Bổ sung: Phương trình và Hệ phương trình

Mục tiêu học tập

Sau khi hoàn thành chương này, bạn sẽ:

Nắm vững phương pháp giải phương trình bậc nhất, bậc hai
Hiểu và áp dụng hệ thức Viète
Thành thạo giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn
Áp dụng giải quyết các bài toán thực tế

Phần 1: Đại cương về phương trình

1.1. Định nghĩa và khái niệm cơ bản

Phương trình một ẩn $x$ là mệnh đề chứa biến có dạng: $f(x) = g(x)$

trong đó $f(x)$ và $g(x)$ là các biểu thức chứa $x$ .

Nghiệm (hay căn): Giá trị $x_0$ thỏa mãn $f(x_0) = g(x_0)$

Tập nghiệm: Tập hợp tất cả các nghiệm, ký hiệu $S$

Giải phương trình: Tìm tất cả các nghiệm của phương trình

1.2. Phương trình tương đương

Định nghĩa: Hai phương trình được gọi là tương đương (ký hiệu ⇔) nếu chúng có cùng tập nghiệm.

Các phép biến đổi tương đương:

Cộng (trừ) hai vế với cùng một biểu thức xác định với mọi $x$
Nhân (chia) hai vế với cùng một số khác 0

Lưu ý quan trọng: Khi nhân/chia hai vế với biểu thức chứa ẩn có thể:

Làm mất nghiệm (nếu biểu thức đó bằng 0 tại nghiệm)
Thêm nghiệm ngoại lai (nếu biểu thức bằng 0 tại giá trị nào đó)

1.3. Phương trình hệ quả

Định nghĩa: $f(x) = g(x) \Rightarrow h(x) = 0$ thì $h(x) = 0$ gọi là phương trình hệ quả.

Nghiệm của PT hệ quả chứa nghiệm của PT ban đầu, nhưng có thể có thêm nghiệm ngoại lai.

Quy tắc: Phải thử lại nghiệm vào phương trình ban đầu để loại nghiệm ngoại lai.

Phần 2: Phương trình bậc nhất

2.1. Định nghĩa và cách giải

Dạng tổng quát: $ax + b = 0$ với $a \neq 0$

Nghiệm: $x = -\frac{b}{a}$

Tập nghiệm: $S = \left\lbrace -\frac{b}{a} \right\rbrace$

2.2. Ví dụ mẫu

Bài toán: Giải phương trình $3x - 7 = 2x + 5$

Lời giải:

$3x - 7 = 2x + 5$ $3x - 2x = 5 + 7$ $x = 12$

Kiểm tra: Thay $x = 12$ : VT = $3(12) - 7 = 29$ , VP = $2(12) + 5 = 29$ ✓

Kết luận: $S = \lbrace 12 \rbrace$

Phần 3: Phương trình bậc hai

3.1. Dạng tổng quát

$ax^2 + bx + c = 0 \quad (a \neq 0)$

3.2. Công thức nghiệm

Biệt thức (Discriminant): $\Delta = b^2 - 4ac$

Công thức nghiệm:

Điều kiện	Số nghiệm	Công thức
$\Delta > 0$	2 nghiệm phân biệt	$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$
$\Delta = 0$	1 nghiệm kép	$x = -\frac{b}{2a}$
$\Delta < 0$	Vô nghiệm trong $\mathbb{R}$

3.3. Công thức nghiệm thu gọn

Khi $b = 2b'$ (hệ số $b$ chẵn), dùng $\Delta' = b'^2 - ac$

Điều kiện	Công thức
$\Delta' > 0$	$x_{1,2} = \frac{-b' \pm \sqrt{\Delta'}}{a}$
$\Delta' = 0$	$x = -\frac{b'}{a}$
$\Delta' < 0$	Vô nghiệm

Mẹo: Dùng công thức thu gọn khi $b$ là số chẵn giúp tính toán đơn giản hơn.

3.4. Hệ thức Viète

Nếu $x_1, x_2$ là hai nghiệm của $ax^2 + bx + c = 0$ thì:

$S = x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$

$P = x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$

Ứng dụng quan trọng của Viète:

Tính tổng và tích nghiệm mà không cần giải phương trình
Lập phương trình bậc hai khi biết hai nghiệm: $x^2 - Sx + P = 0$
Tính các biểu thức đối xứng qua $S$ $S$ và $P$ $P$ :
- $x_1^2 + x_2^2 = S^2 - 2P$
- $x_1^3 + x_2^3 = S^3 - 3SP$
- $\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = \frac{S}{P}$

Điều kiện để PT có nghiệm thỏa mãn (HAY THI!):

