Chương 2: Bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Mục tiêu học tập

Sau khi hoàn thành chương này, bạn sẽ:

Hiểu và áp dụng tính chất của bất đẳng thức
Giải thành thạo bất phương trình bậc nhất, bậc hai
Sử dụng bảng xét dấu để giải BPT
Giải hệ bất phương trình và BPT chứa giá trị tuyệt đối

Phần 1: Bất đẳng thức

1.1. Khái niệm và tính chất cơ bản

Bất đẳng thức là một mệnh đề chứa dấu $<$ , $>$ , $\leq$ , hoặc $\geq$ .

Các tính chất cơ bản:

Tính chất	Nội dung
Tính chất 1	$a < b \Rightarrow a + c < b + c$ (cộng đều hai vế)
Tính chất 2	$a < b$ và $c > 0 \Rightarrow ac < bc$ (nhân với số dương)
Tính chất 3	$a < b$ và $c < 0 \Rightarrow ac > bc$ (nhân số âm đổi chiều)
Tính chất 4	$a < b$ và $b < c \Rightarrow a < c$ (tính bắc cầu)

Quy tắc quan trọng: Khi nhân hoặc chia hai vế của bất đẳng thức với số âm, phải đổi chiều bất đẳng thức!

1.2. Bất đẳng thức Cauchy (AM-GM)

Định lý: Với hai số không âm $a, b \geq 0$ :

$\frac{a + b}{2} \geq \sqrt{ab}$

Đọc là: Trung bình cộng lớn hơn hoặc bằng trung bình nhân.

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $a = b$ .

Dạng tương đương: $a + b \geq 2\sqrt{ab}$

Nền tảng quan trọng - Tối ưu hóa:

AM-GM là công cụ tìm GTNN/GTLN cực mạnh:

Ví dụ kinh điển: Tìm GTNN của $f(x) = x + \frac{1}{x}$ với $x > 0$ :

$x + \frac{1}{x} \geq 2\sqrt{x \cdot \frac{1}{x}} = 2$

GTNN = 2 đạt được khi $x = 1$ .

Liên hệ Đại học - Lagrange Multipliers:

Bài toán tối ưu có ràng buộc: $\min f(x,y)$ với $g(x,y) = 0$
AM-GM là trường hợp đặc biệt khi $g(x,y) = xy - k$ (tích không đổi)

Mẹo thi: Khi thấy tổng + tích → nghĩ đến AM-GM!

Ứng dụng: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức.

1.3. Bất đẳng thức Bunhiacopxki (Cauchy-Schwarz)

Với mọi số thực $a_1, a_2, b_1, b_2$ :

$(a_1 b_1 + a_2 b_2)^2 \leq (a_1^2 + a_2^2)(b_1^2 + b_2^2)$

Dấu bằng xảy ra khi $\frac{a_1}{b_1} = \frac{a_2}{b_2}$ .

Phần 2: Bất phương trình bậc nhất một ẩn

2.1. Định nghĩa

Bất phương trình bậc nhất một ẩn có dạng: $ax + b > 0$ (hoặc $<$ , $\leq$ , $\geq$ ) với $a \neq 0$

2.2. Cách giải

$ax + b > 0$

Trường hợp 1: Nếu $a > 0$ : $x > -\frac{b}{a}$

Trường hợp 2: Nếu $a < 0$ (đổi chiều BĐT): $x < -\frac{b}{a}$

2.3. Ví dụ mẫu

Đề bài: Giải BPT $3x - 5 > 7$

Lời giải: $3x - 5 > 7$ $3x > 12$ $x > 4$

Tập nghiệm: $S = (4, +\infty)$

Phần 3: Dấu của nhị thức bậc nhất

3.1. Định lý

Xét nhị thức $f(x) = ax + b$ với $a \neq 0$ .

Nghiệm của $f(x) = 0$ là $x_0 = -\frac{b}{a}$ .

Bảng xét dấu:

$x$	$-\infty$		$-\frac{b}{a}$		$+\infty$
$f(x) = ax + b$	Trái dấu $a$		$0$		Cùng dấu $a$

Quy tắc nhớ: $f(x)$ trái dấu $a$ ở bên trái nghiệm, cùng dấu $a$ ở bên phải nghiệm.

