Chương 1: Hàm số lượng giác và Phương trình lượng giác

Mục tiêu học tập

Sau khi hoàn thành chương này, bạn sẽ:

• Hiểu góc và cung lượng giác
• Nắm vững các công thức lượng giác
• Giải được các phương trình lượng giác cơ bản

Phần 1: Góc và Cung lượng giác

1.1. Khái niệm góc lượng giác

Góc lượng giác là góc có thể nhận mọi giá trị thực, gồm góc dương (quay ngược chiều kim đồng hồ) và góc âm (quay theo chiều kim đồng hồ).

Đơn vị đo:

• Độ (°): Một vòng tròn = 360°
• Radian (rad): Một vòng tròn = $2\pi$ rad

Công thức chuyển đổi: $\alpha_{rad} = \frac{\pi}{180} \cdot \alpha_{°}$ $\alpha_{°} = \frac{180}{\pi} \cdot \alpha_{rad}$

1.2. Đường tròn lượng giác

Đường tròn lượng giác là đường tròn tâm O, bán kính R = 1.

Điểm M trên đường tròn ứng với góc $\alpha$:

• Hoành độ: $\cos\alpha$
• Tung độ: $\sin\alpha$

Đồ thị hàm số lượng giác y = sin x và y = cos x:

Giải thích: Hàm sin và cos đều có chu kỳ T = 2π. Đồ thị y = cos x là đồ thị y = sin x dịch sang trái π/2 đơn vị. Cả hai hàm có biên độ dao động là 1 (giá trị từ -1 đến 1).

1.3. Giá trị lượng giác của góc đặc biệt

Phần 2: Công thức lượng giác

2.1. Hệ thức cơ bản

$\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$

$\tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$ (với $\cos\alpha \neq 0$)

$\cot\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$ (với $\sin\alpha \neq 0$)

$1 + \tan^2\alpha = \frac{1}{\cos^2\alpha}$

$1 + \cot^2\alpha = \frac{1}{\sin^2\alpha}$

2.2. Công thức cộng

$\sin(\alpha \pm \beta) = \sin\alpha\cos\beta \pm \cos\alpha\sin\beta$

$\cos(\alpha \pm \beta) = \cos\alpha\cos\beta \mp \sin\alpha\sin\beta$

$\tan(\alpha \pm \beta) = \frac{\tan\alpha \pm \tan\beta}{1 \mp \tan\alpha\tan\beta}$

2.3. Công thức nhân đôi

$\sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha$

$\cos 2\alpha = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha = 2\cos^2\alpha - 1 = 1 - 2\sin^2\alpha$

$\tan 2\alpha = \frac{2\tan\alpha}{1 - \tan^2\alpha}$

2.4. Công thức hạ bậc

$\sin^2\alpha = \frac{1 - \cos 2\alpha}{2}$

$\cos^2\alpha = \frac{1 + \cos 2\alpha}{2}$

2.5. Công thức biến đổi tổng thành tích

$\sin a + \sin b = 2\sin\frac{a+b}{2}\cos\frac{a-b}{2}$

$\sin a - \sin b = 2\cos\frac{a+b}{2}\sin\frac{a-b}{2}$

$\cos a + \cos b = 2\cos\frac{a+b}{2}\cos\frac{a-b}{2}$

$\cos a - \cos b = -2\sin\frac{a+b}{2}\sin\frac{a-b}{2}$

Phần 3: Hàm số lượng giác

3.1. Hàm số $y = \sin x$

Tập xác định: $D = \mathbb{R}$

Tập giá trị: $[-1, 1]$

Chu kỳ: $T = 2\pi$

Tính chất:

• Hàm số lẻ: $\sin(-x) = -\sin x$
• Đồng biến trên $(-\frac{\pi}{2} + k2\pi, \frac{\pi}{2} + k2\pi)$
• Nghịch biến trên $(\frac{\pi}{2} + k2\pi, \frac{3\pi}{2} + k2\pi)$

3.2. Hàm số $y = \cos x$

Tập xác định: $D = \mathbb{R}$

Tập giá trị: $[-1, 1]$

Chu kỳ: $T = 2\pi$

Tính chất:

• Hàm số chẵn: $\cos(-x) = \cos x$
• Nghịch biến trên $(k2\pi, \pi + k2\pi)$
• Đồng biến trên $(-\pi + k2\pi, k2\pi)$

Đồ thị tương tác hàm sin và cos:

Phần 4: Phương trình lượng giác

4.1. Phương trình cơ bản

Dạng 1: $\sin x = a$ (với $|a| \leq 1$)

Nghiệm: $x = \arcsin a + k2\pi$ hoặc $x = \pi - \arcsin a + k2\pi$

Dạng 2: $\cos x = a$ (với $|a| \leq 1$)

Nghiệm: $x = \pm\arccos a + k2\pi$

Dạng 3: $\tan x = a$

Nghiệm: $x = \arctan a + k\pi$

4.2. Phương trình đặc biệt

Bài tập mẫu có lời giải

Bài 1: Tính giá trị lượng giác

Đề bài: Cho $\sin\alpha = \frac{3}{5}$ với $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$. Tính $\cos\alpha$, $\tan\alpha$.