Yêu cầu	Điều kiện (cần và đủ)
Hai nghiệm dương	$\Delta \geq 0$ , $S > 0$ , $P > 0$
Hai nghiệm âm	$\Delta \geq 0$ , $S < 0$ , $P > 0$
Hai nghiệm trái dấu	$P < 0$ (không cần xét $\Delta$ !)
Hai nghiệm cùng dấu	$P > 0$

Mẹo: Khi $P < 0$ → PT luôn có 2 nghiệm trái dấu (vì $\Delta = S^2 - 4P > 0$ )

Lỗi thường gặp với Viète trong bài tham số:

Quên kiểm tra $\Delta \geq 0$ trước khi dùng Viète → nhận $m$ sai
Nhầm dấu: $S = x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$ (có dấu trừ!), $P = x_1 x_2 = \frac{c}{a}$ (không có dấu trừ!)
Khi đề bảo “hai nghiệm dương” mà chỉ xét $\Delta > 0$ → thiếu $S > 0$ và $P > 0$

3.5. Liên hệ Đại học: Biệt thức và Đại số tuyến tính

Tại sao gọi là “Discriminant” (Biệt thức)?

Trong tiếng Latin, “discriminare” có nghĩa là “phân biệt”. Biệt thức $\Delta$ chính xác phân biệt 3 trường hợp:

$\Delta$	Loại nghiệm	Ý nghĩa hình học
$\Delta > 0$	2 nghiệm thực phân biệt	Parabol cắt trục Ox tại 2 điểm
$\Delta = 0$	1 nghiệm kép	Parabol tiếp xúc trục Ox
$\Delta < 0$	2 nghiệm phức	Parabol không cắt trục Ox

Ở đại học: Biệt thức mở rộng cho PT bậc cao hơn và liên quan đến định thức Sylvester — công cụ xác định xem hai đa thức có nghiệm chung hay không.

Preview Đại học: Công thức nghiệm từ phép chia đa thức

Công thức $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ có thể được suy ra bằng phương pháp hoàn chỉnh bình phương:

$ax^2 + bx + c = a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{b^2 - 4ac}{4a}$

Đây là nền tảng cho phép biến đổi chính tắc trong đại số tuyến tính, dùng để đưa dạng toàn phương về dạng chuẩn.

Phần 4: Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn

4.1. Dạng tổng quát

Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng:

$a_1x + b_1y = c_1$ … (1)

$a_2x + b_2y = c_2$ … (2)

Hình minh họa nghiệm của hệ phương trình:

Giải thích: Mỗi PT bậc nhất hai ẩn biểu diễn một đường thẳng. Nghiệm của hệ PT là giao điểm của hai đường thẳng. Hệ vô nghiệm nếu hai đường song song, vô số nghiệm nếu hai đường trùng nhau.

Đồ thị tương tác - Ví dụ hệ PT có nghiệm duy nhất:

Đang tải đồ thị...

Giải thích: Hệ phương trình $\begin{cases} 2x + y = 5 \\ x - y = 1 \end{cases}$ có nghiệm duy nhất $(2, 1)$ - là giao điểm của hai đường thẳng. Bạn có thể kiểm tra: $2(2) + 1 = 5$ (đúng) và $2 - 1 = 1$ (đúng)

4.2. Phương pháp thế

Các bước:

Từ một phương trình, rút một ẩn theo ẩn còn lại
Thế vào phương trình còn lại, được PT một ẩn
Giải PT một ẩn, tìm giá trị ẩn đó
Thế ngược lại để tìm ẩn kia

4.3. Phương pháp cộng đại số

Các bước:

Nhân các phương trình với hệ số thích hợp để hệ số của một ẩn đối nhau
Cộng vế với vế để khử một ẩn
Giải PT một ẩn
Thế ngược lại để tìm ẩn kia

4.4. Điều kiện về số nghiệm

Điều kiện	Số nghiệm
$\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}$	Nghiệm duy nhất
$\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$	Vô nghiệm
$\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$	Vô số nghiệm

4.5. Quy tắc Cramer (Preview Đại học)

Công thức nghiệm bằng định thức

Với hệ $\begin{cases} a_1x + b_1y = c_1 \\ a_2x + b_2y = c_2 \end{cases}$ , nghiệm được tính bởi:

$D = \begin{vmatrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \end{vmatrix} = a_1b_2 - a_2b_1$

$D_x = \begin{vmatrix} c_1 & b_1 \\ c_2 & b_2 \end{vmatrix} = c_1b_2 - c_2b_1$

$D_y = \begin{vmatrix} a_1 & c_1 \\ a_2 & c_2 \end{vmatrix} = a_1c_2 - a_2c_1$

Kết quả: Nếu $D \neq 0$ thì $x = \frac{D_x}{D}$ , $y = \frac{D_y}{D}$

Ý nghĩa hình học của định thức D

$|D|$ = diện tích hình bình hành tạo bởi 2 vector hệ số $(a_1, b_1)$ và $(a_2, b_2)$
$D = 0$ ⟺ hai vector cùng phương ⟺ hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau
$D \neq 0$ ⟺ hai đường thẳng cắt nhau tại đúng 1 điểm

Ứng dụng: Trong Computer Graphics và Game Development, định thức dùng để kiểm tra xem hai đoạn thẳng có giao nhau hay không.

