Chương 7 (tiếp): Đường conic

Chương hình học giải tích nâng cao! Elip, Hyperbol, Parabol là các đường cong quan trọng trong toán học và vật lý.

Giới thiệu: Đường conic là gì?

Nguồn gốc tên gọi “Conic”:

Các đường conic (hay đường cô-nic) được đặt tên vì chúng là các đường cắt của một mặt nón (cone) với một mặt phẳng:

Elip: Mặt phẳng cắt nghiêng, không song song với đường sinh
Parabol: Mặt phẳng song song với đường sinh
Hyperbol: Mặt phẳng cắt cả hai nón đối đỉnh

Nhà toán học Hy Lạp Apollonius đã nghiên cứu các đường này từ thế kỷ 3 TCN!

Ứng dụng thực tế

Đường conic	Ứng dụng
Elip	Quỹ đạo hành tinh, bể truyền âm
Parabol	Ăng-ten vệ tinh, quỹ đạo vật ném
Hyperbol	Hệ thống định vị GPS, tháp làm mát

Mục tiêu học tập

Sau khi hoàn thành chương này, bạn sẽ:

Hiểu định nghĩa và phương trình chính tắc của các đường conic
Xác định các yếu tố đặc trưng: tiêu điểm, đỉnh, trục
Áp dụng vào bài toán thực tế

Phần 1: Elip

1.1. Định nghĩa

Elip là tập hợp các điểm $M$ trong mặt phẳng sao cho tổng khoảng cách từ $M$ đến hai điểm cố định $F_1$ , $F_2$ (gọi là tiêu điểm) là một hằng số:

$MF_1 + MF_2 = 2a \quad (2a > F_1F_2)$

Trực giác về định nghĩa:

Hãy tưởng tượng bạn có hai đinh cố định (tiêu điểm) và một sợi dây dài 2a. Nếu bạn căng sợi dây bằng bút chì và vẽ xung quanh hai đinh, bạn sẽ vẽ được một elip!

Sợi dây luôn có độ dài không đổi = $MF_1 + MF_2 = 2a$
Điều kiện $2a > F_1F_2$ đảm bảo sợi dây đủ dài để tạo thành elip

1.2. Phương trình chính tắc

$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \quad (a > b > 0)$

1.3. Các yếu tố và mối quan hệ

Yếu tố	Công thức	Ý nghĩa
Tiêu điểm	$F_1(-c, 0)$ , $F_2(c, 0)$	Hai điểm cố định trong định nghĩa
Đỉnh trục lớn	$A_1(-a, 0)$ , $A_2(a, 0)$	Điểm xa nhất trên trục Ox
Đỉnh trục nhỏ	$B_1(0, -b)$ , $B_2(0, b)$	Điểm xa nhất trên trục Oy
Tiêu cự	$2c = F_1F_2$	Khoảng cách giữa hai tiêu điểm
Tâm sai	$e = \frac{c}{a} < 1$	Độ “dẹt” của elip

Quan hệ quan trọng giữa a, b, c:

$c^2 = a^2 - b^2 \quad \text{(hay } b^2 = a^2 - c^2\text{)}$

Cách nhớ: Trong elip, $a > b > 0$ và $a > c > 0$ . Ta có:

$a$ = bán trục lớn (lớn nhất)
$b$ = bán trục nhỏ
$c$ = tiêu cự/2

Dùng định lý Pythagoras: tại đỉnh trục nhỏ $B(0, b)$ : $BF_1 = BF_2 = a$ (do $BF_1 + BF_2 = 2a$ và đối xứng)

Nên: $a^2 = b^2 + c^2$

1.4. Tính chất

Đối xứng qua gốc O, trục Ox, trục Oy
Tâm sai $e = 0$ khi elip là đường tròn ( $a = b$ , $c = 0$ )
$e$ càng gần 1 thì elip càng “dẹt” (hai tiêu điểm càng xa nhau)

Tính chất phản xạ của Elip (Optical Property):

Tia sáng xuất phát từ một tiêu điểm, sau khi phản xạ trên elip, sẽ đi qua tiêu điểm còn lại!

Ứng dụng:

Phòng thì thầm (Whispering Gallery): Người đứng ở một tiêu điểm có thể nghe rõ người nói ở tiêu điểm kia dù cách xa hàng chục mét
Lithotripsy y học: Máy tán sỏi thận dùng sóng âm tập trung vào tiêu điểm
Thiên văn học: Kính thiên văn phản xạ

Hình minh họa elip:

Giải thích: Elip có hai tiêu điểm F₁, F₂ nằm trên trục lớn. Với mọi điểm M trên elip: MF₁ + MF₂ = 2a. Trục lớn có độ dài 2a, trục nhỏ có độ dài 2b.

