Chương 3: Giới hạn. Hàm số liên tục

Mục tiêu học tập

Sau khi hoàn thành chương này, bạn sẽ:

• Hiểu khái niệm giới hạn của dãy số và hàm số
• Tính được giới hạn bằng các phương pháp cơ bản
• Nhận biết và xử lý các dạng vô định

Phần 1: Giới hạn của dãy số

1.1. Định nghĩa

Dãy số $(u_n)$ có giới hạn là $L$ khi $n \to +\infty$ nếu $u_n$ tiến đến $L$ khi $n$ tăng vô hạn.

Ký hiệu: $\lim_{n \to +\infty} u_n = L$ hoặc $\lim u_n = L$

Định nghĩa chính xác (ε-δ): $\forall \varepsilon > 0, \exists N \in \mathbb{N}^*: n > N \Rightarrow |u_n - L| < \varepsilon$

1.2. Các giới hạn cơ bản

$\lim_{n \to +\infty} c = c \quad (\text{c là hằng số})$

$\lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n^k} = 0 \quad (k > 0)$

$\lim_{n \to +\infty} q^n = 0 \quad (|q| < 1)$

$\lim_{n \to +\infty} q^n = +\infty \quad (q > 1)$

$\lim_{n \to +\infty} \sqrt[n]{a} = 1 \quad (a > 0)$

$\lim_{n \to +\infty} \sqrt[n]{n} = 1$

Minh họa tương tác giới hạn dãy số:

Hình minh họa định nghĩa giới hạn dãy số:

Giải thích: Dãy số (uₙ) hội tụ về L nếu từ một số hạng nào đó (n > N), tất cả các số hạng đều nằm trong dải (L-ε, L+ε) với mọi ε > 0 cho trước. Dải này càng hẹp thì N cần càng lớn.

1.3. Các quy tắc tính giới hạn

Cho $\lim u_n = L$ và $\lim v_n = M$.

1.4. Giới hạn vô cực

Dãy có giới hạn $+\infty$: $\lim u_n = +\infty$ nếu $u_n$ tăng không bị chặn.

Dãy có giới hạn $-\infty$: $\lim u_n = -\infty$ nếu $u_n$ giảm không bị chặn.

Quy tắc tính với vô cực:

Phần 2: Giới hạn của hàm số

2.1. Giới hạn tại một điểm

Định nghĩa: $\lim_{x \to x_0} f(x) = L$ nếu khi $x$ tiến đến $x_0$ thì $f(x)$ tiến đến $L$.

Giới hạn một phía:

• Giới hạn trái: $\lim_{x \to x_0^-} f(x)$
• Giới hạn phải: $\lim_{x \to x_0^+} f(x)$

2.2. Giới hạn tại vô cực

$\lim_{x \to +\infty} f(x) = L$

$\lim_{x \to -\infty} f(x) = L$

2.3. Các giới hạn đặc biệt

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$

$\lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x} = 1$

$\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} = \frac{1}{2}$

$\lim_{x \to +\infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x = e$

$\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1$

$\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + x)}{x} = 1$

Phần 3: Các dạng vô định và cách khử

3.1. Dạng $\frac{0}{0}$

Phương pháp:

1. Phân tích thành nhân tử và giản ước
2. Nhân liên hợp nếu có căn
3. Sử dụng giới hạn đặc biệt ($\frac{\sin x}{x}$, $\frac{e^x - 1}{x}$, …)

Ví dụ chi tiết: $\lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 1}{x - 1} = \lim_{x \to 1} \frac{(x-1)(x+1)}{x-1} = \lim_{x \to 1} (x+1) = 2$

3.2. Dạng $\frac{\infty}{\infty}$

Phương pháp:

1. Chia cả tử và mẫu cho lũy thừa cao nhất của $x$ (hoặc $n$)
2. So sánh bậc của tử và mẫu

Quy tắc với đa thức:

Cho $P(x) = a_m x^m + ...$ và $Q(x) = b_n x^n + ...$

$\lim_{x \to \infty} \frac{P(x)}{Q(x)} = \begin{cases} 0 & \text{nếu } m < n \\ \frac{a_m}{b_n} & \text{nếu } m = n \\ \pm\infty & \text{nếu } m > n \end{cases}$

3.3. Dạng $\infty - \infty$

Phương pháp:

1. Đưa về dạng $\frac{0}{0}$ hoặc $\frac{\infty}{\infty}$
2. Nhân liên hợp (với biểu thức chứa căn)