Phần 4: Bất phương trình bậc hai

4.1. Định nghĩa

BPT bậc hai có dạng: $ax^2 + bx + c > 0$ (hoặc $<$ , $\leq$ , $\geq$ ) với $a \neq 0$

4.2. Dấu của tam thức bậc hai

Xét $f(x) = ax^2 + bx + c$ với $a \neq 0$ .

Đặt $\Delta = b^2 - 4ac$ .

Trường hợp 1: $\Delta < 0$ (PT vô nghiệm)

$f(x)$ cùng dấu với $a$ với mọi $x \in \mathbb{R}$

Trường hợp 2: $\Delta = 0$ (PT có nghiệm kép $x_0$ )

$f(x)$ cùng dấu với $a$ khi $x \neq x_0$
$f(x_0) = 0$

Trường hợp 3: $\Delta > 0$ (PT có 2 nghiệm phân biệt $x_1 < x_2$ )

$f(x)$ cùng dấu $a$ khi $x < x_1$ hoặc $x > x_2$ (ngoài khoảng hai nghiệm)
$f(x)$ trái dấu $a$ khi $x_1 < x < x_2$ (trong khoảng hai nghiệm)

Quy tắc “trong trái, ngoài cùng”: Tam thức bậc hai trái dấu $a$ ở trong khoảng hai nghiệm, cùng dấu $a$ ở ngoài khoảng hai nghiệm.

Hình minh họa dấu của tam thức bậc hai:

Giải thích: Với a > 0, parabol mở lên: f(x) > 0 ở ngoài hai nghiệm, f(x) < 0 ở trong. Với a < 0, parabol mở xuống: ngược lại.

4.3. Phương pháp giải BPT bậc hai

Bước 1: Đưa về dạng $ax^2 + bx + c \lessgtr 0$

Bước 2: Tính $\Delta = b^2 - 4ac$

Bước 3: Lập bảng xét dấu của $f(x) = ax^2 + bx + c$

Bước 4: Dựa vào bảng xét dấu, tìm tập nghiệm

Khám phá tương tác BPT bậc hai:

Đang tải đồ thị...

Hướng dẫn: Nhập $y = x^2 - 4x + 3$ để thấy parabol. Quan sát miền $y > 0$ (phần trên trục Ox) và $y < 0$ (phần dưới) — đó chính là nghiệm của BPT.

Phần 5: Hệ bất phương trình

5.1. Định nghĩa

Hệ bất phương trình là tập hợp nhiều BPT cùng ẩn.

Nghiệm của hệ BPT là các giá trị của ẩn thỏa mãn đồng thời tất cả các BPT.

5.2. Phương pháp giải

Giải từng BPT riêng biệt, tìm tập nghiệm của mỗi BPT
Lấy giao các tập nghiệm

Phần 6: BPT chứa giá trị tuyệt đối

6.1. Các công thức cơ bản

Với $a > 0$ :

BPT	Tương đương với
$\\|f(x)\\| < a$	$-a < f(x) < a$
$\\|f(x)\\| \leq a$	$-a \leq f(x) \leq a$
$\\|f(x)\\| > a$	$f(x) < -a$ hoặc $f(x) > a$
$\\|f(x)\\| \geq a$	$f(x) \leq -a$ hoặc $f(x) \geq a$

Ghi nhớ: $\|f(x)\| < a$ tương đương với $f(x)$ nằm trong khoảng $(-a, a)$ .

Hình minh họa đồ thị hàm giá trị tuyệt đối:

Giải thích: Đồ thị y = |x| có dạng chữ V với đỉnh tại gốc O. Phương trình |x| = a (a > 0) có 2 nghiệm x = ±a. BPT |x| < a tương đương -a < x < a (nghiệm nằm giữa hai điểm giao).

