Bổ sung: Vector trong không gian

Mục tiêu học tập

Sau khi hoàn thành chương này, bạn sẽ:

• Mở rộng khái niệm vector từ mặt phẳng sang không gian 3D
• Thực hiện các phép toán vector trong không gian
• Áp dụng vector vào bài toán hình học không gian

Phần 1: Vector trong không gian

1.1. Định nghĩa

Vector trong không gian 3D có định nghĩa tương tự vector trong mặt phẳng, nhưng được biểu diễn trong hệ tọa độ Oxyz.

Ký hiệu: $\vec{a}$, $\vec{b}$, … hoặc $\vec{AB}$

Vector không: $\vec{0}$

1.2. Các phép toán vector

Giống như trong mặt phẳng:

• Phép cộng: $\vec{a} + \vec{b}$
• Phép trừ: $\vec{a} - \vec{b}$
• Nhân với số: $k\vec{a}$

Quy tắc ba điểm: $\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}$

Quy tắc hình bình hành: $\vec{AB} + \vec{AD} = \vec{AC}$ (nếu ABCD là hình bình hành)

Phần 2: Hệ tọa độ trong không gian

2.1. Hệ trục tọa độ Oxyz

Hệ trục tọa độ Descartes trong không gian gồm:

• Gốc tọa độ $O$
• Ba trục $Ox$, $Oy$, $Oz$ đôi một vuông góc
• Ba vector đơn vị: $\vec{i}$, $\vec{j}$, $\vec{k}$

Hình minh họa hệ tọa độ Oxyz:

Giải thích: Hệ tọa độ Oxyz gồm 3 trục đôi một vuông góc. Mỗi điểm trong không gian được xác định bởi 3 tọa độ $(x, y, z)$.

Tính chất:

• $|\vec{i}| = |\vec{j}| = |\vec{k}| = 1$
• $\vec{i} \perp \vec{j}$, $\vec{j} \perp \vec{k}$, $\vec{k} \perp \vec{i}$

2.2. Tọa độ của vector và điểm

Tọa độ vector: $\vec{a} = x\vec{i} + y\vec{j} + z\vec{k} = (x, y, z)$

Tọa độ điểm: $M(x_M, y_M, z_M)$

Vector tọa độ: $\vec{OM} = (x_M, y_M, z_M)$

2.3. Tọa độ của vector nối hai điểm

Cho $A(x_A, y_A, z_A)$ và $B(x_B, y_B, z_B)$:

$\vec{AB} = (x_B - x_A, y_B - y_A, z_B - z_A)$

Phần 3: Các công thức trong hệ tọa độ

3.1. Các phép toán

Cho $\vec{a} = (x_1, y_1, z_1)$ và $\vec{b} = (x_2, y_2, z_2)$:

3.2. Độ dài vector

$|\vec{a}| = \sqrt{x_1^2 + y_1^2 + z_1^2}$

3.3. Khoảng cách giữa hai điểm

$AB = |\vec{AB}| = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2 + (z_B - z_A)^2}$

Hình minh họa vector trong không gian 3D:

Giải thích: Vector trong không gian 3D có 3 thành phần (x, y, z). Phép cộng vector tuân theo quy tắc hình bình hành. Tích vô hướng →a · →b = x₁x₂ + y₁y₂ + z₁z₂.

Khám phá vector 3D tương tác:

Hướng dẫn: Nhập vector $A = (1, 2, 3)$ và $B = (2, -1, 1)$. Xoay hình để quan sát phép cộng vector trong không gian 3 chiều.

3.4. Tọa độ trung điểm

Trung điểm $M$ của đoạn $AB$:

$M = \left(\frac{x_A + x_B}{2}, \frac{y_A + y_B}{2}, \frac{z_A + z_B}{2}\right)$

3.5. Tọa độ trọng tâm tam giác

Trọng tâm $G$ của tam giác $ABC$:

$G = \left(\frac{x_A + x_B + x_C}{3}, \frac{y_A + y_B + y_C}{3}, \frac{z_A + z_B + z_C}{3}\right)$

Phần 4: Tích vô hướng trong không gian

4.1. Công thức

$\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1 x_2 + y_1 y_2 + z_1 z_2$

Hoặc: $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\vec{a}, \vec{b})$

4.2. Góc giữa hai vector

$\cos(\vec{a}, \vec{b}) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|} = \frac{x_1 x_2 + y_1 y_2 + z_1 z_2}{\sqrt{x_1^2 + y_1^2 + z_1^2} \cdot \sqrt{x_2^2 + y_2^2 + z_2^2}}$