Phần 4: Hàm số liên tục

4.1. Định nghĩa

Hàm số $f(x)$ liên tục tại $x_0$ nếu:

$\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$

Ba điều kiện tương đương:

1. $f(x_0)$ xác định
2. $\lim_{x \to x_0} f(x)$ tồn tại
3. $\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$

4.2. Các hàm số liên tục

• Hàm đa thức liên tục trên $\mathbb{R}$
• Hàm phân thức liên tục trên TXĐ
• Hàm lượng giác liên tục trên TXĐ
• Hàm căn, mũ, logarit liên tục trên TXĐ

Bài tập mẫu có lời giải

Bài 1: Giới hạn dãy số

Đề bài: Tính $\lim_{n \to +\infty} \frac{3n^2 + 2n - 1}{2n^2 + 5}$

Lời giải chi tiết:

Nhắc lại: Với dạng $\frac{\infty}{\infty}$, chia cả tử và mẫu cho lũy thừa cao nhất của $n$.

Bước 1: Nhận dạng - Đây là dạng $\frac{\infty}{\infty}$

Lý do: Khi $n \to +\infty$, cả tử $3n^2 + 2n - 1$ và mẫu $2n^2 + 5$ đều tiến đến $+\infty$.

Bước 2: Chia cả tử và mẫu cho $n^2$ (lũy thừa cao nhất)

$\lim_{n \to +\infty} \frac{3n^2 + 2n - 1}{2n^2 + 5} = \lim_{n \to +\infty} \frac{3 + \frac{2}{n} - \frac{1}{n^2}}{2 + \frac{5}{n^2}}$

Lý do: Chia cho $n^2$ để đưa về dạng có các hạng $\frac{1}{n}$, $\frac{1}{n^2}$ → dễ tính khi $n \to \infty$.

Bước 3: Áp dụng giới hạn cơ bản: $\lim \frac{1}{n^k} = 0$

Khi $n \to +\infty$: $\frac{2}{n} \to 0$, $\frac{1}{n^2} \to 0$, $\frac{5}{n^2} \to 0$

$= \frac{3 + 0 - 0}{2 + 0} = \frac{3}{2}$

Kiểm tra: Thử với $n = 1000$: $\frac{3 \cdot 10^6 + 2000 - 1}{2 \cdot 10^6 + 5} \approx \frac{3 \cdot 10^6}{2 \cdot 10^6} = 1.5$ ✓

Bài 2: Giới hạn dạng $\frac{0}{0}$

Đề bài: Tính $\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2}$

Lời giải chi tiết:

Nhắc lại: Với dạng $\frac{0}{0}$, phân tích nhân tử để rút gọn.

Bước 1: Thay $x = 2$ để nhận dạng $\frac{2^2 - 4}{2 - 2} = \frac{0}{0}$ → Dạng vô định

Lý do: Không thể thay trực tiếp vì mẫu số bằng 0.

Bước 2: Phân tích nhân tử tử số $x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)$

Lý do: Dùng hằng đẳng thức $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ với $a = x$, $b = 2$.

Bước 3: Rút gọn và tính giới hạn $\lim_{x \to 2} \frac{(x-2)(x+2)}{x - 2} = \lim_{x \to 2} (x + 2) = 2 + 2 = 4$

Lý do: Với $x \neq 2$, ta có thể rút gọn $(x-2)$ ở tử và mẫu.

Kiểm tra: Thử $x = 2.001$: $\frac{2.001^2 - 4}{2.001 - 2} = \frac{0.004001}{0.001} \approx 4$ ✓

Bài 3: Giới hạn với căn

Đề bài: Tính $\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x} - 1}{x - 1}$

Lời giải chi tiết:

Nhắc lại: Dạng $\frac{0}{0}$ có căn → Nhân liên hợp để khử căn.

Bước 1: Nhận dạng $\frac{\sqrt{1} - 1}{1 - 1} = \frac{0}{0}$ → Dạng vô định

Bước 2: Nhân tử và mẫu với biểu thức liên hợp $(\sqrt{x} + 1)$

$\lim_{x \to 1} \frac{(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1)}{(x - 1)(\sqrt{x} + 1)}$

Lý do: $(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1) = x - 1$ theo hằng đẳng thức $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$.

