Chương 7: Phương trình đường thẳng

Mục tiêu học tập

Sau khi hoàn thành chương này, bạn sẽ:

• Viết phương trình đường thẳng ở các dạng khác nhau
• Tính khoảng cách, góc giữa hai đường thẳng
• Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng

Phần 1: Các dạng phương trình đường thẳng

1.1. Phương trình tổng quát

Đường thẳng $d$ có phương trình tổng quát:

$ax + by + c = 0 \quad (a^2 + b^2 \neq 0)$

Vector pháp tuyến: $\vec{n} = (a, b)$

Vector chỉ phương: $\vec{u} = (-b, a)$ hoặc $(b, -a)$

1.2. Phương trình tham số

Đường thẳng qua $M(x_0, y_0)$ có vector chỉ phương $\vec{u} = (u_1, u_2)$:

$\begin{cases} x = x_0 + tu_1 \\ y = y_0 + tu_2 \end{cases} \quad (t \in \mathbb{R})$

1.3. Phương trình chính tắc

$\frac{x - x_0}{u_1} = \frac{y - y_0}{u_2}$

1.4. Phương trình đoạn chắn

Đường thẳng cắt Ox tại $(a, 0)$ và Oy tại $(0, b)$:

$\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1 \quad (a, b \neq 0)$

Hình minh họa các dạng phương trình:

Giải thích: Đường thẳng có thể biểu diễn bằng nhiều dạng phương trình khác nhau. Vector pháp tuyến →n vuông góc với đường thẳng, vector chỉ phương →u song song với đường thẳng.

Khám phá tương tác đường thẳng:

Hướng dẫn: Nhập $2x + 3y - 6 = 0$ để thấy đường thẳng. Thay đổi hệ số để quan sát sự thay đổi vị trí, độ dốc.

Phần 2: Viết phương trình đường thẳng

2.1. Qua một điểm, biết hệ số góc

Đường thẳng qua $M(x_0, y_0)$ có hệ số góc $k$:

$y - y_0 = k(x - x_0)$

hoặc: $y = kx + (y_0 - kx_0)$

2.2. Qua hai điểm

Đường thẳng qua $A(x_1, y_1)$ và $B(x_2, y_2)$:

$\frac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \frac{y - y_1}{y_2 - y_1}$

2.3. Song song hoặc vuông góc với đường thẳng cho trước

Cho $d: ax + by + c = 0$

Song song với d, qua M(x₀, y₀): $a(x - x_0) + b(y - y_0) = 0$ hay: $ax + by - ax_0 - by_0 = 0$

Vuông góc với d, qua M(x₀, y₀): $b(x - x_0) - a(y - y_0) = 0$ hay: $bx - ay - bx_0 + ay_0 = 0$

Phần 3: Vị trí tương đối của hai đường thẳng

Cho $d_1: a_1x + b_1y + c_1 = 0$ và $d_2: a_2x + b_2y + c_2 = 0$

Phần 4: Góc và khoảng cách

4.1. Góc giữa hai đường thẳng

$\cos\varphi = \frac{|a_1a_2 + b_1b_2|}{\sqrt{a_1^2 + b_1^2} \cdot \sqrt{a_2^2 + b_2^2}}$

Hai đường thẳng vuông góc: $a_1a_2 + b_1b_2 = 0$

Hai đường thẳng song song: $a_1b_2 - a_2b_1 = 0$

4.2. Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng

Khoảng cách từ $M(x_0, y_0)$ đến $d: ax + by + c = 0$:

$d(M, d) = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$

4.3. Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song

Cho $d_1: ax + by + c_1 = 0$ và $d_2: ax + by + c_2 = 0$ song song:

$d(d_1, d_2) = \frac{|c_1 - c_2|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$

Bài tập mẫu có lời giải

Bài 1: Viết phương trình đường thẳng

Đề bài: Viết phương trình đường thẳng qua $A(1, 2)$ và $B(3, -1)$.

