Chương 4 (tiếp): Tích vô hướng

Mục tiêu học tập

Sau khi hoàn thành chương này, bạn sẽ:

• Hiểu định nghĩa và tính chất của tích vô hướng
• Tính toán tích vô hướng bằng tọa độ
• Áp dụng tích vô hướng trong các bài toán hình học

Phần 1: Góc giữa hai vector

1.1. Định nghĩa

Cho hai vector $\vec{a}$ và $\vec{b}$ khác $\vec{0}$.

Lấy điểm O bất kỳ, dựng $\vec{OA} = \vec{a}$ và $\vec{OB} = \vec{b}$.

Góc giữa hai vector $\vec{a}$ và $\vec{b}$, ký hiệu $(\vec{a}, \vec{b})$, là góc $\widehat{AOB}$ với $0° \leq (\vec{a}, \vec{b}) \leq 180°$.

1.2. Các trường hợp đặc biệt

Hình minh họa góc giữa hai vector:

Giải thích: Góc giữa hai vector $\vec{a}$ và $\vec{b}$ được đo khi đặt hai vector chung gốc tại điểm O. Góc này nằm trong khoảng từ 0° (cùng hướng) đến 180° (ngược hướng).

Phần 2: Tích vô hướng

2.1. Định nghĩa

Tích vô hướng của hai vector $\vec{a}$ và $\vec{b}$, ký hiệu $\vec{a} \cdot \vec{b}$, là một số được xác định bởi:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\vec{a}, \vec{b})$

Hình minh họa tích vô hướng:

Giải thích: Tích vô hướng →a · →b = |→a| · |→b| · cos θ. Kết quả là một số thực (không phải vector). Khi θ = 90° thì tích vô hướng = 0 (hai vector vuông góc).

2.2. Các trường hợp đặc biệt

• Nếu $\vec{a} = \vec{0}$ hoặc $\vec{b} = \vec{0}$: $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$
• Nếu $\vec{a} \perp \vec{b}$: $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ (vì $\cos 90° = 0$)
• Nếu $\vec{a}$ và $\vec{b}$ cùng hướng: $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}|$
• Nếu $\vec{a}$ và $\vec{b}$ ngược hướng: $\vec{a} \cdot \vec{b} = -|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|$

2.3. Bình phương vô hướng

$\vec{a}^2 = \vec{a} \cdot \vec{a} = |\vec{a}|^2$

Do đó: $|\vec{a}| = \sqrt{\vec{a}^2}$

2.4. Tính chất của tích vô hướng

Phần 3: Biểu thức tọa độ của tích vô hướng

3.1. Công thức tính

Cho $\vec{a} = (x_1, y_1)$ và $\vec{b} = (x_2, y_2)$:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1 x_2 + y_1 y_2$

3.2. Điều kiện vuông góc

Hai vector $\vec{a}$ và $\vec{b}$ (khác $\vec{0}$) vuông góc với nhau:

$\vec{a} \perp \vec{b} \Leftrightarrow \vec{a} \cdot \vec{b} = 0 \Leftrightarrow x_1 x_2 + y_1 y_2 = 0$

3.3. Công thức tính góc

$\cos(\vec{a}, \vec{b}) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|} = \frac{x_1 x_2 + y_1 y_2}{\sqrt{x_1^2 + y_1^2} \cdot \sqrt{x_2^2 + y_2^2}}$

3.4. Công thức hình chiếu (Projection)

Hình chiếu của $\vec{a}$ lên $\vec{b}$:

$\text{proj}_{\vec{b}} \vec{a} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|^2} \vec{b}$

Độ dài hình chiếu:

$|\text{proj}_{\vec{b}} \vec{a}| = \frac{|\vec{a} \cdot \vec{b}|}{|\vec{b}|} = |\vec{a}| \cdot |\cos\theta|$

Phần 4: Ứng dụng hình học

4.1. Công thức tính độ dài đoạn thẳng

Cho $A(x_A, y_A)$ và $B(x_B, y_B)$:

$AB = |\vec{AB}| = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}$

4.2. Các hệ thức lượng trong tam giác

Định lý cosin:

Trong tam giác ABC: $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cdot \cos A$

Viết dưới dạng vector: $\vec{BC}^2 = \vec{BA}^2 + \vec{CA}^2 - 2\vec{BA} \cdot \vec{CA}$

4.3. Công thức diện tích tam giác

Cho tam giác ABC với $A(x_A, y_A)$, $B(x_B, y_B)$, $C(x_C, y_C)$:

$S_{ABC} = \frac{1}{2} |x_A(y_B - y_C) + x_B(y_C - y_A) + x_C(y_A - y_B)|$

Hoặc sử dụng tích vô hướng: $S_{ABC} = \frac{1}{2}\sqrt{|\vec{AB}|^2 \cdot |\vec{AC}|^2 - (\vec{AB} \cdot \vec{AC})^2}$

