Skip to Content
Cấp 3 (Lớp 10-12)Lớp 12Bổ sung: Số phức

Bổ sung: Số phức

Tại sao cần số phức?

Trong R\mathbb{R}, phương trình x2=−1x^2 = -1 vô nghiệm vì bình phương số thực luôn ≥0\geq 0.

Giải pháp: Tạo số mới ii sao cho i2=−1i^2 = -1. Từ đó:

  • x2=−1x^2 = -1 có nghiệm x=±ix = \pm i
  • x2+1=0x^2 + 1 = 0 có nghiệm x=±ix = \pm i
  • Mọi PT bậc 2 đều có nghiệm trong C\mathbb{C}!

Chuỗi mở rộng: N⊂Z⊂Q⊂R⊂C\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R} \subset \mathbb{C}

Mục tiêu học tập

Sau khi hoàn thành chương này, bạn sẽ:

  • Hiểu khái niệm và biểu diễn số phức
  • Thực hiện các phép toán trên số phức
  • Giải phương trình bậc hai trong tập số phức

Phần 1: Khái niệm số phức

1.1. Định nghĩa

Số phức là số có dạng:

z=a+biz = a + bi

Trong đó:

  • a,b∈Ra, b \in \mathbb{R}
  • ii là đơn vị ảo với i2=−1i^2 = -1
  • aa là phần thực: Re(z)=a\text{Re}(z) = a
  • bb là phần ảo: Im(z)=b\text{Im}(z) = b

Tập hợp số phức: C\mathbb{C}

1.2. Các trường hợp đặc biệt

Điều kiệnLoại số
b=0b = 0Số thực: z=az = a
a=0a = 0, b≠0b \neq 0Số thuần ảo: z=biz = bi
a=b=0a = b = 0Số 0: z=0z = 0

1.3. Hai số phức bằng nhau

a+bi=c+di⇔a=c vaˋ b=da + bi = c + di \Leftrightarrow a = c \text{ và } b = d

1.4. Số phức liên hợp

Định nghĩa: Số phức liên hợp của z=a+biz = a + bi là:

zˉ=a−bi\bar{z} = a - bi

Tính chất:

  • z+zˉ=2az + \bar{z} = 2a (số thực)
  • z⋅zˉ=a2+b2z \cdot \bar{z} = a^2 + b^2 (số thực không âm)
  • zˉ‾=z\overline{\bar{z}} = z
  • z1+z2‾=z1ˉ+z2ˉ\overline{z_1 + z_2} = \bar{z_1} + \bar{z_2}
  • z1⋅z2‾=z1ˉ⋅z2ˉ\overline{z_1 \cdot z_2} = \bar{z_1} \cdot \bar{z_2}

Phần 2: Biểu diễn hình học số phức

2.1. Mặt phẳng phức

Số phức z=a+biz = a + bi được biểu diễn bởi điểm M(a,b)M(a, b) trong mặt phẳng tọa độ.

  • Trục OxOx: trục thực
  • Trục OyOy: trục ảo

2.2. Mô đun của số phức

Mô đun (module) của z=a+biz = a + bi:

∣z∣=a2+b2|z| = \sqrt{a^2 + b^2}

Ý nghĩa hình học: ∣z∣|z| là khoảng cách từ điểm MM biểu diễn zz đến gốc tọa độ.

Tính chất:

  • ∣z∣≥0|z| \geq 0, ∣z∣=0⇔z=0|z| = 0 \Leftrightarrow z = 0
  • ∣z∣=∣zˉ∣|z| = |\bar{z}|
  • ∣z1⋅z2∣=∣z1∣⋅∣z2∣|z_1 \cdot z_2| = |z_1| \cdot |z_2|
  • ∣z1+z2∣≤∣z1∣+∣z2∣|z_1 + z_2| \leq |z_1| + |z_2| (bất đẳng thức tam giác)
  • z⋅zˉ=∣z∣2z \cdot \bar{z} = |z|^2

Minh họa mặt phẳng phức:

ReImO-3-3i-2-2i-1-1i11i22i33iz = 3 + 2ia = 3b = 2|z| = √(a² + b²)z̄ = 3 - 2i

Giải thích: Số phức z = a + bi được biểu diễn bởi điểm M(a, b) trên mặt phẳng. Trục Ox là trục thực (Re), trục Oy là trục ảo (Im). Module |z| là khoảng cách từ M đến gốc O. Số phức liên hợp z̄ = a - bi đối xứng với z qua trục thực.

