Chương 4: Đường thẳng và mặt phẳng. Quan hệ song song

Mục tiêu học tập

Sau khi hoàn thành chương này, bạn sẽ:

• Hiểu các quan hệ song song trong không gian
• Nắm vững các quan hệ vuông góc trong không gian
• Áp dụng vào bài toán hình học không gian

Phần 1: Đại cương về hình học không gian

1.1. Các khái niệm cơ bản

Điểm, đường thẳng, mặt phẳng là các khái niệm nguyên thủy.

Ký hiệu:

• Điểm: $A, B, C, ...$
• Đường thẳng: $a, b, c, ...$ hoặc $d, d_1, d_2, ...$
• Mặt phẳng: $(P), (Q), (\alpha), (\beta), ...$

1.2. Các tiên đề cơ bản

Tiên đề 1: Qua 3 điểm không thẳng hàng có một và chỉ một mặt phẳng.

Tiên đề 2: Nếu đường thẳng có 2 điểm thuộc mặt phẳng thì mọi điểm của đường thẳng đều thuộc mặt phẳng.

Tiên đề 3: Nếu hai mặt phẳng phân biệt có điểm chung thì chúng có chung một đường thẳng.

1.3. Cách xác định mặt phẳng

Mặt phẳng được xác định bởi:

• 3 điểm không thẳng hàng
• 1 đường thẳng và 1 điểm ngoài đường thẳng
• 2 đường thẳng cắt nhau
• 2 đường thẳng song song

Hình minh họa hình hộp không gian:

Giải thích: Hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ là ví dụ điển hình trong hình học không gian. Các đường nét đứt thể hiện cạnh bị khuất. Mỗi mặt của hình hộp là một mặt phẳng.

Phần 2: Hai đường thẳng song song

2.1. Các vị trí tương đối của hai đường thẳng

2.2. Định lý về hai đường thẳng song song

Định lý 1: Qua một điểm nằm ngoài đường thẳng $a$, có một và chỉ một đường thẳng song song với $a$.

Định lý 2: Hai đường thẳng cùng song song với đường thẳng thứ ba thì song song với nhau.

$a \parallel c \text{ và } b \parallel c \Rightarrow a \parallel b$

Phần 3: Đường thẳng song song với mặt phẳng

3.1. Định nghĩa

Đường thẳng $d$ song song với mặt phẳng $(P)$, ký hiệu $d \parallel (P)$, nếu $d$ và $(P)$ không có điểm chung.

3.2. Điều kiện để đường thẳng song song mặt phẳng

Định lý: Đường thẳng $d$ song song với $(P)$ khi và chỉ khi $d$ song song với một đường thẳng nằm trong $(P)$.

$d \parallel (P) \Leftrightarrow \exists a \subset (P): d \parallel a$

3.3. Tính chất

Định lý 1: Nếu đường thẳng $d$ song song với $(P)$ và $(Q)$ chứa $d$ cắt $(P)$ theo giao tuyến $a$, thì $d \parallel a$.

Định lý 2: Nếu hai mặt phẳng cùng song song với một đường thẳng $d$, thì giao tuyến của chúng (nếu có) cũng song song với $d$.

Phần 4: Hai mặt phẳng song song

4.1. Định nghĩa

Hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$ song song nhau, ký hiệu $(P) \parallel (Q)$, nếu chúng không có điểm chung.

4.2. Điều kiện để hai mặt phẳng song song

Định lý: $(P) \parallel (Q)$ khi và chỉ khi $(P)$ chứa hai đường thẳng cắt nhau cùng song song với $(Q)$.

4.3. Tính chất

Định lý 1 (Hình hộp nghiêng): Nếu một mặt phẳng cắt hai mặt phẳng song song thì các giao tuyến song song với nhau.

Định lý 2: Hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với mặt phẳng thứ ba thì song song với nhau.

Minh họa tương tác hai mặt phẳng song song:

Hình minh họa hai mặt phẳng song song:

Giải thích: Hai mặt phẳng (P) và (Q) song song khi không có điểm chung. Khoảng cách d giữa chúng không đổi. Nếu mp (R) cắt cả hai, giao tuyến a ∥ b.

Phần 5: Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

5.1. Định nghĩa

Đường thẳng $d$ vuông góc với mặt phẳng $(P)$, ký hiệu $d \perp (P)$, nếu $d$ vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong $(P)$.

5.2. Điều kiện để đường thẳng vuông góc mặt phẳng

Định lý: $d \perp (P)$ khi và chỉ khi $d$ vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau trong $(P)$.

5.3. Tính chất

Định lý 1: Qua một điểm có một và chỉ một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng cho trước.

Định lý 2: Qua một điểm có một và chỉ một mặt phẳng vuông góc với đường thẳng cho trước.

Định lý 3: Hai đường thẳng cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song với nhau.

Định lý 4: Hai mặt phẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau.

5.4. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Định nghĩa: Góc giữa đường thẳng $d$ và mặt phẳng $(P)$ là góc giữa $d$ và hình chiếu của $d$ lên $(P)$.

Đặc điểm: $0° \leq \widehat{(d, (P))} \leq 90°$

Hình minh họa đường thẳng vuông góc mặt phẳng:

Giải thích: Đường thẳng d ⊥ (P) khi d vuông góc với mọi đường thẳng trong (P). Điều kiện: d ⊥ hai đường thẳng cắt nhau a, b trong (P). Điểm H là hình chiếu của M lên (P).