Lời giải:

Nhắc lại: Hệ thức cơ bản: $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$

Bước 1: Tính $\cos\alpha$ từ hệ thức cơ bản $\cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$

Bước 2: Xét dấu (dựa vào góc phần tư)

Lý do: Vì $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$ (góc phần tư I) nên $\cos\alpha > 0$.

$\cos\alpha = \frac{4}{5}$

Bước 3: Tính $\tan\alpha$ $\tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \frac{3/5}{4/5} = \frac{3}{4}$

Kiểm tra: $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = \frac{9}{25} + \frac{16}{25} = 1$ ✓; $\tan\alpha = \frac{3}{4} = 0.75$ (góc nhọn, hợp lý) ✓

Bài 2: Chứng minh đẳng thức

Đề bài: Chứng minh $\frac{1 + \sin x}{\cos x} = \frac{\cos x}{1 - \sin x}$

Lời giải:

Nhắc lại: $(1 + \sin x)(1 - \sin x) = 1 - \sin^2 x = \cos^2 x$

Bước 1: Nhân chéo, cần chứng minh: $(1 + \sin x)(1 - \sin x) = \cos^2 x$

Bước 2: Vế trái = $1 - \sin^2 x$

Lý do: Đây chính là hệ thức cơ bản $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ viết lại.

$1 - \sin^2 x = \cos^2 x \quad \text{(đpcm)}$

Bài 3: Giải phương trình lượng giác

Đề bài: Giải phương trình $2\sin^2 x - \sin x - 1 = 0$

Lời giải:

Nhắc lại: PT $\sin x = a$ có nghiệm khi $|a| \leq 1$. Đặt $t = \sin x$ đưa về PT bậc 2.

Bước 1: Đặt $t = \sin x$ với $-1 \leq t \leq 1$ $2t^2 - t - 1 = 0$

Bước 2: Giải PT bậc 2 $(2t + 1)(t - 1) = 0 \Rightarrow t = -\frac{1}{2} \text{ hoặc } t = 1$

Kiểm tra: Cả hai giá trị $|t| \leq 1$ nên đều thỏa mãn.

Bước 3: Giải PT lượng giác

Trường hợp 1: $\sin x = -\frac{1}{2}$ $x = -\frac{\pi}{6} + k2\pi \text{ hoặc } x = \pi + \frac{\pi}{6} + k2\pi = \frac{7\pi}{6} + k2\pi$

Trường hợp 2: $\sin x = 1$ $x = \frac{\pi}{2} + k2\pi$

Kiểm tra: Với $x = \frac{\pi}{2}$: $2(1)^2 - 1 - 1 = 0$ ✓; Với $x = -\frac{\pi}{6}$: $2(\frac{1}{4}) - (-\frac{1}{2}) - 1 = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - 1 = 0$ ✓

Bài 4: Rút gọn biểu thức

Đề bài: Rút gọn $A = \sin^4 x + \cos^4 x$

Lời giải:

$A = (\sin^2 x + \cos^2 x)^2 - 2\sin^2 x \cos^2 x$ $= 1 - 2\sin^2 x \cos^2 x$ $= 1 - \frac{1}{2}(2\sin x \cos x)^2$ $= 1 - \frac{1}{2}\sin^2 2x$ $= 1 - \frac{1}{2} \cdot \frac{1 - \cos 4x}{2}$ $= 1 - \frac{1 - \cos 4x}{4}$ $= \frac{3 + \cos 4x}{4}$

Bài tập tự luyện

Bài 1

Cho $\cos\alpha = -\frac{5}{13}$ với $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$. Tính $\sin\alpha$, $\tan\alpha$, $\sin 2\alpha$.

Bài 2

Chứng minh: $\sin 3x = 3\sin x - 4\sin^3 x$

Bài 3

Giải các phương trình:

a) $\sin 2x = \frac{\sqrt{3}}{2}$

b) $\cos x + \cos 2x + \cos 3x = 0$

c) $\sin x + \cos x = 1$

Bài 4

Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của $y = 3\sin x + 4\cos x$

Tóm tắt

Công thức quan trọng

Key Points

• Chu kỳ: sin và cos có chu kỳ $T = 2\pi$, tan và cot có chu kỳ $T = \pi$
• Tính chẵn lẻ: sin là hàm lẻ, cos là hàm chẵn
• Nghiệm PT cơ bản: $\sin x = a \Rightarrow x = \arcsin a + k2\pi$ hoặc $x = \pi - \arcsin a + k2\pi$
• Lưu ý: Luôn kiểm tra điều kiện $|a| \leq 1$ với PT sin, cos