Chương 3: Các số đặc trưng đo mức độ phân tán cho mẫu số liệu ghép nhóm

Mục tiêu học tập

Sau khi hoàn thành chương này, bạn sẽ:

• Hiểu khái niệm mẫu số liệu ghép nhóm
• Tính được khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị
• Tính được phương sai và độ lệch chuẩn cho mẫu ghép nhóm
• Phân tích và so sánh các tập dữ liệu thống kê

§1. Khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị

1.1. Mẫu số liệu ghép nhóm là gì?

Khi thu thập dữ liệu với số lượng lớn, ta thường nhóm các giá trị vào các khoảng (class interval).

Ví dụ: Điều tra chiều cao của 100 học sinh, thay vì liệt kê từng giá trị, ta nhóm:

Biểu đồ histogram dữ liệu ghép nhóm:

Giải thích biểu đồ:

• Histogram hiển thị phân bố tần số theo các khoảng chiều cao
• Đường cong chuẩn cho thấy dữ liệu phân bố gần chuẩn với đỉnh ở khoảng [160; 165)

Giá trị đại diện của mỗi khoảng $[a; b)$ là $c = \frac{a + b}{2}$

1.2. Khoảng biến thiên

Định nghĩa: Khoảng biến thiên (Range) là hiệu giữa giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của dữ liệu.

$R = x_{max} - x_{min}$

Với mẫu ghép nhóm:

• $x_{max}$ = cận trên của nhóm cuối
• $x_{min}$ = cận dưới của nhóm đầu

1.3. Tứ phân vị và khoảng tứ phân vị

Định nghĩa tứ phân vị

• Q₁ (Tứ phân vị thứ nhất): 25% dữ liệu nằm dưới giá trị này
• Q₂ (Trung vị): 50% dữ liệu nằm dưới giá trị này
• Q₃ (Tứ phân vị thứ ba): 75% dữ liệu nằm dưới giá trị này

Khoảng tứ phân vị (IQR)

$IQR = Q_3 - Q_1$

Ý nghĩa: IQR cho biết độ phân tán của 50% dữ liệu ở giữa, loại bỏ ảnh hưởng của giá trị ngoại lệ.

Công thức tính tứ phân vị cho mẫu ghép nhóm

Tứ phân vị thứ nhất $Q_1$: $Q_1 = s + \frac{\frac{n}{4} - c_f}{n_1} \cdot h$

Tứ phân vị thứ hai $Q_2$ (Trung vị): $Q_2 = s + \frac{\frac{n}{2} - c_f}{n_2} \cdot h$

Tứ phân vị thứ ba $Q_3$: $Q_3 = s + \frac{\frac{3n}{4} - c_f}{n_3} \cdot h$

Trong đó:

• $s$: Cận dưới của nhóm chứa tứ phân vị
• $n$: Tổng tần số
• $c_f$: Tần số tích lũy trước nhóm chứa tứ phân vị
• $n_i$: Tần số của nhóm chứa tứ phân vị
• $h$: Độ rộng của nhóm

§2. Phương sai và độ lệch chuẩn

2.1. Giá trị trung bình của mẫu ghép nhóm

$\bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{k} c_i \cdot n_i}{n}$

Trong đó:

• $c_i$: giá trị đại diện của nhóm thứ $i$
• $n_i$: tần số của nhóm thứ $i$
• $n$: tổng tần số

2.2. Phương sai (Variance)

$s^2 = \frac{\sum_{i=1}^{k} n_i \cdot (c_i - \bar{x})^2}{n}$

Hoặc dạng tính nhanh:

$s^2 = \frac{\sum_{i=1}^{k} n_i \cdot c_i^2}{n} - \bar{x}^2$

Ý nghĩa: Phương sai đo lường mức độ phân tán của dữ liệu quanh giá trị trung bình. Phương sai càng lớn, dữ liệu càng phân tán.

2.3. Độ lệch chuẩn (Standard Deviation)

$s = \sqrt{s^2} = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{k} n_i \cdot (c_i - \bar{x})^2}{n}}$

Ý nghĩa: Độ lệch chuẩn có cùng đơn vị với dữ liệu gốc, dễ hiểu hơn phương sai.

§3. Hệ số biến thiên

3.1. Định nghĩa

Khi so sánh mức độ phân tán của hai tập dữ liệu có đơn vị khác nhau hoặc trung bình khác nhau nhiều, ta dùng hệ số biến thiên (Coefficient of Variation - CV).