Bước 3: Rút gọn $= \lim_{x \to 1} \frac{x - 1}{(x - 1)(\sqrt{x} + 1)} = \lim_{x \to 1} \frac{1}{\sqrt{x} + 1}$

Bước 4: Thay $x = 1$ $= \frac{1}{\sqrt{1} + 1} = \frac{1}{2}$

Kiểm tra: Thử $x = 1.01$: $\frac{\sqrt{1.01} - 1}{1.01 - 1} = \frac{0.00499...}{0.01} \approx 0.5$ ✓

Bài 4: Giới hạn lượng giác

Đề bài: Tính $\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{x}$

Lời giải chi tiết:

Nhắc lại: Giới hạn đặc biệt: $\lim_{t \to 0} \frac{\sin t}{t} = 1$

Bước 1: Biến đổi để xuất hiện $\frac{\sin 3x}{3x}$

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{3x} \cdot 3$

Lý do: Nhân và chia cho 3 để tạo dạng $\frac{\sin t}{t}$ với $t = 3x$.

Bước 2: Áp dụng giới hạn đặc biệt

Khi $x \to 0$ thì $3x \to 0$, nên: $\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{3x} = 1$

Bước 3: Tính kết quả $= 1 \cdot 3 = 3$

Mẹo nhớ: $\lim_{x \to 0} \frac{\sin ax}{bx} = \frac{a}{b}$ (hệ số trước $x$ ở tử chia cho hệ số ở mẫu).

Bài 5: Giới hạn tại vô cực với căn

Đề bài: Tính $\lim_{x \to +\infty} (\sqrt{x^2 + x} - x)$

Lời giải chi tiết:

Nhắc lại: Dạng $\infty - \infty$ với căn → Nhân liên hợp.

Bước 1: Nhận dạng Khi $x \to +\infty$: $\sqrt{x^2 + x} \to +\infty$ và $x \to +\infty$ → Dạng $\infty - \infty$

Lý do: Không thể tính $\infty - \infty$ trực tiếp, cần biến đổi.

Bước 2: Nhân và chia cho biểu thức liên hợp

$\lim_{x \to +\infty} (\sqrt{x^2 + x} - x) \cdot \frac{\sqrt{x^2 + x} + x}{\sqrt{x^2 + x} + x}$

$= \lim_{x \to +\infty} \frac{(x^2 + x) - x^2}{\sqrt{x^2 + x} + x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{x}{\sqrt{x^2 + x} + x}$

Lý do: $(A - B)(A + B) = A^2 - B^2$ giúp khử căn ở tử.

Bước 3: Chia cả tử và mẫu cho $x$ (với $x > 0$)

$= \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{1}{x}} + 1}$

Lý do: $\sqrt{x^2 + x} = |x|\sqrt{1 + \frac{1}{x}} = x\sqrt{1 + \frac{1}{x}}$ (do $x > 0$).

Bước 4: Thay giới hạn $= \frac{1}{\sqrt{1 + 0} + 1} = \frac{1}{2}$

Kiểm tra: Thử $x = 10000$: $\sqrt{10000^2 + 10000} - 10000 \approx 10000.5 - 10000 = 0.5$ ✓

Bài tập tự luyện

Bài 1

Tính các giới hạn dãy số:

a) $\lim_{n \to +\infty} \frac{n^3 + 2n}{3n^3 - n^2 + 1}$

b) $\lim_{n \to +\infty} \frac{2^n + 3^n}{2^n - 3^n}$

c) $\lim_{n \to +\infty} (\sqrt{n^2 + n} - n)$

Bài 2

Tính các giới hạn hàm số:

a) $\lim_{x \to 3} \frac{x^2 - 9}{x^2 - 5x + 6}$

b) $\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1 + x} - 1}{x}$

c) $\lim_{x \to +\infty} \frac{2x^2 - 3x + 1}{x^2 + x - 2}$

Bài 3

Tính các giới hạn lượng giác:

a) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin 5x}{\sin 3x}$

b) $\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2}$

c) $\lim_{x \to 0} \frac{\tan x - \sin x}{x^3}$

Bài 4

Tìm $a$ để hàm số liên tục tại $x = 1$:

$f(x) = \begin{cases} \frac{x^2 - 1}{x - 1} & \text{nếu } x \neq 1 \\ a & \text{nếu } x = 1 \end{cases}$

Tóm tắt

Công thức quan trọng

Key Points

• Dạng vô định: $\frac{0}{0}$, $\frac{\infty}{\infty}$, $\infty - \infty$, $0 \cdot \infty$
• Giới hạn dãy số: Chia cả tử và mẫu cho $n^k$ (k là bậc cao nhất)
• Liên tục tại điểm: $\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$
• Lưu ý: Kiểm tra giới hạn trái và phải khi hàm số xác định khác nhau hai bên