Chương 2: Tọa độ của Vectơ trong không gian

Mục tiêu học tập

Sau khi hoàn thành chương này, bạn sẽ:

• Viết được phương trình mặt phẳng và đường thẳng
• Tính khoảng cách, góc trong không gian
• Giải các bài toán về vị trí tương đối

Phần 1: Phương trình mặt phẳng

1.1. Phương trình tổng quát

Mặt phẳng $(P)$ có phương trình tổng quát:

$Ax + By + Cz + D = 0$

với $\vec{n} = (A, B, C)$ là vector pháp tuyến của $(P)$.

1.2. Các dạng phương trình mặt phẳng

Dạng 1: Qua điểm $M_0(x_0, y_0, z_0)$ với VTPT $\vec{n} = (A, B, C)$:

$A(x - x_0) + B(y - y_0) + C(z - z_0) = 0$

Dạng 2: Qua điểm $M_0$ và có hai vector chỉ phương $\vec{a}$, $\vec{b}$:

VTPT $\vec{n} = \vec{a} \times \vec{b}$

Dạng 3: Qua 3 điểm $A$, $B$, $C$ không thẳng hàng:

Tìm $\vec{AB}$, $\vec{AC}$, rồi $\vec{n} = \vec{AB} \times \vec{AC}$

1.3. Mặt phẳng chứa trục tọa độ

Minh họa tương tác tọa độ trong không gian:

Hình minh họa tọa độ điểm trong không gian Oxyz:

Giải thích: Điểm M(x, y, z) được xác định bởi 3 tọa độ. Hình chiếu M’ của M lên mặt phẳng Oxy có tọa độ (x, y, 0). Khoảng cách OM = √(x² + y² + z²).

Hình minh họa mặt phẳng và vector pháp tuyến:

Giải thích: Mặt phẳng (P) được xác định bởi điểm M₀ và vector pháp tuyến →n = (A, B, C). Hai vector →a, →b nằm trên (P) và →n ⊥ →a, →n ⊥ →b. Phương trình: A(x-x₀) + B(y-y₀) + C(z-z₀) = 0.

Phần 2: Phương trình đường thẳng

2.1. Phương trình tham số

Đường thẳng $d$ qua điểm $M_0(x_0, y_0, z_0)$ với VTCP $\vec{u} = (a, b, c)$:

$\begin{cases} x = x_0 + at \\ y = y_0 + bt \\ z = z_0 + ct \end{cases} \quad (t \in \mathbb{R})$

2.2. Phương trình chính tắc

$\frac{x - x_0}{a} = \frac{y - y_0}{b} = \frac{z - z_0}{c}$

(với điều kiện $a, b, c \neq 0$)

2.3. Đường thẳng là giao của hai mặt phẳng

$d: \begin{cases} A_1x + B_1y + C_1z + D_1 = 0 \\ A_2x + B_2y + C_2z + D_2 = 0 \end{cases}$

VTCP: $\vec{u} = \vec{n_1} \times \vec{n_2}$

Phần 3: Các công thức khoảng cách

3.1. Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng

Khoảng cách từ $M_0(x_0, y_0, z_0)$ đến $(P): Ax + By + Cz + D = 0$:

$d(M_0, (P)) = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$

3.2. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song

$(P): Ax + By + Cz + D_1 = 0$ và $(Q): Ax + By + Cz + D_2 = 0$

$d((P), (Q)) = \frac{|D_1 - D_2|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$

3.3. Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng

Khoảng cách từ $M$ đến đường thẳng $d$ qua $M_0$ với VTCP $\vec{u}$:

$d(M, d) = \frac{|\vec{M_0M} \times \vec{u}|}{|\vec{u}|}$

3.4. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

$d_1$ qua $M_1$ với VTCP $\vec{u_1}$, $d_2$ qua $M_2$ với VTCP $\vec{u_2}$:

$d(d_1, d_2) = \frac{|[\vec{u_1}, \vec{u_2}] \cdot \vec{M_1M_2}|}{|\vec{u_1} \times \vec{u_2}|}$