$\boxed{CV = \frac{s}{\bar{x}} \times 100\%}$

3.2. Đánh giá mức độ phân tán

Bài tập mẫu có lời giải

Bài 1: Tính các số đặc trưng

Đề bài: Cho bảng số liệu về tuổi của 50 nhân viên một công ty:

Tính: a) Khoảng biến thiên, b) Trung bình, c) Phương sai và độ lệch chuẩn

Lời giải:

Nhắc lại: Giá trị đại diện $c_i = \frac{a_i + b_i}{2}$

Lý do: Với mẫu ghép nhóm, ta không biết giá trị chính xác trong mỗi nhóm, nên lấy điểm giữa làm đại diện.

Bước 1: Tính giá trị đại diện và lập bảng tính

Lý do: Cột $c_i^2 \cdot n_i$ dùng cho công thức tính nhanh phương sai: $s^2 = \overline{c^2} - \bar{x}^2$.

Bước 2: Tính khoảng biến thiên $R = x_{max} - x_{min} = 45 - 20 = 25 \text{ (tuổi)}$

Bước 3: Tính trung bình $\bar{x} = \frac{\sum c_i \cdot n_i}{n} = \frac{1615}{50} = 32.3 \text{ (tuổi)}$

Kiểm tra ước lượng: Trung bình nằm trong nhóm [30; 35) có tần số cao nhất (18) ✓

Bước 4: Tính phương sai $s^2 = \frac{\sum c_i^2 \cdot n_i}{n} - \bar{x}^2 = \frac{53712.5}{50} - (32.3)^2 = 1074.25 - 1043.29 = 30.96$

Bước 5: Tính độ lệch chuẩn $s = \sqrt{s^2} = \sqrt{30.96} \approx 5.56 \text{ (tuổi)}$

Kiểm tra bằng quy tắc 68%: Khoảng $[\bar{x} - s, \bar{x} + s] = [26.74, 37.86]$ chứa ~68% dữ liệu ✓

Kết luận: Tuổi trung bình của nhân viên là 32.3 tuổi, với độ lệch chuẩn 5.56 tuổi.

Bài 2: So sánh độ phân tán

Đề bài: So sánh độ phân tán của 2 lớp học qua bảng điểm:

Lớp A:

Lớp B:

Lời giải:

Nhắc lại: Độ lệch chuẩn nhỏ hơn = điểm đồng đều hơn.

Bước 1: Tính cho Lớp A ($n = 40$)

$\bar{x}_A = \frac{274}{40} = 6.85$ $s_A^2 = \frac{1966}{40} - 6.85^2 = 49.15 - 46.92 = 2.23$ $s_A = \sqrt{2.23} \approx 1.49$

Bước 2: Tính cho Lớp B ($n = 40$)

$\bar{x}_B = \frac{260}{40} = 6.5$ $s_B^2 = \frac{1758}{40} - 6.5^2 = 43.95 - 42.25 = 1.70$ $s_B = \sqrt{1.70} \approx 1.30$

Lý do so sánh: Trung bình cho biết “tốt” hay “không”, độ lệch chuẩn cho biết “đều” hay “không”.

Bước 3: So sánh và kết luận

Kết luận: Lớp A có điểm trung bình CAO hơn ($6.85 > 6.5$). Lớp B có điểm ĐỀU hơn ($s_B < s_A$, $CV_B < CV_A$).

Liên hệ thực tế: Nếu chọn lớp để dạy nâng cao, chọn Lớp A (giỏi hơn). Nếu dạy cơ bản, chọn Lớp B (đồng đều hơn).

Bài 3: Tính tứ phân vị cho mẫu ghép nhóm

Đề bài: Cho bảng phân bố tần số về điểm thi của 80 học sinh:

Tính $Q_1$, $Q_2$, $Q_3$ và IQR.

Lời giải:

Nhắc lại: Tính tần số tích lũy để xác định nhóm chứa tứ phân vị.

Bước 1: Lập bảng tần số tích lũy

Lý do: Tần số tích lũy giúp xác định vị trí của $Q_1$ (tại $n/4$), $Q_2$ (tại $n/2$), $Q_3$ (tại $3n/4$).

