là số nhỏ nhất trong các bội chung của a và b
• Cách tìm: Phân tích ra thừa số nguyên tố, lấy tất cả các thừa số với số mũ lớn nhất

Công thức quan trọng: $a \times b = \text{ƯCLN}(a, b) \times \text{BCNN}(a, b)$

Phần 2: Hình học

2.1. Điểm, Đường thẳng, Tia, Đoạn thẳng

• Điểm: Ký hiệu bằng chữ in hoa (A, B, C…)
• Đường thẳng: Qua 2 điểm chỉ vẽ được 1 đường thẳng
• Tia: Phần đường thẳng từ 1 điểm về 1 phía
• Đoạn thẳng: Phần đường thẳng giới hạn bởi 2 điểm

Hình minh họa:

Giải thích: Điểm là vị trí trong không gian, ký hiệu bằng chữ in hoa. Đường thẳng kéo dài vô tận hai phía. Tia có điểm gốc và kéo dài một phía. Đoạn thẳng có hai đầu mút xác định.

2.2. Góc

Các loại góc:

Góc kề bù: Hai góc có tổng bằng $180°$

Góc đối đỉnh: Hai góc bằng nhau

Hình minh họa các loại góc:

Giải thích: Góc nhọn nhỏ hơn góc vuông (90°). Góc tù lớn hơn góc vuông nhưng nhỏ hơn góc bẹt (180°). Góc vuông được đánh dấu bằng ô vuông nhỏ tại đỉnh.

2.3. Tam giác

Tổng ba góc trong tam giác: $\widehat{A} + \widehat{B} + \widehat{C} = 180°$

Phân loại theo góc:

• Tam giác nhọn: Ba góc đều nhọn
• Tam giác vuông: Có một góc vuông
• Tam giác tù: Có một góc tù

Phân loại theo cạnh:

• Tam giác thường: Ba cạnh khác nhau
• Tam giác cân: Hai cạnh bằng nhau
• Tam giác đều: Ba cạnh bằng nhau (mỗi góc = $60°$)

2.4. Tính đối xứng của hình phẳng

Trục đối xứng: Đường thẳng chia hình thành hai phần bằng nhau, gấp theo đường đó hai phần trùng khít.

Hình minh họa trục đối xứng:

Giải thích: Khi gấp hình theo trục đối xứng d, điểm M trùng với điểm M’. Trục d là đường trung trực của đoạn MM’.

Một số hình và số trục đối xứng:

Tâm đối xứng: Điểm O là tâm đối xứng của hình nếu khi quay hình 180° quanh O, hình trùng với chính nó.

Hình minh họa tâm đối xứng:

Giải thích: Điểm I là tâm đối xứng. Với mọi điểm M thuộc hình, điểm M’ đối xứng với M qua I cũng thuộc hình. I là trung điểm của MM’.

Một số hình có tâm đối xứng:

• Hình bình hành (tâm là giao điểm 2 đường chéo)
• Hình chữ nhật
• Hình thoi
• Hình vuông
• Hình tròn (tâm là tâm đường tròn)

Phần 3: Thống kê cơ bản

3.1. Thu thập và tổ chức dữ liệu

Dữ liệu thống kê: Thông tin được thu thập để phân tích, gồm:

• Dữ liệu số: Chiều cao, điểm số, nhiệt độ…
• Dữ liệu phân loại: Màu sắc, nghề nghiệp, giới tính…

Bảng tần số: Ghi lại số lần xuất hiện của mỗi giá trị.

3.2. Biểu đồ

Biểu đồ cột: Dùng để so sánh các giá trị. Mỗi cột đại diện cho một nhóm/giá trị.

Giải thích: Biểu đồ cột giúp so sánh trực quan các giá trị. Chiều cao cột tỉ lệ với giá trị số liệu.

Biểu đồ cột kép: So sánh 2 nhóm dữ liệu cùng tiêu chí.

