Chương 5 (tiếp): Tổ hợp và Xác suất

Mục tiêu học tập

Sau khi hoàn thành chương này, bạn sẽ:

• Nắm vững các quy tắc đếm cơ bản
• Phân biệt và tính hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp
• Áp dụng nhị thức Newton
• Tính xác suất của biến cố

Phần 1: Quy tắc đếm

1.1. Quy tắc cộng

Nếu công việc A có thể thực hiện theo một trong n cách loại trừ nhau: cách 1, cách 2, …, cách n; trong đó:

• Cách 1 có $m_1$ phương án
• Cách 2 có $m_2$ phương án
• …
• Cách n có $m_n$ phương án

Thì công việc A có: $m_1 + m_2 + ... + m_n$ phương án.

1.2. Quy tắc nhân

Nếu công việc A được thực hiện qua n giai đoạn liên tiếp:

• Giai đoạn 1 có $m_1$ cách
• Giai đoạn 2 có $m_2$ cách
• …
• Giai đoạn n có $m_n$ cách

Thì công việc A có: $m_1 \times m_2 \times ... \times m_n$ cách.

Phần 2: Hoán vị, Chỉnh hợp, Tổ hợp

2.1. Giai thừa

$n! = n \times (n-1) \times (n-2) \times ... \times 2 \times 1$

Quy ước: $0! = 1$

Ví dụ:

• $5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$
• $3! = 6$

2.2. Hoán vị

Định nghĩa: Hoán vị của $n$ phần tử là một cách sắp xếp có thứ tự $n$ phần tử đó.

Công thức: $P_n = n!$

Ví dụ: Có bao nhiêu cách xếp 5 người ngồi vào 5 ghế?

$P_5 = 5! = 120$ cách

2.3. Chỉnh hợp

Định nghĩa: Chỉnh hợp chập $k$ của $n$ phần tử ($k \leq n$) là một cách chọn $k$ phần tử từ $n$ phần tử rồi sắp xếp chúng có thứ tự.

Công thức: $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!} = n(n-1)...(n-k+1)$

Ví dụ: Chọn 3 người từ 10 người để xếp vào 3 vị trí chủ tịch, phó chủ tịch, thư ký:

$A_{10}^3 = 10 \times 9 \times 8 = 720$ cách

2.4. Tổ hợp

Định nghĩa: Tổ hợp chập $k$ của $n$ phần tử ($k \leq n$) là một cách chọn $k$ phần tử từ $n$ phần tử (không kể thứ tự).

Công thức: $C_n^k = \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!} = \frac{A_n^k}{k!}$

Ví dụ: Chọn 3 người từ 10 người để lập một đội (không phân biệt vị trí):

$C_{10}^3 = \frac{10!}{3! \cdot 7!} = \frac{10 \times 9 \times 8}{6} = 120$ cách

Hình minh họa sự khác biệt giữa hoán vị và tổ hợp:

Giải thích: Hoán vị quan tâm đến thứ tự (AB ≠ BA), tổ hợp không quan tâm. Do đó số tổ hợp = số chỉnh hợp ÷ k! (vì k phần tử có k! cách sắp xếp).

2.5. Tính chất của tổ hợp

$C_n^0 = C_n^n = 1$

$C_n^k = C_n^{n-k}$

$C_n^k + C_n^{k+1} = C_{n+1}^{k+1}$

Phần 3: Nhị thức Newton

3.1. Công thức khai triển

$(a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k a^{n-k} b^k$

$= C_n^0 a^n + C_n^1 a^{n-1}b + C_n^2 a^{n-2}b^2 + ... + C_n^n b^n$

3.2. Số hạng tổng quát

Số hạng thứ $(k+1)$ trong khai triển $(a+b)^n$:

$T_{k+1} = C_n^k a^{n-k} b^k$

3.3. Tam giác Pascal

         1           (n=0)
        1 1          (n=1)
       1 2 1         (n=2)
      1 3 3 1        (n=3)
     1 4 6 4 1       (n=4)

3.4. Phân phối nhị thức (Binomial Distribution)

3.5. Các hệ quả

$2^n = C_n^0 + C_n^1 + C_n^2 + ... + C_n^n$

$0 = C_n^0 - C_n^1 + C_n^2 - ... + (-1)^n C_n^n$

Phần 4: Xác suất

4.1. Không gian mẫu và biến cố

Không gian mẫu $\Omega$: Tập hợp tất cả các kết quả có thể của phép thử.

