Lớp 8 - Tóm Tắt Kiến Thức

Phần 1: Đại số

1.1. Phép nhân, chia đa thức

Nhân đơn thức với đa thức: $A \cdot (B + C) = A \cdot B + A \cdot C$

Nhân đa thức với đa thức: $(A + B)(C + D) = AC + AD + BC + BD$

1.2. Bảy hằng đẳng thức đáng nhớ

Cực kỳ quan trọng! Cần thuộc lòng 7 hằng đẳng thức này vì chúng được sử dụng xuyên suốt chương trình cấp 3.

STT	Hằng đẳng thức	Cách nhớ
1	$(A + B)^2 = A^2 + 2AB + B^2$	”Bình phương tổng”
2	$(A - B)^2 = A^2 - 2AB + B^2$	”Bình phương hiệu”
3	$A^2 - B^2 = (A + B)(A - B)$	”Hiệu hai bình phương”
4	$(A + B)^3 = A^3 + 3A^2B + 3AB^2 + B^3$	Hệ số 1-3-3-1
5	$(A - B)^3 = A^3 - 3A^2B + 3AB^2 - B^3$	Dấu xen kẽ
6	$A^3 + B^3 = (A + B)(A^2 - AB + B^2)$	”Tổng hai lập phương”
7	$A^3 - B^3 = (A - B)(A^2 + AB + B^2)$	”Hiệu hai lập phương”

Chứng minh hình học cho $(A+B)^2$ :

Vẽ hình vuông cạnh $(A+B)$ . Chia thành 4 phần:

1 hình vuông cạnh A (diện tích $A^2$ )
1 hình vuông cạnh B (diện tích $B^2$ )
2 hình chữ nhật $A \times B$ (diện tích $2AB$ )

Tổng = $A^2 + 2AB + B^2$ ✓

Mẹo thi quan trọng - Nhận dạng nhanh:

Thấy $x^2 - y^2$ → ngay lập tức = $(x-y)(x+y)$
Thấy $x^2 + 2xy + y^2$ → = $(x+y)^2$
Thấy $x^3 + y^3$ → = $(x+y)(x^2 - xy + y^2)$

Tam giác Pascal (liên hệ lớp 11):

Hệ số của $(A+B)^n$ theo hàng của tam giác Pascal:

$(A+B)^2$ : 1 - 2 - 1
$(A+B)^3$ : 1 - 3 - 3 - 1
$(A+B)^4$ : 1 - 4 - 6 - 4 - 1

Đây là nhị thức Newton (học kỹ ở lớp 11)!

1.3. Phân tích đa thức thành nhân tử

Các phương pháp:

Phương pháp	Ví dụ	Khi nào dùng
Đặt nhân tử chung	$ax + ay = a(x + y)$	Các hạng tử có thừa số chung
Dùng hằng đẳng thức	$x^2 - 9 = (x-3)(x+3)$	Nhận dạng được HĐT
Nhóm hạng tử	$ax + ay + bx + by$	Nhóm để xuất hiện nhân tử chung
Tách hạng tử	$x^2 + 5x + 6$	Tách để có thể nhóm

Thứ tự thử: 1) Đặt nhân tử chung → 2) Hằng đẳng thức → 3) Nhóm → 4) Tách

1.4. Phân thức đại số

Định nghĩa: $\frac{A}{B}$ với $A$ , $B$ là đa thức, $B \neq 0$

Tại sao cần phân thức đại số?

Giống như phân số mở rộng phép chia số tự nhiên, phân thức mở rộng phép chia đa thức. Ví dụ: $\frac{x^2-1}{x+1}$ có thể rút gọn thành $x-1$ (khi $x \neq -1$ ).

Ứng dụng: Biểu diễn tỉ lệ, tốc độ, mật độ trong các bài toán thực tế.

Tính chất cơ bản (tương tự phân số): $\frac{A}{B} = \frac{A \cdot M}{B \cdot M} = \frac{A \div N}{B \div N}$

Mẹo quan trọng: Trước khi rút gọn, phải phân tích tử và mẫu thành nhân tử (dùng 7 HĐT hoặc đặt nhân tử chung).

1.5. Phương trình bậc nhất một ẩn

Dạng tổng quát: $ax + b = 0$ với $a \neq 0$

Nghiệm: $x = -\frac{b}{a}$

Tại sao nghiệm là $-\frac{b}{a}$ ?