Cách đọc biểu đồ:

1. Xác định các trục (ngang: nhóm, dọc: giá trị)
2. Đọc tên các nhóm/giá trị
3. So sánh chiều cao các cột
4. Rút ra kết luận

Bài tập mẫu

Bài 1: Tính lũy thừa

Tính: $2^3 \times 2^4$

Lời giải:

Bước 1: Áp dụng quy tắc nhân hai lũy thừa cùng cơ số: $a^m \times a^n = a^{m+n}$ $2^3 \times 2^4 = 2^{3+4} = 2^7$

Bước 2: Tính $2^7 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 128$

Giải thích: Vì $2^3 = 2 \times 2 \times 2$ (3 thừa số 2) và $2^4 = 2 \times 2 \times 2 \times 2$ (4 thừa số 2), nên khi nhân lại ta có tổng cộng $3 + 4 = 7$ thừa số 2.

Bài 2: Phép tính phân số

Tính: $\frac{2}{3} + \frac{3}{4}$

Lời giải:

Nhắc lại: Để cộng hai phân số khác mẫu, ta phải quy đồng mẫu số trước.

Bước 1: Tìm mẫu số chung (BCNN của 3 và 4) $\text{BCNN}(3, 4) = 12$

Lý do: Ta cần mẫu chung vì chỉ có thể cộng các phần “cùng loại” với nhau (ví dụ: 2 phần ba + 3 phần tư → không cộng trực tiếp được!).

Bước 2: Quy đồng mẫu số $\frac{2}{3} = \frac{2 \times 4}{3 \times 4} = \frac{8}{12}$ $\frac{3}{4} = \frac{3 \times 3}{4 \times 3} = \frac{9}{12}$

Lý do: Nhân cả tử và mẫu với cùng một số không làm thay đổi giá trị phân số (tính chất cơ bản).

Bước 3: Cộng tử số, giữ nguyên mẫu số $\frac{8}{12} + \frac{9}{12} = \frac{8 + 9}{12} = \frac{17}{12}$

Kiểm tra: $\frac{17}{12} \approx 1.42$, và $\frac{2}{3} \approx 0.67$, $\frac{3}{4} = 0.75$, tổng $\approx 1.42$ ✓

Mẹo: Kết quả có thể viết thành hỗn số: $1\frac{5}{12}$ (vì $17 = 12 \times 1 + 5$).

Bài 3: Giá trị tuyệt đối

Tính: $|5| + |-3| - |-7|$

Lời giải:

Bước 1: Áp dụng định nghĩa giá trị tuyệt đối

• $|5| = 5$ (vì $5 > 0$ nên giữ nguyên)
• $|-3| = 3$ (vì $-3 < 0$ nên đổi dấu)
• $|-7| = 7$ (vì $-7 < 0$ nên đổi dấu)

Bước 2: Thay vào biểu thức và tính $5 + 3 - 7 = 8 - 7 = 1$

Nhắc lại: Giá trị tuyệt đối của số a là khoảng cách từ a đến 0 trên trục số. Khoảng cách luôn dương!

Bài 4: Tìm ƯCLN và BCNN

Tìm ƯCLN và BCNN của 24 và 36.

Lời giải:

Nhắc lại:

• ƯCLN: Lấy các thừa số CHUNG, với số mũ NHỎ NHẤT
• BCNN: Lấy TẤT CẢ các thừa số, với số mũ LỚN NHẤT

Bước 1: Phân tích ra thừa số nguyên tố $24 = 2^3 \times 3^1$ $36 = 2^2 \times 3^2$

Lý do: Phân tích để “nhìn rõ” các thành phần cấu tạo nên mỗi số.

Bước 2: Tìm ƯCLN (Ước Chung Lớn Nhất)

$\text{ƯCLN}(24, 36) = 2^2 \times 3^1 = 4 \times 3 = 12$

Lý do: “Chung” nghĩa là phải có trong CẢ HAI số. Lấy mũ nhỏ để đảm bảo chia hết cho cả hai.

Bước 3: Tìm BCNN (Bội Chung Nhỏ Nhất)

$\text{BCNN}(24, 36) = 2^3 \times 3^2 = 8 \times 9 = 72$

Lý do: “Bội” nghĩa là phải chia hết cho CẢ HAI số. Lấy mũ lớn để chứa đủ thành phần của cả hai.

Kiểm tra: $24 \times 36 = 864$ và $12 \times 72 = 864$ ✓ (theo công thức $a \times b = \text{ƯCLN} \times \text{BCNN}$)

Bài 5: Dấu hiệu chia hết

Trong các số sau, số nào chia hết cho cả 3 và 5: 120, 135, 150, 175?

