Chương 1: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

Mục tiêu học tập

Sau khi hoàn thành chương này, bạn sẽ:

• Thành thạo quy trình khảo sát hàm số
• Nhận dạng và vẽ đồ thị các loại hàm số
• Tìm cực trị, GTLN-GTNN của hàm số
• Áp dụng vào bài toán thực tế

Phần 1: Tính đơn điệu của hàm số

1.1. Định nghĩa

Cho hàm số $y = f(x)$ xác định trên khoảng $(a, b)$:

• Đồng biến trên $(a, b)$: $\forall x_1, x_2 \in (a,b), x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) < f(x_2)$
• Nghịch biến trên $(a, b)$: $\forall x_1, x_2 \in (a,b), x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) > f(x_2)$

Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên K gọi chung là đơn điệu trên K.

1.2. Điều kiện cần

Cho $f$ có đạo hàm trên khoảng K:

• Nếu $f$ đồng biến trên K thì $f'(x) \geq 0, \forall x \in K$ (dấu = xảy ra tại hữu hạn điểm)
• Nếu $f$ nghịch biến trên K thì $f'(x) \leq 0, \forall x \in K$ (dấu = xảy ra tại hữu hạn điểm)

1.3. Điều kiện đủ (dùng đạo hàm)

Cho $f$ có đạo hàm trên $(a, b)$:

• $f'(x) > 0, \forall x \in (a,b) \Rightarrow f$ đồng biến trên $(a,b)$
• $f'(x) < 0, \forall x \in (a,b) \Rightarrow f$ nghịch biến trên $(a,b)$
• $f'(x) = 0, \forall x \in (a,b) \Rightarrow f$ hằng số trên $(a,b)$

1.4. Quy tắc xét tính đơn điệu (4 bước)

Hình minh họa bảng biến thiên:

Giải thích: Bảng biến thiên thể hiện dấu của đạo hàm f’(x) và chiều biến thiên của hàm số. Khi f’(x) > 0, mũi tên đi lên (đồng biến). Khi f’(x) < 0, mũi tên đi xuống (nghịch biến).

1.5. Bài tập dạng: Hàm số chứa tham số m

Dạng 1: Hàm bậc 3 đồng biến trên $\mathbb{R}$

Cho $y = ax^3 + bx^2 + cx + d$ $(a \neq 0)$. Để hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$:

• $a > 0$ và $\Delta' = b^2 - 3ac \leq 0$

Dạng 2: Hàm phân thức đồng biến trên TXĐ

Cho $y = \frac{ax + b}{cx + d}$ $(c \neq 0)$.

$y' = \frac{ad - bc}{(cx + d)^2}$

• Đồng biến khi $ad - bc > 0$
• Nghịch biến khi $ad - bc < 0$

1.6. Hàm số chứa giá trị tuyệt đối $y = |f(x)|$

Quy tắc vẽ bảng biến thiên:

1. Lập BBT của $f(x)$
2. Giữ nguyên phần $f(x) \geq 0$
3. Lấy đối xứng qua $y = 0$ phần $f(x) < 0$

Ví dụ: Cho $y = |x^2 - 4|$.

Phân tích: $f(x) = x^2 - 4 = 0 \Rightarrow x = \pm 2$

• Khi $|x| \geq 2$: $y = x^2 - 4$ (giữ nguyên)
• Khi $|x| < 2$: $y = -(x^2 - 4) = 4 - x^2$ (đối xứng)

Kết luận: Hàm số đồng biến trên $(-2, 0) \cup (2, +\infty)$, nghịch biến trên $(-\infty, -2) \cup (0, 2)$.

Phần 2: Cực trị của hàm số

2.1. Định nghĩa

Cực đại: $x_0$ là điểm cực đại nếu $f(x) < f(x_0)$ với mọi $x$ trong lân cận của $x_0$.

Cực tiểu: $x_0$ là điểm cực tiểu nếu $f(x) > f(x_0)$ với mọi $x$ trong lân cận của $x_0$.

2.2. Điều kiện cần (Quy tắc 1)

Nếu $f$ có cực trị tại $x_0$ và $f'(x_0)$ tồn tại thì $f'(x_0) = 0$.

