Chương 5: Phương trình mặt phẳng trong không gian

Mục tiêu học tập

Sau khi hoàn thành bài này, bạn sẽ:

• Hiểu khái niệm vector pháp tuyến của mặt phẳng
• Viết được phương trình mặt phẳng ở các dạng
• Tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng
• Xác định vị trí tương đối của các mặt phẳng

§1. Vector pháp tuyến của mặt phẳng

1.1. Định nghĩa

Vector $\vec{n} \neq \vec{0}$ được gọi là vector pháp tuyến của mặt phẳng $(\alpha)$ nếu $\vec{n}$ vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong $(\alpha)$.

Nhận xét: Nếu $\vec{n}$ là vector pháp tuyến của $(\alpha)$ thì $k\vec{n}$ ($k \neq 0$) cũng là vector pháp tuyến của $(\alpha)$.

1.2. Cách tìm vector pháp tuyến

Cách 1: Nếu $(\alpha)$ chứa 2 vector $\vec{u}$ và $\vec{v}$ không cùng phương: $\vec{n} = [\vec{u}, \vec{v}]$ (tích có hướng)

Với $\vec{u} = (u_1, u_2, u_3)$ và $\vec{v} = (v_1, v_2, v_3)$: $\vec{n} = (u_2v_3 - u_3v_2, u_3v_1 - u_1v_3, u_1v_2 - u_2v_1)$

Cách 2: Từ phương trình mặt phẳng $ax + by + cz + d = 0$: $\vec{n} = (a, b, c)$

Hình minh họa mặt phẳng trong không gian:

Giải thích: Vector pháp tuyến $\vec{n}$ vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng. Mặt phẳng được xác định bởi 1 điểm và 1 vector pháp tuyến.

§2. Phương trình mặt phẳng

2.1. Phương trình tổng quát

Mặt phẳng $(\alpha)$ đi qua $M_0(x_0, y_0, z_0)$ với vector pháp tuyến $\vec{n} = (a, b, c)$:

$a(x - x_0) + b(y - y_0) + c(z - z_0) = 0$

Hay dạng khai triển: $ax + by + cz + d = 0$

Quan trọng: Từ PT $ax + by + cz + d = 0$, ta đọc ngay $\vec{n} = (a, b, c)$

2.2. Phương trình đoạn chắn

Mặt phẳng cắt trục $Ox$, $Oy$, $Oz$ lần lượt tại $A(a, 0, 0)$, $B(0, b, 0)$, $C(0, 0, c)$:

$\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$

2.3. Các mặt phẳng đặc biệt

§3. Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng

Công thức

Cho điểm $M_0(x_0, y_0, z_0)$ và mặt phẳng $(\alpha): ax + by + cz + d = 0$.

$d(M_0, (\alpha)) = \frac{|ax_0 + by_0 + cz_0 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$

§4. Vị trí tương đối của hai mặt phẳng

Cho $(\alpha): a_1x + b_1y + c_1z + d_1 = 0$ và $(\beta): a_2x + b_2y + c_2z + d_2 = 0$

Góc giữa hai mặt phẳng

$\cos\varphi = \frac{|a_1a_2 + b_1b_2 + c_1c_2|}{\sqrt{a_1^2 + b_1^2 + c_1^2} \cdot \sqrt{a_2^2 + b_2^2 + c_2^2}}$

Chú ý: Hai mặt phẳng vuông góc khi $a_1a_2 + b_1b_2 + c_1c_2 = 0$

Bài tập mẫu có lời giải

Bài 1: Viết phương trình mặt phẳng

Đề bài: Viết phương trình mặt phẳng $(\alpha)$ đi qua $A(1, 2, -1)$ và có vector pháp tuyến $\vec{n} = (2, -3, 1)$.

Lời giải:

Nhắc lại: PT mặt phẳng qua $M_0(x_0, y_0, z_0)$ với $\vec{n} = (a, b, c)$: $a(x - x_0) + b(y - y_0) + c(z - z_0) = 0$

Bước 1: Áp dụng công thức $2(x - 1) + (-3)(y - 2) + 1(z - (-1)) = 0$

Lý do: Ta thay tọa độ điểm A vào $(x_0, y_0, z_0)$ và thành phần của $\vec{n}$ vào $(a, b, c)$.