Suy luận đơn giản: $ax + b = 0$ $ax = -b \quad \text{(chuyển vế đổi dấu)}$ $x = -\frac{b}{a} \quad \text{(chia cả hai vế cho } a)$

Đây là kỹ thuật “cô lập x” - đưa x về một bên, còn lại về bên kia.

Quy trình giải:

Bỏ ngoặc, quy đồng mẫu (nếu có)
Chuyển vế đổi dấu
Thu gọn và tìm x

Phần 2: Hình học

2.1. Tứ giác

Tổng bốn góc trong tứ giác: $\widehat{A} + \widehat{B} + \widehat{C} + \widehat{D} = 360°$

2.2. Các hình tứ giác đặc biệt

Hình	Định nghĩa	Tính chất
Hình thang	Có đúng một cặp cạnh đối song song
Hình thang cân	Hình thang có hai cạnh bên bằng nhau	Hai đường chéo bằng nhau
Hình bình hành	Có hai cặp cạnh đối song song	Cạnh đối bằng nhau, góc đối bằng nhau
Hình chữ nhật	Hình bình hành có một góc vuông	Bốn góc vuông, đường chéo bằng nhau
Hình thoi	Hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau	Bốn cạnh bằng nhau, đường chéo vuông góc
Hình vuông	Hình chữ nhật có hai cạnh kề bằng nhau	Có tính chất của cả hình chữ nhật và hình thoi

Hình minh họa các tứ giác đặc biệt:

Giải thích: Các tứ giác được phân loại theo tính chất cạnh và góc. Hình vuông là trường hợp đặc biệt nhất, kết hợp tính chất của cả hình chữ nhật (4 góc vuông) và hình thoi (4 cạnh bằng nhau).

2.3. Diện tích đa giác

Hình	Công thức
Hình chữ nhật	$S = a \times b$
Hình vuông	$S = a^2$
Tam giác	$S = \frac{1}{2} \times a \times h$
Hình thang	$S = \frac{1}{2}(a + b) \times h$
Hình bình hành	$S = a \times h$
Hình thoi	$S = \frac{1}{2} \times d_1 \times d_2$

2.4. Tam giác đồng dạng

Định nghĩa: Hai tam giác đồng dạng khi có các góc tương ứng bằng nhau và các cạnh tương ứng tỉ lệ.

Tại sao đồng dạng quan trọng?

Đồng dạng cho phép ta tính kích thước vật thể mà không cần đo trực tiếp:

Đo chiều cao cây: Dùng bóng của cây và bóng của người (tam giác đồng dạng)
Bản đồ: Tỉ lệ 1:100.000 nghĩa là mọi tam giác trên bản đồ đồng dạng với thực tế
Thiết kế: Phóng to/thu nhỏ hình ảnh giữ nguyên tỉ lệ

Liên hệ cấp 3: Đồng dạng là nền tảng cho phép biến hình (similarity transformation).

Ký hiệu: $\triangle ABC \sim \triangle A'B'C'$

Tỉ số đồng dạng: $k = \frac{AB}{A'B'} = \frac{BC}{B'C'} = \frac{CA}{C'A'}$

Mẹo nhận biết nhanh:

Nếu 2 góc bằng nhau → chắc chắn đồng dạng (g.g)
Nếu 3 cạnh tỉ lệ → chắc chắn đồng dạng (c.c.c)

Các trường hợp đồng dạng:

g.g (góc - góc)
c.g.c (cạnh - góc - cạnh)
c.c.c (cạnh - cạnh - cạnh)

Hình minh họa tam giác đồng dạng:

Giải thích: Hai tam giác đồng dạng có các góc tương ứng bằng nhau và các cạnh tương ứng tỉ lệ. Tỉ số đồng dạng k cho biết tam giác này lớn hơn hay nhỏ hơn tam giác kia bao nhiêu lần.

2.5. Định lý Thales

ĐỊNH LÝ NỀN TẢNG: Định lý Thales là cơ sở cho hình học cấp 3, đặc biệt trong khảo sát hình tọa độ và vector.

Định lý Thales: Nếu một đường thẳng song song với một cạnh của tam giác và cắt hai cạnh còn lại, thì nó chia hai cạnh đó thành những đoạn tương ứng tỉ lệ.