2.3. Argument của số phức

Argument của z=a+biz = a + bi (z≠0z \neq 0) là góc θ\theta sao cho:

cos⁡θ=a∣z∣,sin⁡θ=b∣z∣\cos\theta = \frac{a}{|z|}, \quad \sin\theta = \frac{b}{|z|}

Ký hiệu: arg⁡(z)=θ\arg(z) = \theta

2.4. Dạng lượng giác và Công thức Euler

Dạng lượng giác: z=r(cos⁡θ+isin⁡θ)z = r(\cos\theta + i\sin\theta)

với r=∣z∣r = |z| và θ=arg⁡(z)\theta = \arg(z).

Công thức Euler (Đại học):

eiθ=cos⁡θ+isin⁡θe^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta

Do đó: z=r⋅eiθz = r \cdot e^{i\theta}

Hệ quả nổi tiếng nhất (Euler’s Identity): eiπ+1=0e^{i\pi} + 1 = 0

Công thức này kết nối 5 hằng số quan trọng nhất: ee, ii, π\pi, 11, 00!

Ứng dụng trong Kỹ thuật:

  • Xử lý tín hiệu: Biến đổi Fourier dùng eiωte^{i\omega t} để phân tích tín hiệu
  • Điện tử: Số phức biểu diễn điện áp/dòng AC: V=V0ei(ωt+ϕ)V = V_0 e^{i(\omega t + \phi)}
  • Cơ học lượng tử: Hàm sóng ψ=Aei(kx−ωt)\psi = Ae^{i(kx - \omega t)}

Phần 3: Các phép toán trên số phức

3.1. Cộng và trừ

Cho z1=a+biz_1 = a + bi và z2=c+diz_2 = c + di:

z1+z2=(a+c)+(b+d)iz_1 + z_2 = (a + c) + (b + d)i

z1−z2=(a−c)+(b−d)iz_1 - z_2 = (a - c) + (b - d)i

3.2. Nhân

z1⋅z2=(a+bi)(c+di)=(ac−bd)+(ad+bc)iz_1 \cdot z_2 = (a + bi)(c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i

Lưu ý: i2=−1i^2 = -1

3.3. Chia

z1z2=a+bic+di=(a+bi)(c−di)(c+di)(c−di)=(ac+bd)+(bc−ad)ic2+d2\frac{z_1}{z_2} = \frac{a + bi}{c + di} = \frac{(a + bi)(c - di)}{(c + di)(c - di)} = \frac{(ac + bd) + (bc - ad)i}{c^2 + d^2}

Kỹ thuật: Nhân cả tử và mẫu với số phức liên hợp của mẫu.

Lỗi thường gặp khi chia số phức: Quên nhân liên hợp → để ii trong mẫu. Luôn nhân tử và mẫu với zˉ2=c−di\bar{z}_2 = c - di để mẫu thành c2+d2c^2 + d^2 (số thực)!

Nhân số phức = Xoay + Co giãn! Khi nhân z1⋅z2z_1 \cdot z_2: module nhân lại (∣z1⋅z2∣=∣z1∣⋅∣z2∣|z_1 \cdot z_2| = |z_1| \cdot |z_2|), argument cộng lại (arg⁡(z1z2)=arg⁡(z1)+arg⁡(z2)\arg(z_1 z_2) = \arg(z_1) + \arg(z_2)). Vì vậy nhân với ii = xoay 90°!

3.4. Lũy thừa của i

i0=1,i1=i,i2=−1,i3=−i,i4=1,...i^0 = 1, \quad i^1 = i, \quad i^2 = -1, \quad i^3 = -i, \quad i^4 = 1, ...

Quy luật: ini^n có chu kỳ 4.

in=inmod  4i^n = i^{n \mod 4}

Khám phá tương tác phép toán số phức:

Đang tải đồ thị...

Hướng dẫn: Nhập biểu thức như (2+3i)(1−i)(2+3i)(1-i) hoặc 3+4i1+2i\frac{3+4i}{1+2i} để xem kết quả và biểu diễn hình học trên mặt phẳng phức.

Phần 4: Dạng lượng giác của số phức

4.1. Định nghĩa

z=r(cos⁡θ+isin⁡θ)z = r(\cos\theta + i\sin\theta)

Trong đó: r=∣z∣r = |z|, θ=arg⁡(z)\theta = \arg(z)

4.2. Nhân và chia dạng lượng giác

Nhân: z1⋅z2=r1r2[cos⁡(θ1+θ2)+isin⁡(θ1+θ2)]z_1 \cdot z_2 = r_1 r_2 [\cos(\theta_1 + \theta_2) + i\sin(\theta_1 + \theta_2)]

Chia: z1z2=r1r2[cos⁡(θ1−θ2)+isin⁡(θ1−θ2)]\frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1}{r_2} [\cos(\theta_1 - \theta_2) + i\sin(\theta_1 - \theta_2)]

4.3. Công thức De Moivre

zn=rn[cos⁡(nθ)+isin⁡(nθ)]z^n = r^n [\cos(n\theta) + i\sin(n\theta)]

Phần 5: Phương trình bậc hai trong C\mathbb{C}

5.1. Nghiệm phức của phương trình bậc hai

Cho ax2+bx+c=0ax^2 + bx + c = 0 với Δ=b2−4ac<0\Delta = b^2 - 4ac < 0:

x=−b±i∣Δ∣2ax = \frac{-b \pm i\sqrt{|\Delta|}}{2a}

Quan trọng: Trong C\mathbb{C}, mọi phương trình bậc hai đều có nghiệm. Nếu Δ<0\Delta < 0, phương trình có hai nghiệm phức liên hợp.