Phần 4: Góc trong không gian

4.1. Góc giữa hai đường thẳng

$\cos(\widehat{d_1, d_2}) = \frac{|\vec{u_1} \cdot \vec{u_2}|}{|\vec{u_1}| \cdot |\vec{u_2}|}$

(Lấy giá trị tuyệt đối vì góc giữa hai đường thẳng từ $0°$ đến $90°$)

4.2. Góc giữa hai mặt phẳng

$\cos(\widehat{(P), (Q)}) = \frac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{|\vec{n_1}| \cdot |\vec{n_2}|}$

4.3. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

$\sin(\widehat{d, (P)}) = \frac{|\vec{u} \cdot \vec{n}|}{|\vec{u}| \cdot |\vec{n}|}$

Phần 5: Vị trí tương đối

5.1. Hai mặt phẳng

$(P): Ax + By + Cz + D_1 = 0$ và $(Q): A'x + B'y + C'z + D_2 = 0$

5.2. Đường thẳng và mặt phẳng

Đường thẳng $d$ với VTCP $\vec{u}$, mặt phẳng $(P)$ với VTPT $\vec{n}$:

5.3. Hai đường thẳng

Điều kiện đồng phẳng: $[\vec{u_1}, \vec{u_2}] \cdot \vec{M_1M_2} = 0$

Phần 6: Mặt cầu trong hệ tọa độ

6.1. Phương trình mặt cầu

Dạng 1: Tâm $I(a, b, c)$, bán kính $R$:

$(x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = R^2$

Dạng 2: Khai triển:

$x^2 + y^2 + z^2 - 2ax - 2by - 2cz + d = 0$

với $R^2 = a^2 + b^2 + c^2 - d > 0$

Bài tập mẫu có lời giải

Bài 1: Viết PT mặt phẳng

Đề bài: Viết PT mặt phẳng $(P)$ qua $A(1, 2, 3)$ và có VTPT $\vec{n} = (2, -1, 3)$.

Lời giải:

Nhắc lại: PT mặt phẳng qua $M(x_0, y_0, z_0)$ có VTPT $(a, b, c)$: $a(x-x_0) + b(y-y_0) + c(z-z_0) = 0$

Bước 1: Thay điểm A và VTPT vào công thức $2(x - 1) + (-1)(y - 2) + 3(z - 3) = 0$

Bước 2: Khai triển và rút gọn $2x - 2 - y + 2 + 3z - 9 = 0$

Lý do: Nhân phân phối từng hạng tử rồi gộp các hằng số.

Bước 3: Viết PT dạng tổng quát $2x - y + 3z - 9 = 0$

Bài 2: Viết PT đường thẳng

Đề bài: Viết PT đường thẳng $d$ qua $A(1, 0, 2)$ và $B(3, -1, 4)$.

Lời giải:

Nhắc lại: VTCP của đường thẳng qua 2 điểm là $\vec{AB}$

Bước 1: Tìm VTCP $\vec{AB} = (3-1, -1-0, 4-2) = (2, -1, 2)$

Lý do: VTCP chỉ hướng của đường thẳng, tính bằng hiệu tọa độ.

Bước 2: Viết PT tham số $\begin{cases} x = 1 + 2t \\ y = -t \\ z = 2 + 2t \end{cases}$

Bước 3: Viết PT chính tắc $\frac{x - 1}{2} = \frac{y}{-1} = \frac{z - 2}{2}$

Bài 3: Khoảng cách điểm đến mặt phẳng

Đề bài: Tính khoảng cách từ $M(1, 2, 3)$ đến mặt phẳng $(P): 2x - 2y + z - 5 = 0$.

Lời giải:

Nhắc lại: $d(M, (P)) = \frac{|ax_0 + by_0 + cz_0 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$

Bước 1: Xác định các hệ số $a = 2$, $b = -2$, $c = 1$, $d = -5$

Bước 2: Tính tử số $|2(1) - 2(2) + 1(3) - 5| = |2 - 4 + 3 - 5| = |-4| = 4$

Bước 3: Tính mẫu số $\sqrt{4 + 4 + 1} = \sqrt{9} = 3$

Lý do: Mẫu số là độ dài của VTPT $(2, -2, 1)$.