Biến cố: Tập con của không gian mẫu.

• Biến cố chắc chắn: $\Omega$
• Biến cố không thể: $\emptyset$

4.2. Xác suất cổ điển

$P(A) = \frac{|A|}{|\Omega|} = \frac{\text{Số kết quả thuận lợi}}{\text{Tổng số kết quả có thể}}$

Tính chất:

• $0 \leq P(A) \leq 1$
• $P(\Omega) = 1$
• $P(\emptyset) = 0$

4.3. Các quy tắc xác suất

Xác suất của biến cố đối: $P(\bar{A}) = 1 - P(A)$

Quy tắc cộng xác suất:

• Hai biến cố xung khắc: $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$
• Hai biến cố bất kỳ: $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$

Quy tắc nhân xác suất (hai biến cố độc lập): $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$

Hình minh họa cây xác suất:

Hình minh họa Venn biến cố:

Giải thích: Sơ đồ Venn minh họa quan hệ giữa các biến cố: hợp $A \cup B$, giao $A \cap B$, và phần bù $\bar{A}$. Dùng để kiểm tra tính xung khắc hoặc tính công thức cộng xác suất.

Giải thích: Cây xác suất giúp tính xác suất của các biến cố kết hợp. Xác suất mỗi nhánh = tích các xác suất trên đường đi từ gốc. Công thức Bayes: P(B) = P(A)·P(B|A) + P(Ā)·P(B|Ā).

Bài tập mẫu có lời giải

Bài 1: Quy tắc đếm

Đề bài: Có bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau được lập từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5?

Lời giải:

Nhắc lại: Số có 4 chữ số: $\overline{abcd}$ với chữ số đầu $a \neq 0$. Dùng quy tắc nhân khi các bước chọn liên tiếp và độc lập.

Bước 1: Chọn chữ số hàng nghìn ($a$) $a \in \{1, 2, 3, 4, 5\} \Rightarrow 5 \text{ cách}$

Lý do: $a \neq 0$ vì số có 4 chữ số phải có chữ số đầu khác 0.

Bước 2: Chọn chữ số hàng trăm ($b$) $b \in \{0, 1, 2, 3, 4, 5\} \setminus \{a\} \Rightarrow 5 \text{ cách}$

Lý do: Còn lại 6 - 1 = 5 chữ số (vì các chữ số phải khác nhau).

Bước 3: Chọn chữ số hàng chục ($c$) $c \text{ còn } 4 \text{ cách}$

Bước 4: Chọn chữ số hàng đơn vị ($d$) $d \text{ còn } 3 \text{ cách}$

Kết quả (theo quy tắc nhân): $5 \times 5 \times 4 \times 3 = 300 \text{ số}$

Kiểm tra ý nghĩa: $300 < A_6^4 = 360$ vì ta loại bỏ các số bắt đầu bằng 0.

Bài 2: Tổ hợp

Đề bài: Một lớp có 30 học sinh, trong đó có 18 nam và 12 nữ. Chọn 5 học sinh sao cho có đúng 3 nam và 2 nữ. Có bao nhiêu cách?

Lời giải:

Nhắc lại: Dùng tổ hợp $C_n^k$ khi chọn không xét thứ tự. Dùng quy tắc nhân khi các lựa chọn độc lập.

Bước 1: Chọn 3 nam từ 18 nam $C_{18}^3 = \frac{18!}{3! \cdot 15!} = \frac{18 \times 17 \times 16}{6} = 816 \text{ cách}$

Lý do: Dùng tổ hợp vì chỉ cần chọn ai, không cần sắp xếp thứ tự.