Preview: Dạng ma trận (Đại số tuyến tính)

Hệ PT viết dưới dạng: $A\vec{x} = \vec{b}$

$\begin{pmatrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} c_1 \\ c_2 \end{pmatrix}$

Nghiệm: $\vec{x} = A^{-1}\vec{b}$ (nếu $\det(A) \neq 0$ )

Ở đại học: Phương pháp này mở rộng cho hệ $n$ ẩn, sử dụng phép khử Gauss hoặc phân tích LU.

Bài tập mẫu có lời giải

Bài 1: Giải phương trình bậc hai bằng công thức

Đề bài: Giải phương trình $2x^2 - 5x + 3 = 0$

Lời giải chi tiết:

Nhắc lại: Công thức nghiệm PT $ax^2 + bx + c = 0$ :

$\Delta = b^2 - 4ac$

$\Delta > 0$ : $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$

Nhận dạng: $a = 2$ , $b = -5$ , $c = 3$

Bước 1: Tính biệt thức $\Delta = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 25 - 24 = 1 > 0$

Lý do: $\Delta > 0$ nên PT có 2 nghiệm phân biệt.

Bước 2: Áp dụng công thức nghiệm

$x_1 = \frac{5 - \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{5 - 1}{4} = 1$

$x_2 = \frac{5 + \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{5 + 1}{4} = \frac{3}{2}$

Kiểm tra bằng Viète:

$x_1 + x_2 = 1 + \frac{3}{2} = \frac{5}{2} = -\frac{b}{a} = \frac{5}{2}$ ✓

$x_1 \cdot x_2 = 1 \cdot \frac{3}{2} = \frac{3}{2} = \frac{c}{a} = \frac{3}{2}$ ✓

Kết luận: $S = \left\lbrace 1, \frac{3}{2} \right\rbrace$

Bài 2: Ứng dụng hệ thức Viète

Đề bài: Cho phương trình $x^2 - 3x + 1 = 0$ có hai nghiệm $x_1, x_2$ . Không giải phương trình, tính:

a) $x_1^2 + x_2^2$

b) $\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2}$

c) $x_1^3 + x_2^3$

Lời giải chi tiết:

Nhắc lại: Công thức Viète và biểu thức đối xứng:

$S = x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$ , $P = x_1 x_2 = \frac{c}{a}$

$x_1^2 + x_2^2 = S^2 - 2P$

$x_1^3 + x_2^3 = S^3 - 3SP$

Theo Viète: $S = x_1 + x_2 = 3$ , $P = x_1 x_2 = 1$

a) $x_1^2 + x_2^2 = S^2 - 2P = 9 - 2 = 7$

Lý do: $(x_1 + x_2)^2 = x_1^2 + 2x_1x_2 + x_2^2$ ⇒ $x_1^2 + x_2^2 = S^2 - 2P$

b) $\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = \frac{x_1 + x_2}{x_1 x_2} = \frac{S}{P} = \frac{3}{1} = 3$

Lý do: Quy đồng mẫu số: $\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = \frac{x_2 + x_1}{x_1 x_2}$

c) $x_1^3 + x_2^3 = S^3 - 3PS = 27 - 9 = 18$

Lý do: Hằng đẳng thức $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 = a^3 + b^3 + 3ab(a+b)$

Bài 3: Giải hệ phương trình

Đề bài: Giải hệ phương trình:

$2x + 3y = 7$

$3x - 2y = 4$

Lời giải bằng phương pháp cộng đại số:

Nhắc lại: Phương pháp cộng đại số:

Nhân hệ số để hệ số của 1 ẩn đối nhau

Cộng vế với vế để khử ẩn đó

Thay ngược lại tìm ẩn còn lại

Bước 1: Nhân để hệ số $y$ đối nhau

Nhân PT(1) với 2: $4x + 6y = 14$ … (1’)
Nhân PT(2) với 3: $9x - 6y = 12$ … (2’)

Lý do: BCNN(3, 2) = 6, nên nhân để hệ số $y$ là $+6$ và $-6$ .

