Chương 1: Mệnh đề và Tập hợp

Mục tiêu học tập

Sau khi hoàn thành chương này, bạn sẽ:

• Hiểu khái niệm mệnh đề và các phép toán logic
• Thành thạo các phép toán trên tập hợp
• Biểu diễn và làm việc với các khoảng, đoạn số thực

Phần 1: Mệnh đề

1.1. Định nghĩa mệnh đề

Mệnh đề là một câu khẳng định có thể xác định được tính đúng (True) hoặc sai (False), không thể vừa đúng vừa sai.

Ký hiệu:

• Mệnh đề đúng: ký hiệu Đ (hoặc T - True, 1)
• Mệnh đề sai: ký hiệu S (hoặc F - False, 0)

Ví dụ về mệnh đề:

• “3 là số nguyên tố” → Mệnh đề đúng
• “4 là số lẻ” → Mệnh đề sai
• ”$\sqrt{2}$ là số hữu tỉ” → Mệnh đề sai

Ví dụ KHÔNG phải mệnh đề:

• “Hôm nay trời đẹp quá!” (câu cảm thán)
• “Bạn có khỏe không?” (câu hỏi)
• “Hãy học bài đi!” (câu mệnh lệnh)

1.2. Mệnh đề phủ định

Cho mệnh đề $P$. Mệnh đề phủ định của $P$, ký hiệu $\neg P$ (đọc là “không P” hoặc “phủ định của P”), là mệnh đề:

• Đúng khi $P$ sai
• Sai khi $P$ đúng

Bảng chân trị:

Ví dụ:

• $P$: “5 là số chẵn” → $P$ sai
• $\neg P$: “5 không là số chẵn” → $\neg P$ đúng

1.3. Mệnh đề kéo theo (Điều kiện)

Cho hai mệnh đề $P$ và $Q$. Mệnh đề kéo theo (hay mệnh đề điều kiện) ký hiệu $P \Rightarrow Q$ (đọc là “nếu P thì Q”) chỉ sai khi $P$ đúng và $Q$ sai.

Bảng chân trị:

Ví dụ:

• Nếu $n$ chia hết cho 6 thì $n$ chia hết cho 3 → Đúng
• Nếu $n$ chia hết cho 3 thì $n$ chia hết cho 6 → Sai (phản ví dụ: $n = 9$)

1.4. Mệnh đề đảo và Mệnh đề tương đương

Mệnh đề đảo của $P \Rightarrow Q$ là $Q \Rightarrow P$.

Mệnh đề tương đương: $P \Leftrightarrow Q$ (đọc là ”$P$ khi và chỉ khi $Q$”) đúng khi cả hai mệnh đề $P \Rightarrow Q$ và $Q \Rightarrow P$ đều đúng.

Bảng chân trị:

1.5. Điều kiện cần và Điều kiện đủ

Với mệnh đề $P \Rightarrow Q$:

• $P$ là điều kiện đủ để có $Q$
• $Q$ là điều kiện cần để có $P$

Ví dụ: “Nếu tam giác ABC đều thì tam giác ABC cân”

• “Tam giác đều” là điều kiện đủ để “tam giác cân”
• “Tam giác cân” là điều kiện cần để “tam giác đều”

Phần 2: Tập hợp

2.1. Khái niệm tập hợp

Tập hợp là một khái niệm cơ bản, không định nghĩa. Tập hợp bao gồm các phần tử.

Ký hiệu:

• $a \in A$: phần tử $a$ thuộc tập $A$
• $a \notin A$: phần tử $a$ không thuộc tập $A$

Cách xác định tập hợp:

1. Liệt kê: $A = \lbrace 1, 2, 3, 4, 5 \rbrace$

2. Nêu tính chất đặc trưng: $B = \lbrace x \in \mathbb{N} \mid x < 6 \rbrace$

2.2. Các tập hợp số quan trọng

Hình minh họa quan hệ giữa các tập hợp số:

Giải thích: Các tập hợp số lồng nhau: ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ. Mỗi tập số mở rộng từ tập trước đó. Số vô tỉ thuộc ℝ nhưng không thuộc ℚ.

2.3. Tập hợp con

Định nghĩa: Tập $A$ là tập con của tập $B$, ký hiệu $A \subset B$ (hoặc $A \subseteq B$), nếu mọi phần tử của $A$ đều thuộc $B$.