Giải thích hình: Tam giác ABC với DE // BC. Điểm D nằm trên cạnh AB, điểm E nằm trên cạnh AC. Đường thẳng DE song song với BC chia hai cạnh AB, AC thành các đoạn AD, DB và AE, EC tỉ lệ với nhau.

Phát biểu chính xác: Cho tam giác ABC, D thuộc AB, E thuộc AC. Nếu DE // BC thì: $\frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC}$

Định lý Thales đảo: Nếu $\frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC}$ thì DE // BC.

Mẹo áp dụng: Khi gặp bài toán có đường song song với một cạnh tam giác, hãy nghĩ ngay đến định lý Thales để lập tỉ lệ thức.

2.6. Đường trung bình của tam giác

Định nghĩa: Đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh của tam giác.

Giải thích hình: M là trung điểm AB, N là trung điểm AC. Đường MN gọi là đường trung bình của tam giác ABC ứng với cạnh BC.

Hai tính chất quan trọng:

Đường trung bình song song với cạnh thứ ba
Đường trung bình bằng một nửa cạnh thứ ba

Công thức: Nếu M, N lần lượt là trung điểm AB, AC thì:

$MN \parallel BC$ (MN song song BC)
$MN = \frac{1}{2}BC$ (MN bằng nửa BC)

Liên hệ với Thales: Đường trung bình là trường hợp đặc biệt của định lý Thales khi $\frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC} = 1$ .

Phần 3: Bất phương trình

3.1. Bất đẳng thức và tính chất

Tính chất cơ bản:

Tính chất	Diễn giải
Cộng	$a < b \Rightarrow a + c < b + c$
Nhân số dương	$a < b, c > 0 \Rightarrow ac < bc$
Nhân số âm	$a < b, c < 0 \Rightarrow ac > bc$ (đổi chiều!)
Bắc cầu	$a < b, b < c \Rightarrow a < c$

LƯU Ý QUAN TRỌNG: Khi nhân hoặc chia hai vế với số âm, phải ĐỔI CHIỀU bất đẳng thức!

3.2. Bất phương trình bậc nhất một ẩn

Dạng tổng quát: $ax + b < 0$ (hoặc $\leq$ , $>$ , $\geq$ )

Cách giải (giống phương trình, chú ý đổi chiều khi nhân/chia số âm):

Ví dụ: Giải BPT $2x - 6 > 0$ $2x > 6$ $x > 3$

Biểu diễn nghiệm trên trục số:

Giải thích: Nửa trục từ 3 đến +∞ biểu diễn tập nghiệm x > 3. Điểm tròn rỗng (○) nghĩa là 3 không thuộc nghiệm.

Phần 4: Hàm số cơ bản

4.1. Khái niệm hàm số

Định nghĩa: Nếu với mỗi giá trị của x có đúng một giá trị của y tương ứng, ta nói y là hàm số của x.

Ký hiệu: $y = f(x)$

Ví dụ: $y = 2x + 1$ , $y = x^2$ , $y = \frac{1}{x}$

4.2. Đồ thị hàm số bậc nhất

Dạng: $y = ax + b$ (với $a \neq 0$ )

Đồ thị: Đường thẳng

Các yếu tố:

a: Hệ số góc (slope) - quyết định độ dốc
b: Tung độ gốc - điểm cắt trục Oy

Giải thích: Đường thẳng $y = ax + b$ cắt trục Oy tại điểm (0, b). Hệ số góc a quyết định độ dốc: a > 0 đi lên, a < 0 đi xuống.

Tính chất:

$a > 0$ : Đồ thị đi lên (hàm đồng biến)
$a < 0$ : Đồ thị đi xuống (hàm nghịch biến)
Hai đường song song ⟺ cùng hệ số góc: $a_1 = a_2$

Phần 5: Thống kê

5.1. Biểu diễn dữ liệu

Các loại biểu đồ:

Biểu đồ cột: So sánh giá trị
Biểu đồ đường: Thể hiện xu hướng theo thời gian
Biểu đồ quạt: Thể hiện tỉ lệ phần trăm

5.2. Phân tích số liệu thống kê

Số trung bình cộng: $\bar{x} = \frac{x_1 + x_2 + ... + x_n}{n}$

Mốt (Mode): Giá trị xuất hiện nhiều nhất

Trung vị (Median): Giá trị ở giữa khi sắp xếp dữ liệu theo thứ tự

Khi nào dùng gì?