Bài tập mẫu có lời giải

Bài 1: Tính tích vô hướng

Đề bài: Cho $\vec{a} = (3, 4)$ và $\vec{b} = (2, -1)$. Tính:

a) $\vec{a} \cdot \vec{b}$

b) Góc giữa $\vec{a}$ và $\vec{b}$

c) Chứng minh $\vec{a} - 2\vec{b}$ vuông góc với $\vec{b}$

Lời giải chi tiết:

Nhắc lại: Công thức tích vô hướng:

• $\vec{a} \cdot \vec{b} = x_a x_b + y_a y_b$
• $\vec{a} \perp \vec{b} \Leftrightarrow \vec{a} \cdot \vec{b} = 0$
• $\cos(\vec{a}, \vec{b}) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}$

a) Tính tích vô hướng $\vec{a} \cdot \vec{b} = 3 \cdot 2 + 4 \cdot (-1) = 6 - 4 = 2$

Lý do: Nhân từng thành phần tương ứng rồi cộng lại.

b) Tính góc

Bước 1: Tính độ dài

• $|\vec{a}| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5$
• $|\vec{b}| = \sqrt{2^2 + (-1)^2} = \sqrt{5}$

Bước 2: Áp dụng công thức cos $\cos(\vec{a}, \vec{b}) = \frac{2}{5 \cdot \sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{25}$

Bước 3: Tính góc $(\vec{a}, \vec{b}) = \arccos\left(\frac{2\sqrt{5}}{25}\right) \approx 79.7°$

Kiểm tra: $\cos > 0$ nên góc nhọn ✓

c) Kiểm tra vuông góc

Bước 1: Tính $\vec{a} - 2\vec{b}$

• $2\vec{b} = (4, -2)$
• $\vec{a} - 2\vec{b} = (3 - 4, 4 - (-2)) = (-1, 6)$

Bước 2: Tính tích vô hướng với $\vec{b}$ $(\vec{a} - 2\vec{b}) \cdot \vec{b} = (-1) \cdot 2 + 6 \cdot (-1) = -2 - 6 = -8 \neq 0$

Kết luận: $\vec{a} - 2\vec{b}$ KHÔNG vuông góc với $\vec{b}$ (phát biểu sai!).

Mở rộng: Để tìm $k$ sao cho $(\vec{a} - k\vec{b}) \perp \vec{b}$: $(\vec{a} - k\vec{b}) \cdot \vec{b} = 0$ ⇒ $\vec{a} \cdot \vec{b} - k|\vec{b}|^2 = 0$ ⇒ $k = \frac{2}{5} = 0.4$

Bài 2: Tìm góc của tam giác

Đề bài: Cho tam giác ABC với $A(1, 2)$, $B(4, 6)$, $C(5, 2)$. Tính góc $\widehat{BAC}$.

Lời giải chi tiết:

Nhắc lại: Góc giữa hai vector: $\cos A = \frac{\vec{AB} \cdot \vec{AC}}{|\vec{AB}| \cdot |\vec{AC}|}$

Quan sát hình: Tam giác ABC có các đỉnh tại A(1,2), B(4,6), C(5,2). Ta cần tính góc tại đỉnh A.

Bước 1: Tính các vector xuất phát từ A

• $\vec{AB} = (4 - 1, 6 - 2) = (3, 4)$
• $\vec{AC} = (5 - 1, 2 - 2) = (4, 0)$

Lý do: Góc tại A được tạo bởi $\vec{AB}$ và $\vec{AC}$.

Bước 2: Tính tích vô hướng và độ dài

• $\vec{AB} \cdot \vec{AC} = 3 \cdot 4 + 4 \cdot 0 = 12$
• $|\vec{AB}| = \sqrt{9 + 16} = 5$
• $|\vec{AC}| = \sqrt{16 + 0} = 4$

Bước 3: Tính cos góc A bằng công thức $\cos A = \frac{\vec{AB} \cdot \vec{AC}}{|\vec{AB}| \cdot |\vec{AC}|} = \frac{12}{5 \cdot 4} = \frac{12}{20} = 0.6$

Bước 4: Tính góc $\widehat{BAC} = \arccos(0.6) \approx 53.13°$

Kiểm tra: $\cos A = 0.6 > 0$ nên góc A nhọn ✓ (phù hợp quan sát hình)

Bài 3: Chứng minh vuông góc

Đề bài: Cho $\vec{a}$ và $\vec{b}$ là hai vector khác 0. Chứng minh nếu $|\vec{a} + \vec{b}| = |\vec{a} - \vec{b}|$ thì $\vec{a} \perp \vec{b}$.

Lời giải chi tiết:

Nhắc lại: Tính chất tích vô hướng:

• $|\vec{v}|^2 = \vec{v} \cdot \vec{v}$
• $(\vec{a} \pm \vec{b})^2 = |\vec{a}|^2 \pm 2\vec{a} \cdot \vec{b} + |\vec{b}|^2$

Bước 1: Bình phương hai vế $|\vec{a} + \vec{b}|^2 = |\vec{a} - \vec{b}|^2$

Lý do: Bình phương để loại bỏ dấu căn và sử dụng hằng đẳng thức.