5.2. Định lý cơ bản của đại số

Mọi đa thức bậc nn (n≥1n \geq 1) với hệ số phức đều có đúng nn nghiệm phức (kể cả nghiệm bội).

Bài tập mẫu có lời giải

Bài 1: Các phép toán cơ bản

Đề bài: Cho z1=3+2iz_1 = 3 + 2i và z2=1−4iz_2 = 1 - 4i. Tính z1+z2z_1 + z_2, z1⋅z2z_1 \cdot z_2, z1z2\frac{z_1}{z_2}.

Lời giải:

Nhắc lại: Với z1=a+biz_1 = a + bi, z2=c+diz_2 = c + di: Cộng thành phần thực với thực, ảo với ảo.

Bước 1: Tính tổng z1+z2=(3+1)+(2+(−4))i=4−2iz_1 + z_2 = (3 + 1) + (2 + (-4))i = 4 - 2i

Bước 2: Tính tích

Lý do: Nhân như nhị thức, nhớ rằng i2=−1i^2 = -1.

z1⋅z2=(3+2i)(1−4i)=3−12i+2i−8i2z_1 \cdot z_2 = (3 + 2i)(1 - 4i) = 3 - 12i + 2i - 8i^2 =3−10i+8=11−10i= 3 - 10i + 8 = 11 - 10i

Bước 3: Tính thương

Lý do: Nhân cả tử và mẫu với số phức liên hợp của mẫu để khử ii ở mẫu.

z1z2=3+2i1−4i=(3+2i)(1+4i)(1−4i)(1+4i)\frac{z_1}{z_2} = \frac{3 + 2i}{1 - 4i} = \frac{(3 + 2i)(1 + 4i)}{(1 - 4i)(1 + 4i)}

=3+12i+2i+8i21+16=3+14i−817=−5+14i17= \frac{3 + 12i + 2i + 8i^2}{1 + 16} = \frac{3 + 14i - 8}{17} = \frac{-5 + 14i}{17}

=−517+1417i= -\frac{5}{17} + \frac{14}{17}i

Bài 2: Mô đun và liên hợp

Đề bài: Cho z=3−4iz = 3 - 4i. Tính ∣z∣|z|, zˉ\bar{z}, z⋅zˉz \cdot \bar{z}.

Lời giải:

Nhắc lại: ∣z∣=a2+b2|z| = \sqrt{a^2 + b^2}, zˉ=a−bi\bar{z} = a - bi, z⋅zˉ=∣z∣2z \cdot \bar{z} = |z|^2

Bước 1: Tính mô đun ∣z∣=32+(−4)2=9+16=5|z| = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = 5

Lý do: Mô đun là khoảng cách từ điểm biểu diễn zz đến gốc tọa độ.

Bước 2: Tìm số phức liên hợp zˉ=3+4i\bar{z} = 3 + 4i (đổi dấu phần ảo)

Bước 3: Tính tích với liên hợp z⋅zˉ=(3−4i)(3+4i)=9+16=25=∣z∣2z \cdot \bar{z} = (3 - 4i)(3 + 4i) = 9 + 16 = 25 = |z|^2

Kiểm tra: z⋅zˉ=25=52=∣z∣2z \cdot \bar{z} = 25 = 5^2 = |z|^2 ✓

Bài 3: Giải phương trình

Đề bài: Giải phương trình z2+2z+5=0z^2 + 2z + 5 = 0 trong C\mathbb{C}.

Lời giải:

Nhắc lại: Với Δ<0\Delta < 0: z=−b±i∣Δ∣2az = \frac{-b \pm i\sqrt{|\Delta|}}{2a}

Bước 1: Tính Delta Δ=b2−4ac=4−20=−16<0\Delta = b^2 - 4ac = 4 - 20 = -16 < 0

Lý do: Δ<0\Delta < 0 nên PT vô nghiệm trong R\mathbb{R}, có nghiệm phức.