Lỗi nghiêm trọng khi giải BPT:

Quên đổi chiều khi nhân số âm: $-2x > 4$ → $x < -2$ (NOT $x > -2$ )
Quên nghiệm âm: $x^2 > 4$ → $x > 2$ HOAC $x < -2$ (có 2 phía!)
Nhầm “trong/ngoài” khi a < 0: “Trong trái, ngoài cùng” chỉ đúng khi quy về $a > 0$

Bài tập mẫu có lời giải

Bài 1: Giải BPT bậc nhất

Đề bài: Giải BPT $\frac{2x - 3}{4} - \frac{x + 1}{3} \geq \frac{1}{2}$

Lời giải chi tiết:

Nhắc lại: Khi giải BPT:

Cộng/trừ hai vế: GIỮ NGUYÊN chiều

Nhân/chia số DƯƠNG: GIỮ NGUYÊN chiều

Nhân/chia số ÂM: ĐỔI CHIỀU

Bước 1: Quy đồng mẫu số (mẫu chung = 12)

$\frac{3(2x - 3)}{12} - \frac{4(x + 1)}{12} \geq \frac{6}{12}$

Lý do: BCNN(4, 3, 2) = 12. Quy đồng để trừ các phân số.

Bước 2: Nhân hai vế với 12 (số dương → giữ chiều) $3(2x - 3) - 4(x + 1) \geq 6$

Bước 3: Khai triển và rút gọn $6x - 9 - 4x - 4 \geq 6$ $2x - 13 \geq 6$ $2x \geq 19$

Bước 4: Chia hai vế cho 2 (số dương → giữ chiều) $x \geq \frac{19}{2}$

Tập nghiệm: $S = \left[\frac{19}{2}, +\infty\right)$

Kiểm tra: Thử $x = 10$ : $\frac{17}{4} - \frac{11}{3} = \frac{51 - 44}{12} = \frac{7}{12} \geq \frac{6}{12}$ ✓

Bài 2: Giải BPT bậc hai

Đề bài: Giải BPT $x^2 - 5x + 6 > 0$

Lời giải chi tiết:

Nhắc lại: Quy tắc “trong trái, ngoài cùng”:

Tam thức trái dấu $a$ ở trong khoảng hai nghiệm

Tam thức cùng dấu $a$ ở ngoài khoảng hai nghiệm

Bước 1: Xét tam thức $f(x) = x^2 - 5x + 6$ với $a = 1 > 0$

Bước 2: Tính $\Delta$ và tìm nghiệm $\Delta = 25 - 24 = 1 > 0$

PT $f(x) = 0$ có 2 nghiệm: $x_1 = 2$ , $x_2 = 3$

Lý do: $\Delta > 0$ nên tam thức có 2 nghiệm phân biệt.

Bước 3: Lập bảng xét dấu

$x$	$-\infty$		$2$		$3$		$+\infty$
$f(x)$	$+$		$0$	$-$	$0$		$+$

Lý do: $a = 1 > 0$ nên f(x) DƯƠNG ở NGOÀI, ÂM ở TRONG.

Bước 4: Kết luận

BPT $f(x) > 0$ có nghiệm khi $f(x) > 0$ : $x < 2$ hoặc $x > 3$

Tập nghiệm: $S = (-\infty, 2) \cup (3, +\infty)$

Kiểm tra: Thử $x = 0$ : $0 - 0 + 6 = 6 > 0$ ✓. Thử $x = 2.5$ : $6.25 - 12.5 + 6 = -0.25 < 0$ (không đạt) ✓

Bài 3: Giải hệ BPT

Đề bài: Giải hệ BPT:

$2x - 3 > 0$ … (1)

$x^2 - 4x \leq 0$ … (2)

Lời giải chi tiết:

Nhắc lại: Nghiệm của hệ BPT = GIAO của các tập nghiệm.

Bước 1: Giải BPT (1) $2x - 3 > 0 \Leftrightarrow x > \frac{3}{2}$ $S_1 = \left(\frac{3}{2}, +\infty\right)$

Bước 2: Giải BPT (2) $x^2 - 4x \leq 0$ $x(x - 4) \leq 0$

Nghiệm: $x = 0$ và $x = 4$

Lý do: $a = 1 > 0$ , BPT $\leq 0$ → lấy TRONG khoảng hai nghiệm.