Bước 2: Khai triển

VT = $(\vec{a} + \vec{b})^2 = |\vec{a}|^2 + 2\vec{a} \cdot \vec{b} + |\vec{b}|^2$

VP = $(\vec{a} - \vec{b})^2 = |\vec{a}|^2 - 2\vec{a} \cdot \vec{b} + |\vec{b}|^2$

Bước 3: So sánh và rút gọn $|\vec{a}|^2 + 2\vec{a} \cdot \vec{b} + |\vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 - 2\vec{a} \cdot \vec{b} + |\vec{b}|^2$

$4\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$

Kết luận: $\vec{a} \perp \vec{b}$ (đpcm) ✓

Ý nghĩa hình học: $|\vec{a} + \vec{b}|$ và $|\vec{a} - \vec{b}|$ là hai đường chéo của hình bình hành. Hình bình hành có hai đường chéo bằng nhau là hình chữ nhật.

Bài 4: Tính diện tích tam giác

Đề bài: Tính diện tích tam giác ABC với $A(1, 1)$, $B(4, 5)$, $C(7, 2)$.

Lời giải chi tiết:

Nhắc lại: Công thức diện tích tam giác:

• Cách 1: $S = \frac{1}{2}|x_A(y_B - y_C) + x_B(y_C - y_A) + x_C(y_A - y_B)|$
• Cách 2: $S = \frac{1}{2}\sqrt{|\vec{AB}|^2 \cdot |\vec{AC}|^2 - (\vec{AB} \cdot \vec{AC})^2}$

Quan sát hình: Tam giác ABC trong mặt phẳng tọa độ.

Cách 1: Dùng công thức tọa độ

Bước 1: Thay tọa độ vào công thức $S = \frac{1}{2}|1(5 - 2) + 4(2 - 1) + 7(1 - 5)|$

Bước 2: Tính từng phần $S = \frac{1}{2}|3 + 4 - 28| = \frac{1}{2} \cdot 21 = 10.5$

Lý do: Công thức này tương đương với diện tích hình thang có dấu.

Cách 2: Dùng tích vô hướng

Bước 1: Tính các vector và các đại lượng cần thiết

• $\vec{AB} = (3, 4)$, $|\vec{AB}|^2 = 25$
• $\vec{AC} = (6, 1)$, $|\vec{AC}|^2 = 37$
• $\vec{AB} \cdot \vec{AC} = 3 \cdot 6 + 4 \cdot 1 = 22$

Bước 2: Áp dụng công thức diện tích $S = \frac{1}{2}\sqrt{|\vec{AB}|^2 \cdot |\vec{AC}|^2 - (\vec{AB} \cdot \vec{AC})^2}$

$S = \frac{1}{2}\sqrt{25 \cdot 37 - 22^2} = \frac{1}{2}\sqrt{925 - 484} = \frac{1}{2}\sqrt{441} = \frac{21}{2} = 10.5$

Kiểm tra: Cả hai cách cho kết quả giống nhau: S = 10.5 ✓

Liên hệ: Công thức cách 2 xuất phát từ $S = \frac{1}{2}|\vec{AB}||\vec{AC}|\sin A$ và $\sin^2 A = 1 - \cos^2 A$.

Bài tập tự luyện

Bài 1

Cho $\vec{a} = (1, -2)$ và $\vec{b} = (3, 1)$. Tính:

a) $\vec{a} \cdot \vec{b}$, $(\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} - \vec{b})$

b) $\cos(\vec{a}, \vec{b})$

c) Tìm $k$ để $\vec{a} + k\vec{b}$ vuông góc với $\vec{b}$

Bài 2

Cho tam giác ABC với $A(0, 3)$, $B(-4, 0)$, $C(4, 0)$. Chứng minh tam giác ABC cân.

Bài 3

Cho $A(1, 2)$, $B(5, 4)$, $C(3, 6)$. Tìm điểm D để ABCD là hình bình hành. Chứng minh ABCD không phải hình thoi.

Bài 4

Cho $\vec{a}$ và $\vec{b}$ thỏa mãn $|\vec{a}| = 3$, $|\vec{b}| = 4$ và $(\vec{a}, \vec{b}) = 60°$. Tính:

a) $\vec{a} \cdot \vec{b}$

b) $|\vec{a} + \vec{b}|$

c) $|\vec{a} - \vec{b}|$

Bài 5

Cho tam giác ABC có các đỉnh $A(1, 1)$, $B(4, 1)$, $C(4, 5)$.

a) Tính độ dài các cạnh và các góc của tam giác

b) Tính diện tích tam giác

c) Xác định tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác

Tóm tắt

Công thức quan trọng

Key Points

• Tích vô hướng = một SỐ, không phải vector
• $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ ⟺ vuông góc (hoặc vector không)
• $\vec{a} \cdot \vec{b} > 0$ ⟺ góc nhọn
• Lưu ý: $\vec{a} \cdot \vec{b} < 0$ ⟺ góc tù