Trung bình: Khi dữ liệu phân bố đều
Trung vị: Khi có giá trị bất thường (outliers)
Mốt: Khi quan tâm giá trị phổ biến nhất

Lỗi thường gặp Lớp 8:

Hằng đẳng thức: $(a+b)^2 = a^2 + \mathbf{2ab} + b^2$ , quên $2ab$ → sai!
Phân thức đại số: $\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{ac}{bd}$ nhưng $\frac{a}{b} + \frac{c}{d} \neq \frac{a+c}{b+d}$ !
Định lý Pythagoras: $a^2 + b^2 = c^2$ chỉ khi $c$ là cạnh HUYỀN (cạnh đối diện góc vuông)

Bài tập mẫu

Bài 1: Phân tích thành nhân tử

Phân tích: $x^2 - 6x + 9$

Lời giải:

Nhắc lại HĐT số 2: $(A - B)^2 = A^2 - 2AB + B^2$

Bước 1: Nhận dạng dạng hằng đẳng thức

$x^2$ là $A^2$ → $A = x$
$9 = 3^2$ là $B^2$ → $B = 3$
$6x = 2 \times x \times 3 = 2AB$ → Đúng dạng HĐT số 2!

Bước 2: Áp dụng công thức $x^2 - 6x + 9 = x^2 - 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2 = (x - 3)^2$

Mẹo nhận dạng: Nếu có $A^2 \pm 2AB + B^2$ , nghĩ ngay đến $(A \pm B)^2$ .

Bài 2: Giải phương trình

Giải: $3x - 5 = 2x + 7$

Lời giải:

Nhắc lại: Giải PT bậc nhất bằng cách “cô lập x” - chuyển tất cả hạng chứa x về một vế, số về vế kia (đổi dấu khi chuyển vế).

Bước 1: Chuyển các hạng tử chứa x sang vế trái, số sang vế phải $3x - 2x = 7 + 5$

Lý do: Khi chuyển $2x$ từ vế phải sang vế trái, $+2x$ thành $-2x$ . Tương tự, $-5$ thành $+5$ .

Bước 2: Thu gọn mỗi vế $x = 12$

Kiểm tra: Thay $x = 12$ vào PT gốc:

Vế trái: $3(12) - 5 = 36 - 5 = 31$

Vế phải: $2(12) + 7 = 24 + 7 = 31$ ✓

Bài 3: Diện tích hình thang

Hình thang có hai đáy là 8cm và 12cm, chiều cao 5cm. Tính diện tích.

Lời giải:

Bước 1: Xác định các yếu tố

Đáy lớn: $a = 12$ cm, Đáy nhỏ: $b = 8$ cm
Chiều cao: $h = 5$ cm

Bước 2: Áp dụng công thức diện tích hình thang $S = \frac{1}{2}(a + b) \times h$

Giải thích công thức: Hình thang có thể ghép với hình thang giống nó (lật ngược) thành hình bình hành có đáy $(a+b)$ và cao $h$ . Diện tích hình thang = 1/2 hình bình hành đó.

Bước 3: Thay số và tính $S = \frac{1}{2}(12 + 8) \times 5 = \frac{1}{2} \times 20 \times 5 = 50 \text{ cm}^2$

Bài 4: Tam giác đồng dạng

Cho $\triangle ABC \sim \triangle DEF$ với tỉ số đồng dạng $k = 2$ . Biết $AB = 6$ cm, tính $DE$ .

Lời giải:

Nhắc lại: Hai tam giác đồng dạng có các cạnh tương ứng tỉ lệ, với tỉ số $k = \frac{\text{cạnh tam giác lớn}}{\text{cạnh tam giác nhỏ}}$ .

Bước 1: Hiểu ý nghĩa tỉ số đồng dạng

$k = \frac{AB}{DE} = 2$ nghĩa là $\triangle ABC$ lớn gấp 2 lần $\triangle DEF$

Lý do: $k > 1$ nên tam giác gốc ABC lớn hơn tam giác DEF.

Bước 2: Thiết lập phương trình từ tỉ số $\frac{AB}{DE} = 2$

Bước 3: Thay AB = 6 và giải $\frac{6}{DE} = 2 \Rightarrow DE = \frac{6}{2} = 3 \text{ cm}$

Kiểm tra: $\frac{AB}{DE} = \frac{6}{3} = 2 = k$ ✓

Lưu ý: Nếu $k > 1$ , tam giác gốc lớn hơn; nếu $k < 1$ , tam giác gốc nhỏ hơn.