Phần 2: Hyperbol

2.1. Định nghĩa

Hyperbol là tập hợp các điểm $M$ trong mặt phẳng sao cho hiệu khoảng cách từ $M$ đến hai tiêu điểm $F_1$ , $F_2$ là một hằng số:

$|MF_1 - MF_2| = 2a \quad (0 < 2a < F_1F_2)$

2.2. Phương trình chính tắc

$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 \quad (a, b > 0)$

Các yếu tố:

Yếu tố	Công thức
Tiêu điểm	$F_1(-c, 0)$ , $F_2(c, 0)$ với $c = \sqrt{a^2 + b^2}$
Đỉnh	$A_1(-a, 0)$ , $A_2(a, 0)$
Tiệm cận	$y = \pm \frac{b}{a}x$
Tâm sai	$e = \frac{c}{a} > 1$

2.3. Tính chất

Có hai nhánh đối xứng
Hai tiệm cận cắt nhau tại tâm O
$e$ càng gần 1 thì hyperbol càng “hẹp”

Ứng dụng thực tế của Hyperbol:

Hệ thống định vị LORAN/GPS:

Nguyên lý: Vị trí của tàu/máy bay được xác định dựa trên hiệu thời gian nhận tín hiệu từ 2 trạm phát.

Mỗi cặp trạm tạo ra một hyperbol (vị trí có $|MF_1 - MF_2| = \text{const}$ )
Giao điểm của nhiều hyperbol → vị trí chính xác

Kiến trúc - Tháp làm mát:

Các tháp làm mát của nhà máy điện hạt nhân có dạng hyperboloid xoay:

Tiết kiệm vật liệu (thiết diện mỏng)
Chịu lực tốt (phân bố ứng suất đều)
Tạo luồng không khí hiệu quả

Hình minh họa hyperbol:

Giải thích: Hyperbol có hai nhánh, mỗi nhánh tiến dần về đường tiệm cận y = ±(b/a)x. Với mọi điểm M trên hyperbol: |MF₁ - MF₂| = 2a.

Phần 3: Parabol

3.1. Định nghĩa

Parabol là tập hợp các điểm $M$ trong mặt phẳng cách đều một điểm cố định $F$ (tiêu điểm) và một đường thẳng cố định $d$ (đường chuẩn):

$MF = d(M, d)$

3.2. Phương trình chính tắc

$y^2 = 2px \quad (p > 0)$

Các yếu tố:

Yếu tố	Công thức
Tiêu điểm	$F\left(\frac{p}{2}, 0\right)$
Đường chuẩn	$x = -\frac{p}{2}$
Đỉnh	O(0, 0)
Tham số tiêu	$p$

3.3. Tính chất

Đối xứng qua trục Ox
Mở rộng vô hạn về phía dương trục Ox
Ứng dụng: gương parabol, quỹ đạo vật ném xiên

Tính chất phản xạ của Parabol:

Mọi tia song song với trục đối xứng, sau khi phản xạ trên parabol, đều hội tụ tại tiêu điểm F!

Đèn pha ô tô / Đèn pin:

Nguồn sáng đặt tại tiêu điểm
Sau phản xạ → tia sáng song song, chiếu xa

Ăng-ten vệ tinh (Satellite Dish):

Tín hiệu từ vệ tinh đến song song
Tất cả hội tụ tại tiêu điểm (nơi đặt bộ thu)

Bếp năng lượng mặt trời:

Ánh sáng mặt trời song song
Tập trung năng lượng tại tiêu điểm → đun nước sôi

Quỹ đạo vật ném xiên (Projectile Motion):

Khi ném một vật với vận tốc ban đầu $v_0$ và góc ném $\alpha$ :

$y = x \tan\alpha - \frac{g \cdot x^2}{2v_0^2 \cos^2\alpha}$

Đây là phương trình parabol với tiêu điểm phụ thuộc vào $v_0$ và $\alpha$ .

Ứng dụng: Tính tầm bay xa tối đa khi $\alpha = 45°$ : $x_{max} = \frac{v_0^2 \sin 2\alpha}{g} = \frac{v_0^2}{g}$

Hình minh họa parabol:

Giải thích: Parabol có một tiêu điểm F và một đường chuẩn d. Mọi điểm M trên parabol cách đều F và d. Parabol mở về phía tiêu điểm.

Lỗi thường gặp với đường conic:

Nhầm $a$ và $b$ trong Elip: $a > b > 0$ luôn! Trục LỚN nằm trên trục chứa tiêu điểm
Quên $c^2 = a^2 - b^2$ (Elip) vs $c^2 = a^2 + b^2$ (Hyperbol): Công thức khác nhau!
Parabol: $y^2 = 2px$ → mở phải (p > 0) hoặc trái (p < 0), tiêu điểm $F(\frac{p}{2}, 0)$

Bài tập mẫu có lời giải

Bài 1: Elip

Đề bài: Cho elip $(E): \frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9} = 1$ . Tìm tiêu điểm, tâm sai.