$A \subset B \Leftrightarrow (\forall x: x \in A \Rightarrow x \in B)$

Tính chất:

• $\emptyset \subset A$ với mọi tập $A$
• $A \subset A$ với mọi tập $A$
• Nếu $A \subset B$ và $B \subset C$ thì $A \subset C$ (tính bắc cầu)

Hai tập hợp bằng nhau: $A = B \Leftrightarrow (A \subset B \text{ và } B \subset A)$

2.4. Các phép toán trên tập hợp

Phép hợp

$A \cup B = \lbrace x \mid x \in A \text{ hoặc } x \in B \rbrace$

Phép giao

$A \cap B = \lbrace x \mid x \in A \text{ và } x \in B \rbrace$

Phép hiệu

$A \setminus B = \lbrace x \mid x \in A \text{ và } x \notin B \rbrace$

Phần bù

Nếu $A \subset X$, phần bù của $A$ trong $X$ là: $C_X A = X \setminus A = \lbrace x \in X \mid x \notin A \rbrace$

Hình minh họa các phép toán trên tập hợp:

Giải thích: Biểu đồ Venn giúp hiểu trực quan các phép toán: hợp (tất cả phần tử), giao (phần chung), hiệu (phần riêng của A), tập con (A nằm trong B).

2.5. Các khoảng và đoạn

Cho $a < b$ là hai số thực:

Hình minh họa các khoảng và đoạn trên trục số:

Giải thích: Khoảng (a,b) không chứa hai đầu, đoạn [a,b] chứa cả hai đầu. Nửa khoảng chứa một đầu. Khoảng vô hạn kéo dài đến ±∞.

Bài tập mẫu có lời giải

Bài 1: Xác định mệnh đề

Đề bài: Trong các câu sau, câu nào là mệnh đề? Xác định tính đúng/sai.

a) $\pi$ là số vô tỉ

b) $x + 5 = 3$

c) Số 15 chia hết cho 3

d) Hãy cố gắng học tập!

Lời giải chi tiết:

Nhắc lại: Mệnh đề là câu khẳng định có thể xác định được tính đúng/sai, không thể vừa đúng vừa sai.

Bước 1: Xét từng câu theo định nghĩa mệnh đề

a) ”$\pi$ là số vô tỉ” - Đây là mệnh đề vì có thể xác định tính đúng/sai.

Lý do: Câu này khẳng định một tính chất toán học có thể kiểm chứng.

• Giá trị: Đúng (đã được chứng minh trong toán học)

b) "$x + 5 = 3$" - Không phải mệnh đề vì chứa biến $x$.

Lý do: Chưa xác định được giá trị cụ thể của $x$ nên không thể khẳng định đúng hay sai.

c) “Số 15 chia hết cho 3” - Đây là mệnh đề.

• Kiểm tra: $15 = 3 \times 5$, nên 15 chia hết cho 3
• Giá trị: Đúng

d) “Hãy cố gắng học tập!” - Không phải mệnh đề

Lý do: Đây là câu mệnh lệnh/khuyên nhủ, không thể xác định đúng/sai.

Bước 2: Tổng hợp kết quả

Bài 2: Phép toán trên tập hợp

Đề bài: Cho $A = \lbrace 1, 2, 3, 4, 5 \rbrace$ và $B = \lbrace 3, 4, 5, 6, 7 \rbrace$. Tìm:

a) $A \cup B$

b) $A \cap B$

c) $A \setminus B$

d) $B \setminus A$

Lời giải chi tiết:

Nhắc lại: Các phép toán tập hợp:

• $A \cup B$: Tất cả phần tử thuộc A hoặc B
• $A \cap B$: Các phần tử thuộc cả A và B
• $A \setminus B$: Các phần tử thuộc A nhưng không thuộc B

Bước 1: Liệt kê các phần tử

$A = \{1, 2, 3, 4, 5\}, \quad B = \{3, 4, 5, 6, 7\}$

Bước 2: Tính từng phép toán

a) $A \cup B$ = Lấy tất cả, bỏ trùng: $A \cup B = \lbrace 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 \rbrace$

Lý do: Gộp tất cả phần tử từ cả hai tập, mỗi phần tử chỉ liệt kê 1 lần.

b) $A \cap B$ = Lấy phần chung: $A \cap B = \lbrace 3, 4, 5 \rbrace$

Lý do: Chỉ lấy các phần tử xuất hiện trong CẢ HAI tập.

c) $A \setminus B$ = Lấy phần riêng của A: $A \setminus B = \lbrace 1, 2 \rbrace$

Lý do: Lấy các phần tử của A mà không thuộc B (1, 2 không có trong B).

d) $B \setminus A$ = Lấy phần riêng của B: $B \setminus A = \lbrace 6, 7 \rbrace$

Kiểm tra: $|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B| = 5 + 5 - 3 = 7$ ✓

Bài 3: Làm việc với khoảng

Đề bài: Cho $A = (-2, 5]$ và $B = [1, 8)$. Tìm $A \cap B$ và $A \cup B$.