4.3. Điều kiện vuông góc

$\vec{a} \perp \vec{b} \Leftrightarrow \vec{a} \cdot \vec{b} = 0 \Leftrightarrow x_1 x_2 + y_1 y_2 + z_1 z_2 = 0$

Phần 5: Tích có hướng trong không gian

5.1. Định nghĩa

Tích có hướng (tích vector) của $\vec{a}$ và $\vec{b}$ là vector:

$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ x_1 & y_1 & z_1 \\ x_2 & y_2 & z_2 \end{vmatrix}$

$= (y_1 z_2 - y_2 z_1, z_1 x_2 - z_2 x_1, x_1 y_2 - x_2 y_1)$

5.2. Tính chất

• $\vec{a} \times \vec{b} \perp \vec{a}$ và $\vec{a} \times \vec{b} \perp \vec{b}$
• $|\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \sin(\vec{a}, \vec{b})$
• $\vec{a} \times \vec{b} = -(\vec{b} \times \vec{a})$
• $\vec{a} \parallel \vec{b} \Leftrightarrow \vec{a} \times \vec{b} = \vec{0}$

5.3. Ứng dụng

Diện tích hình bình hành: $S = |\vec{a} \times \vec{b}|$

Diện tích tam giác: $S_{ABC} = \frac{1}{2}|\vec{AB} \times \vec{AC}|$

Bài tập mẫu có lời giải

Bài 1: Tính toán cơ bản

Đề bài: Cho $\vec{a} = (2, -1, 3)$ và $\vec{b} = (1, 2, -1)$. Tính:

a) $\vec{a} + 2\vec{b}$

b) $\vec{a} \cdot \vec{b}$

c) Góc giữa $\vec{a}$ và $\vec{b}$

Lời giải chi tiết:

Nhắc lại:

• Phép cộng vector: $(a_1, a_2, a_3) + (b_1, b_2, b_3) = (a_1+b_1, a_2+b_2, a_3+b_3)$
• Tích vô hướng: $\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3$
• Góc: $\cos(\vec{a}, \vec{b}) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}$

a) Tính $\vec{a} + 2\vec{b}$:

$2\vec{b} = 2 \cdot (1, 2, -1) = (2, 4, -2)$

Lý do: Nhân vô hướng = nhân từng thành phần.

$\vec{a} + 2\vec{b} = (2 + 2, -1 + 4, 3 - 2) = (4, 3, 1)$

b) Tính $\vec{a} \cdot \vec{b}$:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 2 \cdot 1 + (-1) \cdot 2 + 3 \cdot (-1) = 2 - 2 - 3 = -3$

Lý do: Tích vô hướng âm → hai vector tạo góc tù (> 90°).

c) Tính góc giữa $\vec{a}$ và $\vec{b}$:

Bước 1: Tính độ dài các vector $|\vec{a}| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + 3^2} = \sqrt{4 + 1 + 9} = \sqrt{14}$

$|\vec{b}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 4 + 1} = \sqrt{6}$

Bước 2: Áp dụng công thức góc $\cos(\vec{a}, \vec{b}) = \frac{-3}{\sqrt{14} \cdot \sqrt{6}} = \frac{-3}{\sqrt{84}} \approx -0.327$

Bước 3: Tìm góc $(\vec{a}, \vec{b}) = \arccos(-0.327) \approx 109.1°$

Kiểm tra ý nghĩa: $\cos < 0$ → góc tù, phù hợp với tích vô hướng âm ✓

Bài 2: Tọa độ điểm

Đề bài: Cho $A(1, 2, 3)$, $B(4, -1, 5)$, $C(2, 0, 1)$.

a) Tìm tọa độ trọng tâm $G$ của tam giác $ABC$

b) Tính diện tích tam giác $ABC$

Lời giải chi tiết:

Nhắc lại:

• Trọng tâm: $G = \left(\frac{x_A + x_B + x_C}{3}, \frac{y_A + y_B + y_C}{3}, \frac{z_A + z_B + z_C}{3}\right)$
• Diện tích: $S = \frac{1}{2}|\vec{AB} \times \vec{AC}|$

a) Tìm trọng tâm $G$:

$G = \left(\frac{1 + 4 + 2}{3}, \frac{2 + (-1) + 0}{3}, \frac{3 + 5 + 1}{3}\right) = \left(\frac{7}{3}, \frac{1}{3}, 3\right)$

Lý do: Trọng tâm là điểm chia ba phía bằng nhau, nên tọa độ = trung bình cộng.

b) Tính diện tích tam giác $ABC$:

Bước 1: Tìm các vector cạnh $\vec{AB} = B - A = (4-1, -1-2, 5-3) = (3, -3, 2)$

$\vec{AC} = C - A = (2-1, 0-2, 1-3) = (1, -2, -2)$

Bước 2: Tính tích có hướng $\vec{AB} \times \vec{AC}$

$\vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 3 & -3 & 2 \\ 1 & -2 & -2 \end{vmatrix}$

Lý do: Dùng định thức 3×3 để tính tích có hướng.