Phần 6: Hai mặt phẳng vuông góc

6.1. Góc nhị diện

Định nghĩa: Góc nhị diện là hình tạo bởi hai nửa mặt phẳng có chung một cạnh (gọi là cạnh của góc nhị diện).

Góc phẳng nhị diện: Góc tạo bởi hai tia nằm trong hai nửa mặt phẳng, cùng vuông góc với cạnh tại một điểm.

6.2. Định nghĩa hai mặt phẳng vuông góc

Hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$ vuông góc nhau, ký hiệu $(P) \perp (Q)$, nếu góc nhị diện tạo bởi chúng bằng $90°$.

6.3. Điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc

Định lý: $(P) \perp (Q)$ khi và chỉ khi $(P)$ chứa một đường thẳng vuông góc với $(Q)$.

6.4. Tính chất

Định lý: Nếu $(P) \perp (Q)$ và $a$ là giao tuyến, thì đường thẳng $d \subset (P)$ và $d \perp a$ sẽ vuông góc với $(Q)$.

Phần 7: Khoảng cách trong không gian

7.1. Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng

$d(M, (P)) = MH$ với $H$ là hình chiếu của $M$ lên $(P)$.

7.2. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

Khoảng cách giữa $a$ và $b$ chéo nhau bằng khoảng cách từ $a$ đến mặt phẳng chứa $b$ và song song với $a$.

7.3. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song

$d((P), (Q)) = d(M, (Q))$ với $M$ là điểm bất kỳ thuộc $(P)$.

Bài tập mẫu có lời giải

Bài 1: Chứng minh song song

Đề bài: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình bình hành. Gọi $M, N$ lần lượt là trung điểm $SA, SD$. Chứng minh $MN \parallel (ABCD)$.

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Xác định vị trí các điểm M, N trên hình chóp.

Trong tam giác $SAD$:

• $M$ là trung điểm $SA$
• $N$ là trung điểm $SD$

Bước 2: Nhận ra MN là đường trung bình.

$\Rightarrow MN$ là đường trung bình tam giác $SAD$

$\Rightarrow MN \parallel AD$

Bước 3: Kết luận song song với mặt phẳng.

Mà $AD \subset (ABCD)$ và $MN \not\subset (ABCD)$

$\Rightarrow MN \parallel (ABCD)$ (đpcm)

Tại sao? Đường thẳng song song với đường thẳng nằm trong mp, và không nằm trong mp đó, thì song song với mp.

Bài 2: Chứng minh vuông góc

Đề bài: Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA \perp (ABC)$ và tam giác $ABC$ vuông tại $B$. Chứng minh $BC \perp (SAB)$.

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Từ giả thiết, suy ra SA vuông góc với mọi đường trong (ABC).

Ta có: $SA \perp (ABC)$ $\Rightarrow SA \perp BC$ (1)

Bước 2: Từ tam giác vuông, xác định cặp vuông góc thứ 2.

Trong $(ABC)$: $AB \perp BC$ (gt tam giác vuông tại $B$) (2)

Bước 3: Áp dụng điều kiện đường thẳng vuông góc mặt phẳng.

Từ (1) và (2): $BC \perp SA$ và $BC \perp AB$

Mà $SA$ và $AB$ cắt nhau tại $A$ và cùng thuộc $(SAB)$

$\Rightarrow BC \perp (SAB)$ (đpcm)

Tại sao? BC vuông góc với 2 đường thẳng CẮT NHAU trong (SAB), nên vuông góc với cả mặt phẳng.

Bài 3: Tính góc

Đề bài: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh $a$, $SA \perp (ABCD)$ và $SA = a$. Tính góc giữa $SC$ và $(ABCD)$.

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Xác định hình chiếu của SC lên mặt đáy.

Vì $SA \perp (ABCD)$ nên $A$ là hình chiếu của $S$ lên $(ABCD)$.

$\Rightarrow$ Hình chiếu của $SC$ lên $(ABCD)$ là $AC$.

Bước 2: Xác định góc cần tính.

$\Rightarrow$ Góc giữa $SC$ và $(ABCD)$ là góc $\widehat{SCA}$.

Bước 3: Tính trong tam giác vuông SAC.

Trong tam giác vuông $SAC$:

• $AC = a\sqrt{2}$ (đường chéo hình vuông)
• $SA = a$

Bước 4: Tính kết quả.

$\tan(\widehat{SCA}) = \frac{SA}{AC} = \frac{a}{a\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\Rightarrow \widehat{SCA} = \arctan\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) \approx 35.26°$

Bài tập tự luyện

Bài 1

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình bình hành. Gọi $M$ là trung điểm $SB$. Chứng minh $AM \parallel (SCD)$.

Bài 2

Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA = SB = SC$. Chứng minh $SO \perp (ABC)$ với $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$.

Bài 3

Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ cạnh $a$. Tính:

a) Khoảng cách từ $A$ đến $(BCD'A')$

b) Góc giữa $AC'$ và $(ABCD)$

Bài 4

Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA \perp (ABC)$, $AB \perp AC$, $SA = AB = AC = a$. Tính góc nhị diện $[S, BC, A]$.

Tóm tắt

Định lý quan trọng

Key Points

• 3 vị trí tương đối đường & mp: Chứa nhau, song song, cắt nhau
• 3 vị trí tương đối hai mp: Trùng nhau, song song, cắt nhau
• Cách c/m song song: Dùng định lý, hoặc dựng mp trung gian
• Lưu ý: Đường thẳng song song với mp thì song song với giao tuyến của mp đó