Lời giải chi tiết:

Nhắc lại: Ký hiệu khoảng:

• $(a, b)$: không chứa 2 đầu mút ($a < x < b$)
• $[a, b]$: chứa cả 2 đầu mút ($a \leq x \leq b$)
• $(a, b]$, $[a, b)$: chứa 1 đầu mút

Bước 1: Phân tích từng khoảng

• $A = (-2, 5]$: các số $x$ thỏa $-2 < x \leq 5$
• $B = [1, 8)$: các số $x$ thỏa $1 \leq x < 8$

Bước 2: Tìm $A \cap B$ (đồng thời thỏa cả hai)

Lý do: Lấy phần chồng lấn: đầu trái lấy max(-2, 1) = 1, đầu phải lấy min(5, 8) = 5.

$A \cap B = [1, 5]$

Bước 3: Tìm $A \cup B$ (thỏa ít nhất một)

Lý do: Hợp của hai khoảng chồng lấn: đầu trái lấy min, đầu phải lấy max.

$A \cup B = (-2, 8)$

Kiểm tra: $x = 0 \in A$ nhưng $\notin B$ → $0 \in A \cup B$ ✓

Bài 4: Điều kiện cần và đủ

Đề bài: Xét mệnh đề: “Nếu tứ giác ABCD là hình vuông thì ABCD là hình thoi”

a) Mệnh đề trên đúng hay sai?

b) Phát biểu mệnh đề đảo. Mệnh đề đảo đúng hay sai?

c) “Tứ giác là hình vuông” là điều kiện gì để “tứ giác là hình thoi”?

Lời giải chi tiết:

Nhắc lại: Với mệnh đề $P \Rightarrow Q$:

• $P$ là điều kiện đủ để có $Q$
• $Q$ là điều kiện cần để có $P$
• Mệnh đề đảo: $Q \Rightarrow P$

Bước 1: Xét mệnh đề gốc (a)

Phân tích tính chất:

• Hình vuông: 4 cạnh bằng nhau + 4 góc vuông
• Hình thoi: 4 cạnh bằng nhau

Lý do: Hình vuông có TẤT CẢ tính chất của hình thoi + thêm điều kiện góc vuông.

Kết luận: Mệnh đề ĐÚNG

Bước 2: Xét mệnh đề đảo (b)

Mệnh đề đảo: “Nếu tứ giác ABCD là hình thoi thì ABCD là hình vuông”

Phản ví dụ: Hình thoi với góc 60° có 4 cạnh bằng nhau nhưng không có góc vuông → không phải hình vuông.

Kết luận: Mệnh đề đảo SAI

Bước 3: Xác định điều kiện (c)

Vì $P \Rightarrow Q$ đúng nhưng $Q \Rightarrow P$ sai:

• “Tứ giác là hình vuông” là điều kiện đủ để “tứ giác là hình thoi”
• “Tứ giác là hình thoi” là điều kiện cần để “tứ giác là hình vuông”

Nhớ: “CẦN ko đủ, ĐỦ ko cần” - Hình thoi CẦN cho hình vuông, nhưng chưa ĐỦ!

Bài tập tự luyện

Bài 1

Xác định các câu sau có phải mệnh đề không. Nếu là mệnh đề, xác định tính đúng/sai:

a) $\sqrt{4} = 2$

b) $2 + 3 = 6$

c) $x^2 \geq 0$ với mọi $x \in \mathbb{R}$

d) Bạn có thích toán không?

Bài 2

Cho $A = \lbrace x \in \mathbb{Z} \mid -3 < x \leq 4 \rbrace$ và $B = \lbrace x \in \mathbb{Z} \mid 0 \leq x < 6 \rbrace$.

a) Liệt kê các phần tử của A và B

b) Tìm $A \cap B$, $A \cup B$, $A \setminus B$

Bài 3

Cho $A = [-3, 2)$ và $B = (0, 5]$.

a) Biểu diễn A và B trên trục số

b) Tìm $A \cap B$, $A \cup B$, $A \setminus B$, $B \setminus A$

Bài 4

Phát biểu mệnh đề đảo và xác định tính đúng/sai:

a) Nếu $n$ chia hết cho 4 thì $n$ chia hết cho 2

b) Nếu tam giác ABC vuông cân thì nó có một góc bằng $45°$

c) Nếu $a > 0$ và $b > 0$ thì $ab > 0$

Tóm tắt

Công thức quan trọng

Key Points

• Mệnh đề = câu khẳng định xác định đúng/sai
• $P \Rightarrow Q$ chỉ SAI khi P đúng, Q sai
• De Morgan: $\neg(P \land Q) = \neg P \lor \neg Q$
• Lưu ý: Khoảng [a,b] có đầu mút, (a,b) không có