$= ((-3)(-2) - 2(-2), 2 \cdot 1 - 3(-2), 3(-2) - (-3) \cdot 1)$

$= (6 + 4, 2 + 6, -6 + 3) = (10, 8, -3)$

Bước 3: Tính độ dài và diện tích $|\vec{AB} \times \vec{AC}| = \sqrt{10^2 + 8^2 + (-3)^2} = \sqrt{100 + 64 + 9} = \sqrt{173}$

$S_{ABC} = \frac{1}{2}\sqrt{173} \approx 6.58$

Kiểm tra: Diện tích > 0 ✓, đơn vị là đơn vị² (nếu tọa độ có đơn vị).

Bài 3: Kiểm tra vuông góc

Đề bài: Cho $A(1, 0, 0)$, $B(0, 2, 0)$, $C(0, 0, 3)$. Chứng minh tam giác $ABC$ không phải tam giác vuông.

Lời giải chi tiết:

Nhắc lại: Tam giác vuông ⟺ có hai cạnh vuông góc ⟺ tích vô hướng hai vector bằng 0.

Bước 1: Tính các vector cạnh $\vec{AB} = B - A = (0-1, 2-0, 0-0) = (-1, 2, 0)$

$\vec{BC} = C - B = (0-0, 0-2, 3-0) = (0, -2, 3)$

$\vec{CA} = A - C = (1-0, 0-0, 0-3) = (1, 0, -3)$

Lý do: Kiểm tra cả 3 cặp cạnh kề để tìm góc vuông (nếu có).

Bước 2: Kiểm tra từng cặp

• $\vec{AB} \cdot \vec{BC} = (-1)(0) + (2)(-2) + (0)(3) = 0 - 4 + 0 = -4 \neq 0$
• $\vec{BC} \cdot \vec{CA} = (0)(1) + (-2)(0) + (3)(-3) = 0 + 0 - 9 = -9 \neq 0$
• $\vec{CA} \cdot \vec{AB} = (1)(-1) + (0)(2) + (-3)(0) = -1 + 0 + 0 = -1 \neq 0$

Kết luận: Không có cặp vector nào có tích vô hướng bằng 0, nên tam giác $ABC$ không vuông.

Kiểm tra thêm: Tất cả tích vô hướng đều âm → cả 3 góc đều tù? Không, vì tổng góc = 180°. Thực tế: các góc là góc nhọn (dùng arccos tính ra).

Bài tập tự luyện

Bài 1

Cho $\vec{a} = (1, -2, 3)$, $\vec{b} = (2, 1, -1)$. Tìm vector $\vec{c}$ sao cho $\vec{c} \perp \vec{a}$, $\vec{c} \perp \vec{b}$ và $|\vec{c}| = \sqrt{6}$.

Bài 2

Cho $A(1, 2, 3)$, $B(3, 0, 2)$, $C(-1, 4, 1)$. Tìm điểm $D$ sao cho $ABCD$ là hình bình hành.

Bài 3

Tính thể tích hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$ với $A(0, 0, 0)$, $B(2, 0, 0)$, $D(0, 3, 0)$, $A'(0, 0, 4)$.

Bài 4

Cho $M(1, 1, 1)$, $N(2, 3, 4)$. Tìm điểm $P$ trên trục $Oz$ sao cho $PM + PN$ nhỏ nhất.

Tóm tắt

Công thức quan trọng

Key Points

• Vector bằng nhau: Cùng hướng và cùng độ dài
• Vector vuông góc: $\vec{a} \perp \vec{b} \Leftrightarrow \vec{a} \cdot \vec{b} = 0$
• Vector cùng phương: $\vec{a} \parallel \vec{b} \Leftrightarrow \vec{a} = k\vec{b}$ (k ≠ 0)
• Lưu ý: Trong không gian 3D, hai vector cùng phương có thể không cùng nằm trên một đường thẳng