Bước 4: Tính khoảng cách $d = \frac{4}{3}$

Bài 4: Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Đề bài: Tính góc giữa đường thẳng $d$ có VTCP $\vec{u} = (1, 1, 0)$ và mặt phẳng $(P)$ có VTPT $\vec{n} = (1, 0, 1)$.

Lời giải:

Nhắc lại: $\sin\alpha = \frac{|\vec{u} \cdot \vec{n}|}{|\vec{u}| \cdot |\vec{n}|}$

Bước 1: Tính tích vô hướng $\vec{u} \cdot \vec{n} = 1 \cdot 1 + 1 \cdot 0 + 0 \cdot 1 = 1$

Bước 2: Tính độ dài các vector $|\vec{u}| = \sqrt{1 + 1 + 0} = \sqrt{2}$ $|\vec{n}| = \sqrt{1 + 0 + 1} = \sqrt{2}$

Bước 3: Tính sin góc $\sin\alpha = \frac{|1|}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{1}{2}$

Lý do: Góc giữa đường thẳng và MP là góc giữa $\vec{u}$ và hình chiếu lên MP, nên dùng sin thay vì cos.

Bước 4: Tìm góc $\alpha = 30°$

Bài 5: Giao điểm đường thẳng và mặt phẳng

Đề bài: Tìm giao điểm của $d: \frac{x - 1}{2} = \frac{y + 1}{1} = \frac{z}{-1}$ và $(P): x + y + z - 2 = 0$.

Lời giải:

Phương pháp: Thay PT tham số của $d$ vào PT mặt phẳng, giải tìm $t$.

Bước 1: Viết PT tham số $\begin{cases} x = 1 + 2t \\ y = -1 + t \\ z = -t \end{cases}$

Bước 2: Thay vào PT mặt phẳng $(1 + 2t) + (-1 + t) + (-t) - 2 = 0$

$2t - 2 = 0 \Rightarrow t = 1$

Lý do: Điểm giao thỏa mãn cả PT đường thẳng và PT mặt phẳng.

Bước 3: Tìm tọa độ giao điểm $M = (1 + 2 \cdot 1, -1 + 1, -1) = (3, 0, -1)$

Kiểm tra: $3 + 0 + (-1) - 2 = 0$ ✓

Bài tập tự luyện

Bài 1

Viết PT mặt phẳng:

a) Qua 3 điểm $A(1, 0, 0)$, $B(0, 2, 0)$, $C(0, 0, 3)$

b) Qua $A(1, 2, 3)$ và song song với $(P): 2x - y + 3z - 5 = 0$

Bài 2

Tính khoảng cách:

a) Từ $A(1, 1, 1)$ đến $(P): x + 2y - 2z + 6 = 0$

b) Giữa hai mặt phẳng song song $x + 2y - 2z + 1 = 0$ và $x + 2y - 2z - 8 = 0$

Bài 3

Viết PT đường thẳng:

a) Qua $A(1, 2, 3)$ và vuông góc với $(P): x + y + z - 1 = 0$

b) Qua $A(1, 0, 1)$ và song song với $d: \frac{x}{1} = \frac{y - 1}{2} = \frac{z + 1}{-1}$

Bài 4

Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của $A(1, 2, 3)$ lên mặt phẳng $(P): x + y + z - 3 = 0$.

Bài 5

Viết PT mặt cầu:

a) Tâm $I(1, 2, 3)$, bán kính $R = 5$

b) Qua 4 điểm $A(1, 0, 0)$, $B(0, 1, 0)$, $C(0, 0, 1)$, $D(1, 1, 1)$

Tóm tắt

Công thức quan trọng

Key Points

• Trung điểm: $M = \left(\frac{x_A + x_B}{2}, \frac{y_A + y_B}{2}, \frac{z_A + z_B}{2}\right)$
• Trọng tâm tam giác: $G = \left(\frac{x_A + x_B + x_C}{3}, ...\right)$
• Vector vuông góc: $\vec{a} \perp \vec{b} \Leftrightarrow \vec{a} \cdot \vec{b} = 0$
• Lưu ý: Tích có hướng cho vector pháp tuyến mặt phẳng