Lời giải:

Nhắc lại: Với elip $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ (a > b):

Tiêu điểm: $F_1(-c, 0)$ , $F_2(c, 0)$ với $c = \sqrt{a^2 - b^2}$

Tâm sai: $e = \frac{c}{a}$ (0 < e < 1)

Bước 1: Xác định a và b từ phương trình $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9} = 1$

$a^2 = 25 \Rightarrow a = 5$ (bán trục lớn)
$b^2 = 9 \Rightarrow b = 3$ (bán trục nhỏ)

Bước 2: Tính tiêu cự c $c = \sqrt{a^2 - b^2} = \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = 4$

Bước 3: Xác định tiêu điểm và tâm sai

Tiêu điểm: $F_1(-4, 0)$ và $F_2(4, 0)$
Tâm sai: $e = \frac{c}{a} = \frac{4}{5} = 0.8$

Ý nghĩa tâm sai: $e = 0.8$ khá gần 1, nên elip này khá “dẹt” (không tròn lắm). Nếu $e \to 0$ , elip gần thành hình tròn. Nếu $e \to 1$ , elip rất dẹt.

Bài 2: Hyperbol

Đề bài: Lập phương trình hyperbol biết tiêu điểm $F(5, 0)$ và tâm sai $e = \frac{5}{4}$ .

Lời giải:

Nhắc lại: Với hyperbol $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ :

Tiêu điểm: $F_1(-c, 0)$ , $F_2(c, 0)$

Quan hệ: $c^2 = a^2 + b^2$ (lưu ý: khác với elip!)

Tâm sai: $e = \frac{c}{a} > 1$

Bước 1: Xác định c từ tiêu điểm

Tiêu điểm $F(5, 0)$ → $c = 5$

Bước 2: Tính a từ tâm sai $e = \frac{c}{a} = \frac{5}{4} \Rightarrow a = \frac{c}{e} = \frac{5}{\frac{5}{4}} = 4$

Bước 3: Tính b từ quan hệ $c^2 = a^2 + b^2$ $b^2 = c^2 - a^2 = 25 - 16 = 9 \Rightarrow b = 3$

Bước 4: Viết phương trình hyperbol $\frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{9} = 1$

Kiểm tra: $c^2 = a^2 + b^2 = 16 + 9 = 25$ ✓, $c = 5$ ✓

Bài 3: Parabol

Đề bài: Cho parabol $y^2 = 8x$ . Tìm tiêu điểm và đường chuẩn.

Lời giải:

Nhắc lại: Với parabol $y^2 = 2px$ (p > 0):

Tiêu điểm: $F\left(\frac{p}{2}, 0\right)$

Đường chuẩn: $x = -\frac{p}{2}$

Bước 1: Xác định p từ phương trình $y^2 = 8x = 2px$ $\Rightarrow 2p = 8 \Rightarrow p = 4$

Bước 2: Tìm tiêu điểm $F\left(\frac{p}{2}, 0\right) = F\left(\frac{4}{2}, 0\right) = F(2, 0)$

Bước 3: Tìm đường chuẩn $x = -\frac{p}{2} = -\frac{4}{2} = -2$

Ý nghĩa hình học: Mọi điểm M trên parabol có tính chất: Khoảng cách từ M đến tiêu điểm F = Khoảng cách từ M đến đường chuẩn. Đây là định nghĩa của parabol!

Bài tập tự luyện

Bài 1

Cho elip $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{7} = 1$ . Tìm độ dài trục lớn, trục nhỏ, tiêu cự.

Bài 2

Lập phương trình elip biết đi qua $A(3, 0)$ và $B(0, 2)$ .

Bài 3

Tìm tiệm cận của hyperbol $\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{4} = 1$ .

Bài 4

Một điểm M trên parabol $y^2 = 4x$ có hoành độ bằng 4. Tính khoảng cách từ M đến tiêu điểm.

Tóm tắt

Công thức quan trọng

Đường conic	Phương trình chính tắc	Tham số
Elip	$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$	$a > b$ , $c^2 = a^2 - b^2$
Hyperbol	$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$	$c^2 = a^2 + b^2$
Parabol	$y^2 = 2px$	Tiêu điểm $F(\frac{p}{2}, 0)$

Key Points

Elip: $c^2 = a^2 - b^2$ (trừ!) và $a > b > 0$
Hyperbol: $c^2 = a^2 + b^2$ (cộng!)
Parabol: Tiêu điểm cách đỉnh $\frac{p}{2}$
Lưu ý: Tiệm cận Hyperbol: $y = \pm\frac{b}{a}x$

Lỗi thường gặp và cách tránh:

Sai	Đúng	Giải thích
Elip: $c^2 = a^2 + b^2$	Elip: $c^2 = a^2 - b^2$	Elip dùng TRỪ
Hyperbol: $c^2 = a^2 - b^2$	Hyperbol: $c^2 = a^2 + b^2$	Hyperbol dùng CỘNG
Nhầm $a$ và $b$ trong elip	$a$ là bán trục LỚN	$a > b$ trong elip
Tiêu điểm parabol = $p$	Tiêu điểm = $\frac{p}{2}$	Chia 2!

Mẹo nhớ:

Elip: “Trục lớn CỘNG, tìm c thì TRỪ”
Hyperbol: “Trục thực bằng 2a, tiêu cự = 2c, c² = a² + b²”
Parabol: “Tiêu điểm = nửa p, đường chuẩn = âm nửa p”

Hoàn thành chương 10! Quay lại Mục lục Lớp 10