Bước 2: Cộng (1’) và (2’) để khử $y$ $13x = 26 \Rightarrow x = 2$

Bước 3: Thay $x = 2$ vào PT(1) $2(2) + 3y = 7 \Rightarrow 3y = 3 \Rightarrow y = 1$

Kiểm tra cả hai PT:

PT(1): $2(2) + 3(1) = 7$ ✓

PT(2): $3(2) - 2(1) = 4$ ✓

Kết luận: $(x, y) = (2, 1)$

Bài 4: Bài toán tham số về PT bậc hai

Đề bài: Cho phương trình $x^2 - 2(m+1)x + m^2 + 2 = 0$ với tham số $m$ .

a) Tìm điều kiện của $m$ để PT có hai nghiệm phân biệt

b) Tìm $m$ để PT có hai nghiệm $x_1, x_2$ thỏa mãn $x_1^2 + x_2^2 = 10$

Lời giải chi tiết:

Nhắc lại: Với PT $ax^2 + bx + c = 0$ ( $b = 2b'$ ):

$\Delta' = b'^2 - ac$

PT có 2 nghiệm phân biệt khi $\Delta' > 0$

a) PT có hai nghiệm phân biệt khi $\Delta' > 0$

Nhận dạng: $a = 1$ , $b' = -(m+1)$ , $c = m^2 + 2$

$\Delta' = (m+1)^2 - (m^2 + 2) = m^2 + 2m + 1 - m^2 - 2 = 2m - 1$

$\Delta' > 0 \Leftrightarrow m > \frac{1}{2}$

b) Với $m > \frac{1}{2}$ , theo Viète:

$S = x_1 + x_2 = 2(m+1)$
$P = x_1 x_2 = m^2 + 2$

Lý do: Dùng công thức $x_1^2 + x_2^2 = S^2 - 2P$ để không cần giải PT.

$x_1^2 + x_2^2 = S^2 - 2P = 10$ $4(m+1)^2 - 2(m^2 + 2) = 10$ $4m^2 + 8m + 4 - 2m^2 - 4 = 10$ $2m^2 + 8m - 10 = 0$ $m^2 + 4m - 5 = 0$ $(m + 5)(m - 1) = 0$

$m = -5$ hoặc $m = 1$

Đối chiếu điều kiện: $m > \frac{1}{2}$ :

$m = -5 < \frac{1}{2}$ ✗ (loại)

$m = 1 > \frac{1}{2}$ ✓ (nhận)

Kết luận: $m = 1$

Bài tập tự luyện

Bài 1

Giải các phương trình sau:

a) $x^2 - 5x + 6 = 0$

b) $2x^2 + 3x - 5 = 0$

c) $x^2 - 4x + 4 = 0$

d) $x^2 + 2x + 5 = 0$

Bài 2

Cho PT $x^2 - 4x + 1 = 0$ có hai nghiệm $x_1, x_2$ . Tính:

a) $x_1^2 + x_2^2$

b) $(x_1 - x_2)^2$

c) $x_1^3 - x_2^3$ (với $x_1 > x_2$ )

Bài 3

Giải các hệ phương trình:

a) $x + 2y = 5$ và $2x - y = 0$

b) $3x + 4y = 10$ và $2x + 3y = 7$

Bài 4

Cho PT $x^2 - 2mx + m + 2 = 0$ với tham số $m$ .

a) Tìm $m$ để PT có nghiệm kép

b) Tìm $m$ để PT có hai nghiệm trái dấu

c) Tìm $m$ để PT có hai nghiệm dương phân biệt

Tóm tắt

Công thức quan trọng

Công thức	Ý nghĩa
$x = -\frac{b}{a}$	Nghiệm PT bậc nhất
$\Delta = b^2 - 4ac$	Biệt số PT bậc hai
$x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$	Công thức nghiệm PT bậc hai
$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$	Viète: Tổng 2 nghiệm
$x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$	Viète: Tích 2 nghiệm

Key Points

PT bậc hai: $\Delta > 0$ (2 nghiệm), $\Delta = 0$ (nghiệm kép), $\Delta < 0$ (vô nghiệm)
Hệ PT = giao điểm 2 đường thẳng
Hệ thức Viète dùng tính tổng, tích không cần giải
Lưu ý: Lưu ý: $\Delta'$ chỉ dùng khi b chẵn!

Lỗi thường gặp và cách tránh:

Sai	Đúng	Giải thích
$\Delta = b - 4ac$	$\Delta = b^2 - 4ac$	Biệt số có bình phương
$x_1 + x_2 = \frac{b}{a}$	$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$	Thiếu dấu trừ
$x_1 \cdot x_2 = -\frac{c}{a}$	$x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$	Thừa dấu trừ
$\Delta < 0$ → 2 nghiệm	$\Delta < 0$ → Vô nghiệm	Nhầm lẫn dấu

Mẹo nhớ Viète:

Tổng = $-\frac{b}{a}$ (dấu ngược với b)
Tích = $\frac{c}{a}$ (không đổi dấu)
Hai nghiệm cùng dấu nếu tích > 0
Hai nghiệm trái dấu nếu tích < 0

Hoàn thành chương 3! Chuyển sang Chương 4: Bất phương trình