$S_2 = [0, 4]$

Bước 3: Tìm giao của hai tập nghiệm

$S_1$	$S_2$	$S_1 \cap S_2$
$(\frac{3}{2}, +\infty)$	$[0, 4]$	$(\frac{3}{2}, 4]$

Tập nghiệm: $S = \left(\frac{3}{2}, 4\right]$

Kiểm tra: Thử $x = 2$ : BPT(1): $4-3=1>0$ ✓. BPT(2): $4-8=-4\leq 0$ ✓

Bài 4: BPT chứa giá trị tuyệt đối

Đề bài: Giải BPT $|2x - 1| < 5$

Lời giải chi tiết:

Nhắc lại: Công thức giá trị tuyệt đối:

$|f(x)| < a \Leftrightarrow -a < f(x) < a$ (nằm TRONG khoảng)

$|f(x)| > a \Leftrightarrow f(x) < -a$ hoặc $f(x) > a$ (nằm NGOÀI)

Bước 1: Áp dụng công thức $|2x - 1| < 5 \Leftrightarrow -5 < 2x - 1 < 5$

Lý do: $|...| < a$ tương đương biểu thức nằm TRONG khoảng $(-a, a)$ .

Bước 2: Giải hệ BPT kép

Vế trái: $-5 < 2x - 1 \Leftrightarrow -4 < 2x \Leftrightarrow x > -2$
Vế phải: $2x - 1 < 5 \Leftrightarrow 2x < 6 \Leftrightarrow x < 3$

Bước 3: Kết hợp $-2 < x < 3$

Tập nghiệm: $S = (-2, 3)$

Kiểm tra: Thử $x = 0$ : $|2(0)-1| = |-1| = 1 < 5$ ✓. Thử $x = 4$ : $|8-1| = 7 > 5$ (không đạt) ✓

Bài tập tự luyện

Bài 1

Giải các BPT sau:

a) $5x - 3 > 2x + 9$

b) $\frac{x - 1}{2} + \frac{x + 3}{4} \leq 1$

Bài 2

Giải các BPT bậc hai:

a) $x^2 - 4x + 3 < 0$

b) $-x^2 + 4x - 3 \geq 0$

c) $x^2 + 2x + 5 > 0$

Bài 3

Giải các hệ BPT:

a) $x - 2 > 0$ và $x^2 - 5x + 4 \leq 0$

b) $2x + 1 \geq 0$ và $x^2 - 3x - 4 < 0$

Bài 4

Giải các BPT chứa giá trị tuyệt đối:

a) $|3x - 2| \leq 7$

b) $|x + 1| > 4$

c) $|2x - 5| < |x + 3|$

Bài 5

Tìm m để:

a) BPT $x^2 - 2x + m > 0$ vô nghiệm

b) BPT $-x^2 + 2mx - m^2 + 1 \geq 0$ có nghiệm

Tóm tắt

Công thức quan trọng

Dạng BPT	Điều kiện	Nghiệm
$ax + b > 0$	$a > 0$	$x > -\frac{b}{a}$
$ax^2 + bx + c > 0$	$a > 0$ , $\Delta > 0$	$x < x_1$ hoặc $x > x_2$
$ax^2 + bx + c < 0$	$a > 0$ , $\Delta > 0$	$x_1 < x < x_2$
$\\|x\\| < a$	$a > 0$	$-a < x < a$
$\\|x\\| > a$	$a > 0$	$x < -a$ hoặc $x > a$

Key Points

BPT bậc 2: Dấu của f(x) phụ thuộc a và $\Delta$
a > 0, $\Delta$ > 0: Parabol cắt Ox, f(x) < 0 trong (x₁, x₂)
Nhân/chia số âm: ĐỔI CHIỀU bất đẳng thức
Lưu ý: Trị tuyệt đối: Nhớ quy tắc $|x| < a$ và $|x| > a$

Lỗi thường gặp và cách tránh:

Sai	Đúng	Giải thích
Nhân số âm không đổi chiều	Nhân số âm → ĐỔI CHIỀU	$-x > 2 \Leftrightarrow x < -2$
$x^2 > 4 \Rightarrow x > 2$	$x^2 > 4 \Rightarrow x > 2$ hoặc $x < -2$	Quên nghiệm âm
$\\|x\\| < 3$ → $x < 3$	$\\|x\\| < 3$ → $-3 < x < 3$	Thiếu cận dưới
Quên đổi dấu khi a < 0	”Trong ngoài” phụ thuộc dấu a	a < 0: đảo kết luận

Mẹo nhớ BPT bậc 2 (a > 0):

f(x) < 0: nghiệm TRONG (giữa x₁ và x₂)
f(x) > 0: nghiệm NGOÀI (nhỏ hơn x₁ hoặc lớn hơn x₂)

Hoàn thành chương 4! Chuyển sang Chương 5: Thống kê