Lời giải:

Nhắc lại: Đường thẳng qua 2 điểm có vector chỉ phương $\vec{u} = \vec{AB}$

Bước 1: Tính vector chỉ phương $\vec{AB} = (3-1, -1-2) = (2, -3)$

Bước 2: Viết phương trình tham số (qua A với $\vec{u} = (2, -3)$) $\begin{cases} x = 1 + 2t \\ y = 2 - 3t \end{cases}$

Bước 3: Viết phương trình chính tắc $\frac{x - 1}{2} = \frac{y - 2}{-3}$

Bước 4: Đưa về dạng tổng quát $-3(x - 1) = 2(y - 2)$ $-3x + 3 = 2y - 4$ $3x + 2y - 7 = 0$

Kiểm tra: Thay A(1,2): $3(1) + 2(2) - 7 = 0$ ✓ Thay B(3,-1): $3(3) + 2(-1) - 7 = 0$ ✓

Bài 2: Đường thẳng song song

Đề bài: Viết phương trình đường thẳng qua $M(2, 1)$, song song với $d: 2x - 3y + 5 = 0$.

Lời giải:

Nhắc lại: Đường thẳng song song với $ax + by + c = 0$ có dạng $ax + by + c' = 0$

Bước 1: Xác định dạng phương trình

• Đường thẳng song song với $d$ có dạng: $2x - 3y + c = 0$

Bước 2: Thay tọa độ M vào để tìm c $2(2) - 3(1) + c = 0$ $4 - 3 + c = 0$ $c = -1$

Bước 3: Kết luận Đường thẳng cần tìm: $2x - 3y - 1 = 0$

Kiểm tra song song: Hai đường có cùng vector pháp tuyến $(2, -3)$ ✓

Bài 3: Khoảng cách

Đề bài: Tính khoảng cách từ $A(3, -2)$ đến đường thẳng $d: 3x - 4y + 10 = 0$.

Lời giải:

Công thức: $d(M, d) = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$

Bước 1: Xác định các hệ số

• Từ $d: 3x - 4y + 10 = 0$: $a = 3$, $b = -4$, $c = 10$
• Điểm $A(3, -2)$: $x_0 = 3$, $y_0 = -2$

Bước 2: Thay vào công thức $d(A, d) = \frac{|3(3) + (-4)(-2) + 10|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}}$

Bước 3: Tính toán $d(A, d) = \frac{|9 + 8 + 10|}{\sqrt{9 + 16}} = \frac{27}{5} = 5.4$

Ý nghĩa: Khoảng cách ngắn nhất từ A đến d là 5.4 (đơn vị dài)

Bài 4: Góc giữa hai đường thẳng

Đề bài: Tính góc giữa $d_1: x - 2y + 1 = 0$ và $d_2: 2x + y - 3 = 0$.

Lời giải:

Công thức: $\cos\varphi = \frac{|a_1a_2 + b_1b_2|}{\sqrt{a_1^2 + b_1^2} \cdot \sqrt{a_2^2 + b_2^2}}$

Bước 1: Xác định các hệ số

• $d_1$: $a_1 = 1$, $b_1 = -2$
• $d_2$: $a_2 = 2$, $b_2 = 1$

Bước 2: Tính tích vô hướng của 2 vector pháp tuyến $a_1a_2 + b_1b_2 = 1 \cdot 2 + (-2) \cdot 1 = 2 - 2 = 0$

Bước 3: Kết luận $\cos\varphi = \frac{|0|}{...} = 0 \Rightarrow \varphi = 90°$

Hai đường thẳng vuông góc!

Mẹo: Khi $a_1a_2 + b_1b_2 = 0$ → Hai đường vuông góc (không cần tính đủ công thức)

Bài tập tự luyện

Bài 1

Viết phương trình đường thẳng qua $A(1, 3)$, vuông góc với $d: x + 2y - 5 = 0$.

Bài 2

Tìm tọa độ giao điểm của $d_1: 2x - y + 1 = 0$ và $d_2: x + y - 4 = 0$.

Bài 3

Tính diện tích tam giác có ba đỉnh $A(1, 0)$, $B(0, 2)$, $C(3, 4)$.

Bài 4

Viết phương trình đường thẳng qua $M(1, 2)$ và cách gốc O một khoảng bằng 2.

Tóm tắt

Công thức quan trọng

Key Points

• Vector pháp tuyến $\vec{n} = (a, b)$ vuông góc với đường thẳng
• Vector chỉ phương $\vec{u} = (-b, a)$ song song với đường thẳng
• Song song: cùng hệ số góc = cùng phương
• Lưu ý: Khoảng cách: nhớ trị tuyệt đối ở tử số