Bài 5: Định lý Thales

Cho tam giác ABC, D thuộc AB, E thuộc AC sao cho DE // BC. Biết AD = 4cm, DB = 6cm, AE = 5cm. Tính EC.

Lời giải:

Định lý Thales: Nếu một đường thẳng song song với một cạnh của tam giác và cắt hai cạnh còn lại thì nó chia hai cạnh đó thành các đoạn tương ứng tỉ lệ.

Bước 1: Áp dụng định lý Thales (DE // BC) $\frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC}$

Bước 2: Thay số đã biết $\frac{4}{6} = \frac{5}{EC}$

Bước 3: Tính tích chéo để tìm EC $4 \times EC = 6 \times 5 = 30$ $EC = \frac{30}{4} = 7.5 \text{ cm}$

Kiểm tra: $\frac{AD}{DB} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$ và $\frac{AE}{EC} = \frac{5}{7.5} = \frac{2}{3}$ ✓

Bài 6: Đường trung bình

Tam giác ABC có MN là đường trung bình (M thuộc AB, N thuộc AC). Biết BC = 12cm. Tính MN.

Lời giải:

Nhắc lại: Đường trung bình của tam giác:

Song song với cạnh đối diện

Bằng một nửa cạnh đối diện

Bước 1: Xác định đường trung bình

M là trung điểm AB, N là trung điểm AC
MN là đường trung bình ứng với cạnh BC

Bước 2: Áp dụng tính chất $MN = \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2} \times 12 = 6 \text{ cm}$

Kiểm tra: $\frac{MN}{BC} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$ ✓

Liên hệ Thales: Tỉ số $\frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC} = \frac{1}{2}$ (đường trung bình là trường hợp đặc biệt của định lý Thales).

Bài 7: Bất phương trình

Giải BPT: $-2x + 4 \geq 0$

Lời giải:

Bước 1: Chuyển vế hằng số (đổi dấu) $-2x \geq -4$

Bước 2: Chia cả hai vế cho $-2$ $x \leq 2$

QUAN TRỌNG: Khi chia (hoặc nhân) BPT với số ÂM, phải ĐỔI CHIỀU dấu bất đẳng thức!

Ở đây: $-2 < 0$ nên $\geq$ đổi thành $\leq$

Bước 3: Viết tập nghiệm $S = \{x \in \mathbb{R} | x \leq 2\} = (-\infty; 2]$

Kiểm tra: Thử $x = 0$ : $-2(0) + 4 = 4 \geq 0$ ✓. Thử $x = 3$ : $-2(3) + 4 = -2 < 0$ ✗ (đúng vì $3 > 2$ ).

Tóm tắt

Công thức quan trọng

Chủ đề	Công thức	Ghi chú
Đơn thức	$a \cdot x^m \cdot y^n$	a là hệ số, m,n là bậc
Nhân đa thức	$(a+b)(c+d) = ac+ad+bc+bd$	Nhân từng số hạng
Hằng đẳng thức	$(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2$	Bình phương tổng/hiệu
Hằng đẳng thức	$a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$	Hiệu hai bình phương

Key Points

Phân tích đa thức: Đặt nhân tử chung, dùng HĐT
Phương trình bậc 1: Chuyển vế đổi dấu
BPT bậc 1: Nhân/chia số âm đổi chiều
Lưu ý: Tam giác đồng dạng - tỉ số các cạnh tương ứng bằng nhau

Lỗi thường gặp và cách tránh:

Sai	Đúng	Giải thích
$(a+b)^2 = a^2 + b^2$	$= a^2 + 2ab + b^2$	Thiếu $2ab$
$a^2 + b^2 = (a+b)^2$	Không phân tích được	Chỉ hiệu mới khai triển
BPT nhân số âm giữ nguyên	Phải đổi chiều	Rule quan trọng!
$\frac{x}{-2} \gt 1 \Rightarrow x \gt -2$	$x \lt -2$	Nhân số âm đổi chiều

Mẹo nhớ: “Bình phương tổng có ba hạng tử”

Chuyển sang Lớp 9 để tiếp tục ôn tập!