Bước 2: Tính $Q_1$ (vị trí $n/4 = 20$)

• Nhóm chứa $Q_1$: [4; 6) (vì $CF = 10 < 20 \leq 35$)
• $s = 4$, $c_f = 10$, $n_1 = 25$, $h = 2$

$Q_1 = 4 + \frac{20 - 10}{25} \times 2 = 4 + 0.8 = 4.8$

Bước 3: Tính $Q_2$ (vị trí $n/2 = 40$)

• Nhóm chứa $Q_2$: [6; 8) (vì $CF = 35 < 40 \leq 65$)
• $s = 6$, $c_f = 35$, $n_2 = 30$, $h = 2$

$Q_2 = 6 + \frac{40 - 35}{30} \times 2 = 6 + \frac{10}{30} = 6.33$

Bước 4: Tính $Q_3$ (vị trí $3n/4 = 60$)

• Nhóm chứa $Q_3$: [6; 8) (vì $CF = 35 < 60 \leq 65$)
• $s = 6$, $c_f = 35$, $n_3 = 30$, $h = 2$

$Q_3 = 6 + \frac{60 - 35}{30} \times 2 = 6 + \frac{50}{30} = 7.67$

Bước 5: Tính IQR $IQR = Q_3 - Q_1 = 7.67 - 4.8 = 2.87$

Kiểm tra: $Q_1 < Q_2 < Q_3$ ✓ và IQR > 0 ✓

Bài 4: So sánh bằng hệ số biến thiên

Đề bài: Chiều cao (cm) và cân nặng (kg) của 40 học sinh được thống kê:

Chỉ số nào phân tán hơn?

Lời giải:

Nhắc lại: Không thể so sánh trực tiếp $s$ vì khác đơn vị. Dùng hệ số biến thiên.

Bước 1: Tính CV cho chiều cao $CV_{\text{cao}} = \frac{s}{\bar{x}} \times 100\% = \frac{8.2}{165} \times 100\% \approx 4.97\%$

Bước 2: Tính CV cho cân nặng $CV_{\text{nặng}} = \frac{s}{\bar{x}} \times 100\% = \frac{6.5}{55} \times 100\% \approx 11.82\%$

Lý do dùng CV: Chiều cao đo bằng cm, cân nặng đo bằng kg → không thể so sánh $s$ trực tiếp.

Kết luận: $CV_{\text{nặng}} \approx 11.82\% > CV_{\text{cao}} \approx 4.97\%$

→ Cân nặng phân tán hơn chiều cao. Chiều cao của học sinh khá đồng đều (CV < 10%).

Bài 5: Phân tích giá trị ngoại lệ

Đề bài: Cho bảng phân bố:

Xác định có giá trị ngoại lệ không.

Lời giải:

Nhắc lại: Giá trị ngoại lệ nằm ngoài $[Q_1 - 1.5 \times IQR, \, Q_3 + 1.5 \times IQR]$.

Bước 1: Tính tứ phân vị ($n = 50$)

• $Q_1$ (vị trí 12.5): nhóm [20; 30), $Q_1 = 20 + \frac{12.5 - 3}{12} \times 10 = 27.92$
• $Q_3$ (vị trí 37.5): nhóm [40; 50), $Q_3 = 40 + \frac{37.5 - 35}{10} \times 10 = 42.5$

Bước 2: Tính IQR và ngưỡng ngoại lệ $IQR = 42.5 - 27.92 = 14.58$ $\text{Ngưỡng dưới} = Q_1 - 1.5 \times IQR = 27.92 - 21.87 = 6.05$ $\text{Ngưỡng trên} = Q_3 + 1.5 \times IQR = 42.5 + 21.87 = 64.37$

Bước 3: Kết luận

• Dữ liệu nằm trong $[10, 60]$, hoàn toàn trong $[6.05, 64.37]$
• → Không có giá trị ngoại lệ ✓

Bài tập tự luyện

Bài 1

Cho bảng phân bố tần số về chiều cao (cm) của 60 học sinh:

Tính trung bình, phương sai và độ lệch chuẩn.

Bài 2

Cho bảng phân bố tần số về thời gian hoàn thành công việc (phút):

a) Tính Q₁, Q₂, Q₃ b) Tính IQR c) Xác định có giá trị ngoại lệ không (ngoại lệ nếu nằm ngoài [Q₁ - 1.5×IQR, Q₃ + 1.5×IQR])

Bài 3

Hai xí nghiệp sản xuất linh kiện có kết quả kiểm tra (mm):

Xí nghiệp nào sản xuất đồng đều hơn? (Gợi ý: Dùng hệ số biến thiên)

Tóm tắt công thức