Quy trình tìm cực trị:

1. Tìm $f'(x)$
2. Giải $f'(x) = 0$
3. Lập bảng biến thiên hoặc dùng đạo hàm cấp hai

2.3. Quy tắc 1: Dùng bảng biến thiên

• $f'(x)$ đổi dấu từ $+$ sang $-$ qua $x_0$: $x_0$ là điểm cực đại
• $f'(x)$ đổi dấu từ $-$ sang $+$ qua $x_0$: $x_0$ là điểm cực tiểu

2.4. Quy tắc 2: Dùng đạo hàm cấp hai

Nếu $f'(x_0) = 0$ và $f''(x_0) \neq 0$:

• $f''(x_0) < 0 \Rightarrow x_0$ là điểm cực đại
• $f''(x_0) > 0 \Rightarrow x_0$ là điểm cực tiểu

2.5. Điểm uốn (Inflection Point)

Định nghĩa: Điểm $x_0$ là điểm uốn nếu $f''(x)$ đổi dấu qua $x_0$.

Ý nghĩa hình học: Tại điểm uốn, đồ thị chuyển từ lõm lên sang lõm xuống (hoặc ngược lại).

Điều kiện cần: $f''(x_0) = 0$ hoặc $f''(x_0)$ không tồn tại.

Phần 3: Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất

3.1. Khái niệm

GTLN của $f$ trên $D$: $M = \max_{x \in D} f(x)$

GTNN của $f$ trên $D$: $m = \min_{x \in D} f(x)$

3.2. Quy tắc tìm GTLN-GTNN trên đoạn $[a,b]$

Bước 1: Tính $f'(x)$, giải $f'(x) = 0$ trong $(a,b)$. Tìm các nghiệm $x_1, x_2, ..., x_n$.

Bước 2: Tính $f(a)$, $f(b)$, $f(x_1)$, $f(x_2)$, …, $f(x_n)$.

Bước 3: So sánh để tìm GTLN và GTNN.

Phần 4: Khảo sát hàm số

4.1. Sơ đồ khảo sát tổng quát

1. Tập xác định $D$
2. Sự biến thiên
   • Giới hạn tại vô cực, tiệm cận (nếu có)
   • Đạo hàm $y'$, nghiệm của $y' = 0$
   • Bảng biến thiên
3. Đồ thị
   • Các điểm đặc biệt: giao với trục tọa độ, cực trị
   • Vẽ đồ thị

4.2. Tiệm cận

Tiệm cận đứng: Đường thẳng $x = a$ nếu $\lim_{x \to a} f(x) = \pm\infty$

Tiệm cận ngang: Đường thẳng $y = b$ nếu $\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = b$

Tiệm cận xiên: Đường thẳng $y = ax + b$ nếu $\lim_{x \to \pm\infty} [f(x) - (ax + b)] = 0$

Phần 5: Các dạng hàm số cơ bản

5.1. Hàm bậc ba: $y = ax^3 + bx^2 + cx + d$ ($a \neq 0$)

Đạo hàm: $y' = 3ax^2 + 2bx + c$

Dạng đồ thị:

• Nếu $\Delta_{y'} > 0$: Có 2 cực trị
• Nếu $\Delta_{y'} \leq 0$: Không có cực trị (đồ thị đơn điệu)

Hình minh họa bảng biến thiên:

Giải thích: Bảng biến thiên thể hiện sự thay đổi dấu của đạo hàm f’(x) và chiều biến thiên của hàm f(x). CĐ = Cực đại (f’ đổi từ + sang -), CT = Cực tiểu (f’ đổi từ - sang +).

Hình minh họa đồ thị hàm bậc ba:

Giải thích: Khi a > 0, đồ thị đi từ -∞ lên +∞, có cực đại trước rồi cực tiểu. Khi a < 0, đồ thị đi từ +∞ xuống -∞, có cực tiểu trước rồi cực đại.

5.2. Hàm trùng phương: $y = ax^4 + bx^2 + c$ ($a \neq 0$)

Đặc điểm: Đồ thị đối xứng qua trục Oy

Đạo hàm: $y' = 4ax^3 + 2bx = 2x(2ax^2 + b)$

Nghiệm $y' = 0$: $x = 0$ và $x = \pm\sqrt{-\frac{b}{2a}}$ (nếu $\frac{b}{a} < 0$)

5.3. Hàm phân thức: $y = \frac{ax + b}{cx + d}$ ($c \neq 0$, $ad - bc \neq 0$)

Tập xác định: $D = \mathbb{R} \setminus \lbrace -\frac{d}{c} \rbrace$

Tiệm cận đứng: $x = -\frac{d}{c}$

Tiệm cận ngang: $y = \frac{a}{c}$

Đạo hàm: $y' = \frac{ad - bc}{(cx + d)^2}$

• Nếu $ad - bc > 0$: Hàm số đồng biến (không có cực trị)
• Nếu $ad - bc < 0$: Hàm số nghịch biến (không có cực trị)

5.4. Hàm phân thức bậc hai/bậc nhất: $y = \frac{ax^2 + bx + c}{dx + e}$ ($d \neq 0$)

Có tiệm cận xiên nếu bậc tử lớn hơn bậc mẫu.