Bước 2: Khai triển $2x - 2 - 3y + 6 + z + 1 = 0$

Bước 3: Rút gọn $2x - 3y + z + 5 = 0$

Kiểm tra: Thay A(1, 2, -1): $2(1) - 3(2) + (-1) + 5 = 2 - 6 - 1 + 5 = 0$ ✓

Bài 2: Mặt phẳng qua 3 điểm

Đề bài: Viết phương trình mặt phẳng $(\alpha)$ đi qua 3 điểm $A(1, 0, 0)$, $B(0, 2, 0)$, $C(0, 0, 3)$.

Lời giải:

Phương pháp: Tìm 2 vector chỉ phương $\vec{AB}$, $\vec{AC}$, rồi tính $\vec{n} = [\vec{AB}, \vec{AC}]$

Lý do: Từ 3 điểm ta chưa có $\vec{n}$, nhưng có 2 vector nằm trong mặt phẳng. Tích có hướng của 2 vector này cho ta $\vec{n}$ vuông góc với cả hai.

Bước 1: Tính các vector $\vec{AB} = (-1, 2, 0), \quad \vec{AC} = (-1, 0, 3)$

Bước 2: Tính tích có hướng $\vec{n} = [\vec{AB}, \vec{AC}] = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -1 & 2 & 0 \\ -1 & 0 & 3 \end{vmatrix}$

$= (2 \cdot 3 - 0 \cdot 0, 0 \cdot (-1) - (-1) \cdot 3, (-1) \cdot 0 - 2 \cdot (-1))$ $= (6, 3, 2)$

Bước 3: Viết PT mặt phẳng qua A với $\vec{n} = (6, 3, 2)$ $6(x - 1) + 3(y - 0) + 2(z - 0) = 0$ $6x + 3y + 2z - 6 = 0$

Kiểm tra dạng đoạn chắn: $\frac{x}{1} + \frac{y}{2} + \frac{z}{3} = 1$ ✓

Bài 3: Khoảng cách

Đề bài: Tính khoảng cách từ $M(2, 1, -3)$ đến mặt phẳng $(\alpha): 2x - 2y + z + 3 = 0$.

Lời giải:

Công thức: $d = \frac{|ax_0 + by_0 + cz_0 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$

Bước 1: Xác định các hệ số

• $a = 2$, $b = -2$, $c = 1$, $d = 3$
• $M(2, 1, -3)$

Bước 2: Thay vào công thức $d(M, (\alpha)) = \frac{|2(2) + (-2)(1) + 1(-3) + 3|}{\sqrt{4 + 4 + 1}}$

Bước 3: Tính toán $d = \frac{|4 - 2 - 3 + 3|}{\sqrt{9}} = \frac{|2|}{3} = \frac{2}{3}$

Bài tập tự luyện

Bài 1

Viết PT mặt phẳng qua $A(2, -1, 3)$, song song với mặt phẳng $2x - y + 3z + 5 = 0$.

Bài 2

Viết PT mặt phẳng qua $A(1, 2, 3)$ và vuông góc với cả hai mặt phẳng:

• $(\alpha): x + y - z - 2 = 0$
• $(\beta): 2x - y + z + 1 = 0$

Bài 3

Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A'B'C'D'$ với $A(0, 0, 0)$, $B(3, 0, 0)$, $D(0, 2, 0)$, $A'(0, 0, 1)$. a) Viết PT các mặt phẳng $(ABCD)$, $(ABB'A')$ b) Tính khoảng cách từ $A'$ đến mặt phẳng $(ABCD)$

Tóm tắt công thức

Phương trình mặt phẳng tổng quát: $ax + by + cz + d = 0$

Vector pháp tuyến: $\vec{n} = (a, b, c)$

Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng: $d = \frac{|ax_0 + by_0 + cz_0 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$

Góc giữa 2 mặt phẳng: $\cos\varphi = \frac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{|\vec{n_1}| \cdot |\vec{n_2}|}$

Hai mặt phẳng vuông góc: $a_1a_2 + b_1b_2 + c_1c_2 = 0$