Lời giải:

Nhắc lại:

• Chia hết cho 5: Chữ số tận cùng là 0 hoặc 5
• Chia hết cho 3: Tổng các chữ số chia hết cho 3

Bước 1: Kiểm tra chia hết cho 5 (xét chữ số tận cùng)

→ Tất cả 4 số đều chia hết cho 5.

Bước 2: Kiểm tra chia hết cho 3 (tính tổng chữ số)

Lý do: Dấu hiệu này hiệu quả vì mỗi số có thể viết dạng “tổng chữ số + bội của 9”, và 9 luôn chia hết cho 3.

Bước 3: Kết luận - Số chia hết cho CẢ 3 và 5

$\text{Đáp án}: 120, 135, 150$

Mẹo: Chia hết cho cả 3 và 5 ⟺ Chia hết cho 15 (vì BCNN(3,5) = 15).

Bài 6: Đối xứng trục

Xác định số trục đối xứng của các hình sau: a) Chữ cái A b) Chữ cái H c) Hình thoi

Lời giải:

Nhắc lại: Trục đối xứng là đường thẳng mà khi gấp hình theo đường đó, hai nửa trùng khít nhau.

• a) Chữ A có 1 trục đối xứng (trục dọc qua giữa)

  • Giải thích: Nếu gấp theo trục ngang, phần trên và phần dưới không giống nhau.

• b) Chữ H có 2 trục đối xứng (trục dọc và trục ngang)

  • Giải thích: Gấp theo cả trục dọc lẫn ngang, hai nửa đều trùng khít.

• c) Hình thoi có 2 trục đối xứng (2 đường chéo)

  • Giải thích: Đường chéo của hình thoi vuông góc và chia đôi nhau.

Bài 7: Đối xứng tâm

Trong các hình sau, hình nào có tâm đối xứng: Hình vuông, Hình tam giác đều, Hình bình hành?

Lời giải:

Nhắc lại: Tâm đối xứng là điểm mà khi quay hình 180° quanh điểm đó, hình trùng với chính nó.

• Hình vuông: Có tâm đối xứng (giao điểm 2 đường chéo)

  • Giải thích: Quay 180°, mỗi đỉnh đến vị trí đỉnh đối diện.

• Hình tam giác đều: Không có tâm đối xứng

  • Giải thích: Quay 180° không cho hình trùng khít. (Nhưng có đối xứng quay 120°)

• Hình bình hành: Có tâm đối xứng (giao điểm 2 đường chéo)

  • Giải thích: Quay 180°, các đỉnh đối diện hoán đổi vị trí.

Đáp án: Hình vuông và Hình bình hành

Bài 8: Thống kê

Điểm kiểm tra của 20 học sinh: 7, 8, 9, 8, 7, 10, 9, 8, 8, 7, 9, 10, 8, 7, 9, 8, 7, 9, 8, 10

a) Lập bảng tần số b) Tìm mốt (giá trị xuất hiện nhiều nhất)

Lời giải:

Nhắc lại:

• Tần số: Số lần xuất hiện của mỗi giá trị
• Mốt (Mode): Giá trị có tần số lớn nhất

Bước 1: Liệt kê các giá trị khác nhau

Dữ liệu có các giá trị: 7, 8, 9, 10 (sắp xếp từ nhỏ đến lớn)

Bước 2: Đếm tần số từng giá trị

Lý do: Đếm cẩn thận bằng cách gạch bỏ từng số đã đếm.

a) Bảng tần số:

Kiểm tra: Tổng tần số = 5 + 7 + 5 + 3 = 20 = số học sinh ✓

b) Mốt:

Giá trị có tần số lớn nhất là 8 (xuất hiện 7 lần).

$\text{Mốt} = 8$

Ý nghĩa: Đa số học sinh đạt điểm 8, đây là điểm “phổ biến nhất” trong lớp.

Tóm tắt

Công thức quan trọng

Key Points

• Số nguyên âm: Mở rộng từ $\mathbb{N}$ sang $\mathbb{Z}$
• Dấu hiệu chia hết: 2, 3, 5, 9, 10
• Đối xứng trục: Gấp đôi trùng khít
• Lưu ý: Thống kê - Mốt là giá trị có tần số cao nhất