Bước 2: Chọn 2 nữ từ 12 nữ $C_{12}^2 = \frac{12 \times 11}{2} = 66 \text{ cách}$

Bước 3: Áp dụng quy tắc nhân $\text{Số cách} = 816 \times 66 = 53856 \text{ cách}$

Lý do: Hai việc chọn nam và chọn nữ độc lập, nên nhân số cách với nhau.

Kiểm tra: $53856 < C_{30}^5 = 142506$ ✓ (vì ta chỉ đếm 1 trường hợp cụ thể)

Bài 3: Nhị thức Newton

Đề bài: Tìm hệ số của $x^5$ trong khai triển $(2x - 1)^8$

Lời giải:

Nhắc lại: Công thức nhị thức Newton: $(a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k \cdot a^{n-k} \cdot b^k$ Số hạng chứa $x^5$ ứng với $a = 2x$, $b = -1$ và $n-k = 5$.

Bước 1: Viết số hạng tổng quát $T_{k+1} = C_8^k \cdot (2x)^{8-k} \cdot (-1)^k = C_8^k \cdot 2^{8-k} \cdot (-1)^k \cdot x^{8-k}$

Lý do: Tách $2x$ thành $2^{8-k} \cdot x^{8-k}$ để dễ tìm số mũ của $x$.

Bước 2: Tìm $k$ để số hạng chứa $x^5$ $8 - k = 5 \Rightarrow k = 3$

Bước 3: Tính hệ số khi $k = 3$ $\text{Hệ số} = C_8^3 \cdot 2^5 \cdot (-1)^3$ $= 56 \times 32 \times (-1) = -1792$

Lý do: $(-1)^3 = -1$ vì số mũ lẻ, nên hệ số âm.

Kiểm tra: Có thể dùng máy tính khai triển $(2x-1)^8$ để verify.

Bài 4: Xác suất

Đề bài: Gieo hai con súc sắc. Tính xác suất để tổng số chấm bằng 7.

Lời giải:

Nhắc lại: Công thức xác suất cổ điển: $P(A) = \frac{|A|}{|\Omega|} = \frac{\text{Số kết quả thuận lợi}}{\text{Tổng số kết quả}}$

Bước 1: Xác định không gian mẫu $\Omega$

Mỗi con súc sắc có 6 mặt, gieo 2 con độc lập: $|\Omega| = 6 \times 6 = 36 \text{ kết quả}$

Lý do: Dùng quy tắc nhân vì 2 con súc sắc độc lập.

Bước 2: Liệt kê biến cố A = “Tổng bằng 7”

$|A| = 6 \text{ kết quả}$

Lý do: Liệt kê tất cả các cặp $(a, b)$ với $a + b = 7$ và $1 \leq a, b \leq 6$.

Bước 3: Tính xác suất $P(A) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6} \approx 16.67\%$

Kiểm tra ý nghĩa: 7 là tổng có nhiều cách lập nhất (so với 2 hoặc 12 chỉ có 1 cách), nên $P = 1/6$ hợp lý.

Bài tập tự luyện

Bài 1

Có bao nhiêu số chẵn có 5 chữ số được lập từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 (các chữ số không nhất thiết khác nhau)?

Bài 2

Một hộp có 10 quả cầu đỏ và 5 quả cầu xanh. Lấy ngẫu nhiên 4 quả. Tính xác suất:

a) Cả 4 quả đều đỏ

b) Có đúng 2 quả đỏ

c) Có ít nhất 1 quả xanh

Bài 3

Tìm số hạng không chứa $x$ trong khai triển $\left(x^2 + \frac{1}{x}\right)^9$

Bài 4

Chứng minh: $C_n^0 + C_n^2 + C_n^4 + ... = C_n^1 + C_n^3 + C_n^5 + ... = 2^{n-1}$

Liên hệ Đại học: Ứng dụng trong Bảo mật

Tóm tắt

Công thức quan trọng

Key Points

• Hoán vị: Sắp xếp tất cả, có thứ tự
• Chỉnh hợp: Chọn k phần tử, có thứ tự
• Tổ hợp: Chọn k phần tử, không thứ tự
• Nhị thức Newton: $(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k a^{n-k} b^k$
• Lưu ý: $C_n^k = C_n^{n-k}$ (tính chất đối xứng)