Bước 2: Áp dụng công thức nghiệm phức ∣Δ∣=16=4\sqrt{|\Delta|} = \sqrt{16} = 4

z=−2±4i2=−1±2iz = \frac{-2 \pm 4i}{2} = -1 \pm 2i

Bước 3: Viết nghiệm z1=−1+2iz_1 = -1 + 2i, z2=−1−2iz_2 = -1 - 2i

Kiểm tra: z1z_1 và z2z_2 là hai số phức liên hợp ✓ (đúng với PT hệ số thực)

Bài 4: Lũy thừa của i

Đề bài: Tính i2023i^{2023}

Lời giải:

Nhắc lại: i4=1i^4 = 1, nên in=inmod  4i^n = i^{n \mod 4}

Bước 1: Chia lấy dư cho 4 2023=4×505+32023 = 4 \times 505 + 3

Lý do: Lũy thừa của ii có chu kỳ 4: i0=1,i1=i,i2=−1,i3=−ii^0=1, i^1=i, i^2=-1, i^3=-i.

Bước 2: Tính kết quả i2023=i3=−ii^{2023} = i^3 = -i

Bài 5: Tìm số phức

Đề bài: Tìm số phức zz biết z+2zˉ=9−4iz + 2\bar{z} = 9 - 4i

Lời giải:

Phương pháp: Đặt z=a+biz = a + bi rồi so sánh phần thực và phần ảo.

Bước 1: Đặt ẩn Đặt z=a+biz = a + bi, thì zˉ=a−bi\bar{z} = a - bi

Bước 2: Thay vào phương trình z+2zˉ=(a+bi)+2(a−bi)=3a−biz + 2\bar{z} = (a + bi) + 2(a - bi) = 3a - bi

Bước 3: So sánh với vế phải 3a−bi=9−4i3a - bi = 9 - 4i

Lý do: Hai số phức bằng nhau khi phần thực bằng phần thực, phần ảo bằng phần ảo.

⇒3a=9\Rightarrow 3a = 9 và −b=−4-b = -4

⇒a=3\Rightarrow a = 3 và b=4b = 4

Số phức cần tìm: z=3+4iz = 3 + 4i

Kiểm tra: z+2zˉ=(3+4i)+2(3−4i)=3+4i+6−8i=9−4iz + 2\bar{z} = (3+4i) + 2(3-4i) = 3+4i+6-8i = 9-4i ✓

Bài tập tự luyện

Bài 1

Tính:

a) (2+3i)(4−i)(2 + 3i)(4 - i)

b) 5+i2−3i\frac{5 + i}{2 - 3i}

c) (1+i)6(1 + i)^6

Bài 2

Tìm mô đun của:

a) z=5−12iz = 5 - 12i

b) z=3+4i4−3iz = \frac{3 + 4i}{4 - 3i}

Bài 3

Giải trong C\mathbb{C}:

a) z2−4z+13=0z^2 - 4z + 13 = 0

b) z2+4=0z^2 + 4 = 0

c) z4−1=0z^4 - 1 = 0

Bài 4

Tìm số phức zz thỏa mãn:

a) ∣z−1−i∣=2|z - 1 - i| = 2 và zz là số thuần ảo

b) z2=8−6iz^2 = 8 - 6i

Tóm tắt

Công thức quan trọng

Phép toánKết quả
(a+bi)+(c+di)(a+bi) + (c+di)(a+c)+(b+d)i(a+c) + (b+d)i
(a+bi)⋅(c+di)(a+bi) \cdot (c+di)(ac−bd)+(ad+bc)i(ac-bd) + (ad+bc)i
$z
zˉ=a+bi‾\bar{z} = \overline{a+bi}a−bia - bi
z⋅zˉz \cdot \bar{z}$

Key Points

  • Số thuần ảo: z=biz = bi (phần thực = 0)
  • PT bậc 2: Δ<0⇒z=−b±i∣Δ∣2a\Delta < 0 \Rightarrow z = \frac{-b \pm i\sqrt{|\Delta|}}{2a}
  • Phép chia: Nhân cả tử mẫu với liên hợp của mẫu
  • Lưu ý: i2=−1i^2 = -1, i3=−ii^3 = -i, i4=1i^4 = 1

Lỗi thường gặp và cách tránh:

SaiĐúngGiải thích
i2=1i^2 = 1i2=−1i^2 = -1Định nghĩa cơ bản
$a + bi= a + b$
z1⋅z2‾=z1ˉ⋅z2ˉ\overline{z_1 \cdot z_2} = \bar{z_1} \cdot \bar{z_2}Đúng!Tính chất liên hợp
−4=2\sqrt{-4} = 2=2i= 2iSố thuần ảo

Mẹo nhớ: “i^4 = 1, lặp lại chu kỳ 4”

Hoàn thành Bổ sung: Số phức! Chuyển sang Bổ sung: Khối đa diện

Last updated on
Bổ sung: Hàm mũ và LogaritBổ sung: Khối đa diện