Bài tập mẫu có lời giải

Bài 1: Khảo sát hàm bậc ba

Đề bài: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số $y = x^3 - 3x + 2$

Lời giải chi tiết:

1. Tập xác định: $D = \mathbb{R}$

2. Sự biến thiên:

• Giới hạn: $\lim_{x \to -\infty} y = -\infty$, $\lim_{x \to +\infty} y = +\infty$

• Đạo hàm: $y' = 3x^2 - 3 = 3(x^2 - 1) = 3(x-1)(x+1)$

• $y' = 0 \Leftrightarrow x = 1$ hoặc $x = -1$

Bảng biến thiên:

• Cực đại: $(-1, 4)$
• Cực tiểu: $(1, 0)$

3. Đồ thị:

• Giao với Oy: $(0, 2)$
• Giao với Ox: Giải $x^3 - 3x + 2 = 0 \Rightarrow (x-1)^2(x+2) = 0$
  • $x = 1$ (nghiệm kép), $x = -2$

Đồ thị đi qua các điểm: $(-2, 0)$, $(0, 2)$, $(1, 0)$, cực đại tại $(-1, 4)$.

Đồ thị tương tác hàm bậc ba $y = x^3 - 3x + 2$:

Bài 2: Khảo sát hàm phân thức

Đề bài: Khảo sát hàm số $y = \frac{2x + 1}{x - 1}$

Lời giải chi tiết:

1. Tập xác định: $D = \mathbb{R} \setminus \lbrace 1 \rbrace$

2. Sự biến thiên:

• Tiệm cận đứng: $x = 1$

• Tiệm cận ngang: $y = 2$

• Đạo hàm: $y' = \frac{2(x-1) - (2x+1)}{(x-1)^2} = \frac{-3}{(x-1)^2} < 0$

Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng xác định.

Bảng biến thiên:

3. Đồ thị:

• Giao với Oy: $(0, -1)$
• Giao với Ox: $(-\frac{1}{2}, 0)$

Đồ thị tương tác hàm phân thức $y = \frac{2x+1}{x-1}$:

Bài 3: Tìm GTLN-GTNN

Đề bài: Tìm GTLN và GTNN của $f(x) = x^3 - 3x + 2$ trên $[-2, 2]$.

Lời giải:

$f'(x) = 3x^2 - 3 = 0 \Rightarrow x = \pm 1$ (đều thuộc $[-2, 2]$)

Tính giá trị:

• $f(-2) = -8 + 6 + 2 = 0$
• $f(-1) = -1 + 3 + 2 = 4$
• $f(1) = 1 - 3 + 2 = 0$
• $f(2) = 8 - 6 + 2 = 4$

Kết luận: $\max f = 4$ tại $x = -1$ và $x = 2$; $\min f = 0$ tại $x = -2$ và $x = 1$.

Bài 4: Bài toán thực tế - Số lượng vi khuẩn (GTLN)

Đề bài: Trong một thí nghiệm, người ta cấy 1000 vi khuẩn vào môi trường dinh dưỡng. Bằng thực nghiệm, xác định được số lượng vi khuẩn thay đổi theo thời gian bởi công thức:

$N(t) = 1000 + \frac{100t}{100 + t^2} \text{ (con)}$

trong đó $t$ là thời gian (giờ). Tìm số lượng vi khuẩn lớn nhất kể từ khi thực hiện cấy vi khuẩn vào môi trường dinh dưỡng.

Lời giải:

Nhắc lại: Để tìm GTLN của hàm số trên khoảng $(0; +\infty)$, ta lập bảng biến thiên.

Bước 1: Tính đạo hàm $N'(t) = \frac{100(100 + t^2) - 100t \cdot 2t}{(100 + t^2)^2} = \frac{100(100 - t^2)}{(100 + t^2)^2}$

Bước 2: Tìm điểm dừng $N'(t) = 0 \Leftrightarrow 100 - t^2 = 0 \Leftrightarrow t = 10 \text{ (với } t > 0\text{)}$

Lý do: Ta chỉ xét $t > 0$ vì đây là thời gian thực.

Bước 3: Lập bảng biến thiên

Kết luận: Số lượng vi khuẩn lớn nhất là 1005 con đạt được tại thời điểm $t = 10$ giờ.

Bài 5: Bài toán tối ưu hóa - Diện tích lớn nhất

Đề bài: Một người có 100m dây thép muốn làm hàng rào hình chữ nhật dựa vào một bức tường (không cần rào phía tường). Tìm kích thước hình chữ nhật để diện tích lớn nhất.

Lời giải:

Phương pháp: Thiết lập hàm diện tích theo 1 biến, rồi tìm GTLN.

Bước 1: Đặt biến Gọi $x$ (m) là chiều rộng (cạnh vuông góc với tường), $y$ (m) là chiều dài.

Điều kiện: $x > 0$, $y > 0$.

Bước 2: Thiết lập ràng buộc $2x + y = 100 \Rightarrow y = 100 - 2x$

Điều kiện: $0 < x < 50$.

Bước 3: Hàm diện tích $S(x) = x \cdot y = x(100 - 2x) = 100x - 2x^2$

Lý do: Ta biểu diễn $y$ theo $x$ để có hàm 1 biến dễ khảo sát.

Bước 4: Tìm GTLN $S'(x) = 100 - 4x = 0 \Rightarrow x = 25$

$S''(x) = -4 < 0$ → Cực đại tại $x = 25$.

Kết luận: Kích thước tối ưu: $x = 25$ m, $y = 50$ m. Diện tích lớn nhất: $S = 1250$ m².

Bài 6: Bài toán GTLN-GTNN trên khoảng

Đề bài: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất (nếu có) của hàm số: $f(x) = \frac{x^2 + 9}{x}$ trên khoảng $(0; +\infty)$.

Lời giải:

Nhắc lại: Trên khoảng mở, GTLN-GTNN có thể không tồn tại. Ta dùng bảng biến thiên.

Bước 1: Đơn giản hàm số $f(x) = x + \frac{9}{x}$

Bước 2: Tính đạo hàm $f'(x) = 1 - \frac{9}{x^2} = \frac{x^2 - 9}{x^2}$

Bước 3: Tìm điểm dừng $f'(x) = 0 \Leftrightarrow x^2 = 9 \Leftrightarrow x = 3 \text{ (với } x > 0\text{)}$

Bước 4: Bảng biến thiên

Lý do: Khi $x \to 0^+$ hoặc $x \to +\infty$, hàm số tiến đến $+\infty$ nên không có GTLN.

Kết luận:

• $\min f(x) = 6$ tại $x = 3$
• Không có GTLN

Bài 7: Hàm số chứa tham số m

Đề bài: Cho hàm số $y = x^3 - 3x^2 + m$. Tìm $m$ để hàm số đạt cực đại bằng 5.

Lời giải:

Nhắc lại: Để tìm điểm cực trị, giải $y' = 0$.

Bước 1: Tính đạo hàm $y' = 3x^2 - 6x = 3x(x - 2)$ $y' = 0 \Leftrightarrow x = 0 \text{ hoặc } x = 2$

Bước 2: Xét dấu đạo hàm

Lý do: $y'$ đổi dấu từ $+$ sang $-$ qua $x = 0$ nên $x = 0$ là điểm cực đại.

Bước 3: Tính giá trị cực đại $y_{CD} = y(0) = 0 - 0 + m = m$

Bước 4: Áp dụng điều kiện $y_{CD} = 5 \Rightarrow m = 5$

Kiểm tra: Với $m = 5$: $y = x^3 - 3x^2 + 5$, cực đại tại $(0, 5)$ ✓

Bài tập tự luyện

Bài 1

Khảo sát và vẽ đồ thị các hàm số:

a) $y = x^3 - 3x^2 + 2$

b) $y = x^4 - 2x^2 + 1$

c) $y = \frac{x - 2}{x + 1}$

Bài 2

Tìm GTLN, GTNN:

a) $f(x) = x^4 - 2x^2 + 3$ trên $[-2, 3]$

b) $f(x) = \frac{x}{x^2 + 1}$ trên $\mathbb{R}$

Bài 3

Cho hàm số $y = x^3 + 3x^2 + mx + 1$. Tìm $m$ để hàm số:

a) Có cực trị

b) Đồng biến trên $\mathbb{R}$

Bài 4

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị $y = \frac{x + 1}{x - 2}$:

a) Tại điểm có hoành độ $x = 3$

b) Có hệ số góc bằng $-3$

Tóm tắt

Công thức quan trọng

Key Points

• Cực trị: $y' = 0$ và đổi dấu
• Tiệm cận đứng: $x = x_0$ nếu $\lim_{x \to x_0} f(x) = \pm\infty$
• Tiệm cận ngang: $y = L$ nếu $\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = L$
• Lưu ý: GTLN/GTNN trên đoạn = so sánh $f$ tại các điểm tới hạn và hai đầu mút